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Newton, l'erba e i buoi

Sottotitolo

Nell'Arithmetica Universalis di Isaac Newton, pubblicata a Londra nel 1707, c'è un problema molto interessante per gli appassionati di matematica ricreativa, il famoso Problema 11.

Il testo è tratto dall'edizione del 1722

Proviamo a tradurlo in italiano.

Da notare una importante caratteristica di questo problema: mentre i buoi mangiano, l'erba cresce. Quindi, per esaurire tutta l'erba di un prato bisogna mangiare anche l'erba che è cresciuta nel frattempo.

Newton ricava una formula risolutiva piuttosto complessa e mostra come applicarla al seguente esempio.

Cerchiamo di chiarire alcuni punti del problema:

• lo jugero nell'antica Roma era il terreno arato in una giornata da una coppia di buoi. Come unità di misura di superficie era equivalente a 2520 metri quadrati. Questa informazione non serve a risolvere il problema ma solo ad accrescere la nostra cultura. Embè!

• i prati di cui si parla sono simili, cioé contengono inizialmente la stessa quantità di erba per ogni unità di superficie e l'erba cresce allo stesso ritmo;

• anche i buoi sono simili, cioè mangiano la stessa quantità di erba per unità di tempo;

• inoltre l'erba appena rasa non muore ma continua a crescere regolarmente.

Oltre alla soluzione data da Newton, ne esiste un'altra particolarmente semplice da spiegare e da capire?

E poi c'è un'altra domanda che mi perseguita: come faranno i buoi per azzerare tutta l'erba del prato, se questa, non appena mangiata ricomincia subito a crescere?

Quanti e quali giri del prato dovranno fare i poveri buoi?

Potete dare pace a questo tormento, risolvendo il seguente problema che mi sembra equivalente a quello di Newton.

Cisterna con fori
Una cisterna ha un certo numero di fori sul fondo ed è alimentata da una conduttura che aggiunge acqua.
Quando 10 fori sono aperti , la cisterna si svuota in 20 minuti.
Quando 8 fori sono aperti , la cisterna si svuota in 35 minuti.
Quanto tempo impiega a svuotarsi quando 12 fori sono aperti?

Risposte & riflessioni

Proverò a dare una soluzione elementarissima del problema dei buoi di Newton.

Se 12 buoi mangiano tutta l'erba di un prato di 3+1/3 jugeri in 4 settimane, e 21 buoi mangiano tutta l'erba di un prato simile al precedente di 10 jugeri in 9 settimane, si domanda: quanti buoi mangiano tutta l'erba di un prato di 24 jugeri in 9 settimane?

Stabilisco di prendere come unità la quantità iniziale di erba di un jugero.
Chiamo p la produzione di erba per jugero per settimana.
Chiamo q la quantità di erba mangiata da un bue per settimana.
Chiamo le altre variabili come indicato nella tabella.

Mi chiedo:

• quanto produce un iugero alla settimana?

• quanto mangia un bue alla settimana?

Dalla prima riga di dati si ricava che:

• 10/3 jugeri in 4 settimane producono 10/3 + 4*(10/3)*p

• quindi un bue in una settimana mangia
  10/3 + 4*(10/3)*p
  12*4

Dalla seconda riga di dati si ricava che:

• 10 jugeri in 9 settimane producono 10 + 9*10*p

• quindi un bue in una settimana mangia
  10 + 9*10*p
  21*9

Eguaglio ciò che mangia un bue nei due casi precedenti:

Fatti alcuni passaggi, si ottiene:

Detto questo, si può calcolare quanto mangia un bue alla settimana (q):

Volendo, si può ricavare una formula per q, che non coinvolga p.

A questo punto si può trovare la risposta finale del problema:

x buoi in 18 settimane mangiano ciò che può produrre un prato di 24 jugeri. In equazione:

18*qx = 24 + 18p

Sostituendo q, p si ricava:

(5/3)x = 60

x = 36 buoi

Aprile 2004

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