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1. Il problema di Josephus Flavius
Sei schiavi vengono numerati da 1 a 6 e disposti in
cerchio. Stanno per essere uccisi tutti tranne l'ultimo,
unico fortunato, che sopravviverà.
Per decidere l'ordine in cui saranno uccisi si fa una
conta speciale: partendo dal numero 1 e contando i vivi
in senso orario, se ne uccide uno sì e uno no, cioè 1,
3, 5, ...
I cadaveri vengono immediatamente rimossi e non vengono
più contati.
Solo l'ultimo sopravvissuto sarà lasciato libero e si
salverà.
Josephus, fortunato e intelligente, appena sa quale
numero gli è stato assegnato, tira un sospiro di
sollievo. Infatti ha capito che sarà salvo.
Quale numero ha Josephus?
2. Il sopravvissuto
In questo caso gli schiavi sono 16, si comincia
dal n. 4 e se ne uccide uno ogni 3, cioè 4, 7, 10, ...,
fino all'ultimo sopravvissuto.
Chi sarà l'ultimo?
3. L'ultimo che morirà
Dieci soldati, incalzati dall'esercito nemico,
si rifugiano in una grotta.
I crudeli nemici, purtroppo, li scoprono e stanno per
attaccare. I dieci soldati sanno che se saranno catturati
dovranno subire terribili sofferenze prima di essere
uccisi.
Piuttosto che cadere nelle mani dei nemici, decidono di
uccidersi a vicenda, uno alla volta fino all'ultimo
sopravvissuto il quale dovrà suicidarsi.
Si dispongono in cerchio e procedono così: il 1° uccide
il 2°, il 3° uccide il 4° e così via.
Procedendo sempre nello stesso senso, chi sarà l'ultimo
a morire?
4. I bianchi e i neri
Abbiamo 15 pedine bianche e 15 nere.
Dobbiamo disporle in circolo in modo tale che contandole
da un punto determinato e asportando ogni nona pedina, si
tolgano tutte le pedine nere.
Niccolò Tartaglia propone un
problema molto simile a questo nel suo General
Trattato del 1556 e dà la seguente soluzione:
Populeam virgam mater regina tenebat.
Rilassatevi. E' scritta il latino, ma può essere scritta anche in italiano, così:
ouea iaae eia eea
Qualcuno è capace di trovare la soluzione e spiegare il significato della frase?
5. Un trucco con le
carte
Questo gioco di prestigio non è straordinario ma ha la
rara particolarità di essere basato sul problema di
Josephus.
Si prendono 8 carte: 4 re e 4 regine. Si dispongono sul
tavolo a faccia in su e, prelevandole a caso una dopo
l'altra, si forma un mazzetto.
Tenendo in mano il mazzetto, con il dorso delle carte in
alto, si procede così:
Magicamente ogni re sarà
accanto ad una regina.
Dove sta il trucco?
6. M'ama, non m'ama...
Francesca sta sfogliando una margherita.
"M'ama, non m'ama, m'ama..."
Sapendo che la margherita ha un numero di petali multiplo
di 6 e che ne aveva perso uno prima che Francesca la
raccogliesse, quale sarà il risultato?
7. Castagne o
cioccolatini?
A Nicolò e a suo papà piacciono i marron glacés ma
preferiscono decisamente i cioccolatini.
Un giorno il papà arriva a casa con un pacchetto: ci
sono 5 cioccolatini e 5 marron glacés.
"Facciamo a metà?" dice il papà.
"Certo!" risponde Nicolò, "A me i
cioccolatini e a te le castagne."
"Ehm... è meglio estrarre a sorte. Mettiamo i dolci
sul tavolo, in circolo. Poi, a turno, ne prendiamo uno
ogni tre, fino ad esaurirli tutti, ci stai?"
"Il primo lo prendo io?"
"Sì."
"E poi come si procede, spiegami bene."
"Io ne salto 2 e prendo il terzo, poi tu ne salti 2
e prendi il terzo, e così via. Quelli che abbiamo preso,
naturalmente, non si contano più."
"Seguiamo il senso delle lancette dell'orologio?"
"Sì."
"Posso disporre io i dolcetti sul tavolo?"
"E va bene!"
Nicolò dispone i dolcetti sul tavolo e, seguendo la
regola stabilita dal papà, riesce a prendere tutti i
cioccolatini.
Come ha fatto?
Nota storica.
Il problema di Josephus può apparire un
po' macabro ma ha una lunghissima tradizione matematica
ed alcune versioni sembrano essere ispirate da fatti
storici realmente accaduti come le decimazioni di guerra
e la punizione dei disertori.
Secondo alcuni studiosi le sue origini sono irlandesi e
risalgono all'800. Problemi simili a questo erano inoltre
conosciuti nella cultura araba e in quella giapponese già
nel 1300.
Il famoso medico e matematico Gerolamo Cardano,
nel 1539 fu il primo ad identificare il sopravvissuto con
l'ebreo Josephus Flavius (37-100),
autore del De bello Judaico.
Ecco la ricostruzione della vicenda attraverso alcune
citazioni tratte da: Flavio Giuseppe, La guerra
giudaica, Libro III, A. Mondadori, 1982.
Siamo in Palestina, nell'anno 67 d. C. E' in pieno
svolgimento la guerra tra i Romani e i Giudei, che si
concluderà con la distruzione di Gerusalemme.
I Romani andavano a caccia di Josephus,
uno dei capi della rivolta. Egli, grazie ad un aiuto
divino, era saltato dentro ad una profonda cisterna
comunicante lateralmente con un'ampia grotta invisibile
dall'alto. Ivi trovò nascosti una quarantina di
compatrioti.
Per due giorni rimasero nascosti ma al terzo furono
traditi da una donna che rivelò ai Romani il loro
nascondiglio.
Data la situazione, i compagni di Josephus decisero di
suicidarsi piuttosto che cadere in mano ai Romani.
Josephus tentò di distoglierli ma loro si inferocirono
contro di lui e minacciarono di ucciderlo per primo.
"In un momento così drammatico non venne meno a
Josephus l'accortezza e, fidando nell'aiuto di Dio, mise
in gioco la vita dicendo: -Poiché abbiamo deciso di
morire, lasciamo alla sorte di regolare l'ordine in cui
dobbiamo darci l'un l'altro la morte: ognuno sarà ucciso
da chi verrà sorteggiato dopo di lui, e così sarà la
sorte a stabilire il destino di tutti senza che nessuno
debba perire di sua mano."
I suoi compagni accettarono la proposta e Josephus,
"non si saprebbe dire se per un caso o per volere di
Dio, restò alla fine assieme ad un'altro e non volendo né
essere condannato dalla sorte né contaminarsi le mani
con il sangue di un connazionale se fosse rimasto ultimo,
persuase anche il compagno a fidarsi delle assicurazioni
dei Romani e ad accettare di aver salva la vita."
Condotto a Roma dopo la guerra, Josephus fu dichiarato
uomo libero, gli fu concessa la cittadinanza romana,
assegnata una pensione ed ebbe ospitalità presso la
dimora dell'imperatore Tito Flavio Vespasiano.
Che cosa si può desiderare di più?
In un certo senso questa è una storia a lieto fine ma
per alcuni, Josephus fu soltanto un rinnegato.
Risposte & riflessioni
1. Il problema di Josephus Flavius
Gli schiavi vengono uccisi nell'ordine 1, 3, 5, 2, 6; il
4, che è Josephus, si salva.
2. Il sopravvissuto
di Alan Viezzoli
Facendo un opportuno diagramma si vede
che gli schiavi vengono uccisi in quest'ordine:
4, 7, 10, 13, 16, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 5, 8, 11, 14.
L'ultimo è il numero 1
3. L'ultimo che morirà
di Alan Viezzoli
Analogamente per il numero 2, facendo uno
schema si vede che i soldati muoiono nell'ordine:
2, 4, 6, 8, 10, 3, 7, 1, 9.
L'ultimo a morire è il numero 5.
4. I bianchi e i neri
Populeam virgam mater regina tenebat.
5. Un trucco con le
carte
6. M'ama, non m'ama...
7. Castagne o
cioccolatini?
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