Problemi sui miscugli con travaso di liquidi

1. Latte nel caffè e caffé nel latte
La mamma ha posato sul tavolo della cucina la brocca con il latte e la caffettiera piena di caffé.
Due bambini, fratello e sorella, sono seduti a tavola e aspettano la colazione.
Mentre la mamma prepara le fette biscottate, e non sorveglia i bambini, la sorella prende una tazzina, la riempie di caffé e la vuota nel latte.
Suo fratellino, allarmato, le dice:
"Cos'hai fatto? La mamma si accorgerà che manca del caffé!"
Quindi prende la brocca che contiene la miscela di latte e caffé, riempie di miscela una tazzina uguale alla prima e la vuota nella caffettiera.
A questo punto, c'è più latte nel caffé o caffé nel latte?
(Julio Saler)

2. L'oste disonesto e recidivo
Un oste disonesto e ubriacone beve 6 litri di vino da un barile che ne contiene 360 litri e li sostituisce con acqua, in modo che nessuno si accorga del prelievo.
Dopo una settimana ripete la malefatta.
Dopo un'altra settimana la ripete di nuovo.
Quanto vino ha bevuto l'oste disonesto?
(Les Amusemens. 1749)

3. Travasi incogniti di vino in acqua
Come si può risolvere il seguente problema nel modo più semplice possibile?

Un recipiente contiene 250 litri di acqua.
Da esso si tolgono x litri e si rimpiazzano con x litri di vino.
Si mescola fino ad ottenere una miscela omogenea.
Dalla miscela si tolgono nuovamente x litri e si rimpiazzano con x litri di vino.
Dopo queste operazioni la miscela contiene acqua e vino nella proporzione 16/9.
Le domande sono:
a) determinare x;
b) determinare la quantità di acqua prelevata la seconda volta.

Ringrazio Roberto Doniez per aver posto questo problema.
Sottolineo che si chiede non soltanto di risolvere il problema ma soprattutto di trovare una soluzione elementare, semplice e trasparente.

4. Una possibile generalizzazione
Da un recipiente contenente 1 (unità) di vino si toglie ogni giorno 1/100 e si rimpiazza con acqua, per n giorni.
Quanto vino rimane per n = 20?
Per quale n il vino sarà ridotto a 1/2?
E a 1/3?
Quanto vino rimarrà dopo n giorni?
Lucas. L'Arithmétique Amusante. 1895. Prob. XLI: Le tonneau inépuisable, p. 183
Louis Pierre Marie Bourdon (1779-1854). Élémens d'Algèbre. 7th ed., Bachelier, Paris, 1834

Questi problemi nella classificazione di David Singmaster

7.S.1. DISHONEST BUTLER DRINKING SOME AND REPLACING WITH WATER

Dodson and Clark are problems to determine the amount taken off each time.

Papyrus Rhind, op. cit. in 7.C. Prob. 71, p. 108 of vol. 1 (1927) (= p. 57 of 1978 ed.). ¼ is poured off & replaced, what is the strength? (H&S 85 quotes Peet's version.)

Bakhshali MS. c7C. Kaye I 48; III 201-202, ff. 12r-12v. Man has bottle holding 4 prasthas of wine. (Drinks ¼ and refills with water) four times. How much wine is left?

Cardan. Practica Arithmetice. 1539. Chap. 66, sections 36 & 37, ff. DD.v.r - DD.v.v (p. 146). Drink three pitchers and replace with water four times leaving wine of half strength. Then the same for three times.

Tartaglia. Quesiti, et Inventioni Diverse, 1546, op. cit. in 7.E.1, Book 9, quest. 18, pp. 102v-103r. (Remove 2 and replace) thrice to halve strength.

Buteo. Logistica. 1559. Prob. 85, pp. 296-298. Butler drinking some and replacing with water. (7/8)5. (H&S 85)

Trenchant. Op. cit. in 7.L, 1566. 1578 ed., p. 297. ??NYS. (Remove 1/12th and replace) six times. (H&S 85 gives French and English. Sanford 209 gives English.)

Les Amusemens. 1749. Prob. 176, pp. 326-327. Sommelier drinks 6 pints from a cask of 360 and replaces with water three times _ how much wine has he drunk?

Dodson. Math. Repository. 1775. P. 76, Quest. CXLI. Cask of 81 gallons. (x is drawn off and replaced by water) four times, leaving 16 gallons of wine in the mixture. Gives a general solution.

Ozanam-Montucla. 1778. Prob. 21, 1778: 212-214; 1803: 207-209. Prob. 20, 1814: 179-181; 1840: 93. Dishonest butler (removes 1/100th and replaces) 30 times. Notes that it is easier to use logarithms.

Bullen. Op. cit. in 7.G.1. 1789. Chap. 38, prob. 33, p. 243. Cask of 500 gallons; (remove 1/10th and replace with water) five times.

Louis Pierre Marie Bourdon (1779-1854). Élémens d'Algèbre. 7th ed., Bachelier, Paris, 1834. (The 6th ed., was 1831, but I haven't yet looked for the early editions _ ??) Art. 222, last problem, p. 364. Barrel of 100 pints of wine. One pint is drunk and replaced by water each day. How much wine is left after 50 days? When is the wine diluted to half its strength? One third? One quarter?

Anonymous. A Treatise on Arithmetic in Theory and Practice: for the use of The Irish National Schools. 3rd ed., 1850. Op. cit. in 7.H. P. 358, no. 35. Same as Bullen.

M. Ph. André. Éléments d'Arithmétique (No 3) a l'usage de toutes les institutions .... 3rd ed., Librairie Classique de F.-E. André-Guédon, Paris, 1876. Prob. 98, p. 62. Barrel of wine holding 210. Remove 45 and replace with water three times. Determine the amount of wine and water.

Lucas. L'Arithmétique Amusante. 1895. Prob. XLI: Le tonneau inépuisable, p. 183. (Remove 1/100 and add water) 20 times _ how much is left? Gives general solution.

Dudeney. Weekly Dispatch (8 Feb 1903) 13. (Remove 1/100th and replace) 30 times.

Clark. Mental Nuts. 1904: no. 39. Find capacity of the keg. (Fill a keg from a 20 gallon cask and then replace with water) three times to dilute the cask to half-strength. How big is the keg?

Risposte & riflessioni

1. Latte nel caffè e caffé nel latte
Tanto uguale.
Inutile fare calcoli. Basta osservare che dopo i due travasi, i livelli dei liquidi nei recipienti sono gli stessi di prima.
Di conseguenza gli scambi di caffè e latte devono essere alla pari.

In totale:
6 + 6x(354/360) + 6x(354²/360²) =
= 6 + 5,9 + 5,8 = 17,7 litri di vino.

Miscugli con travaso di liquidi

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