[BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]
Una proprietà dei numeri primi citata nel Numerorum Mysteria di Petrus Bungus
Nella seguente tabella sono evidenziati in giallo i multipli di 6 e in verde i numeri primi.
02-03-04-05-06-07-
08-09-10-11-12-13-
14-15-16-17-18-19-
20-21-22-23-24-25-
26-27-28-29-30-31-
32-33-34-35-36-37-
38-39-40-41-42-43-
44-45-46-47-48-49-
50-51-52-53-54-55-
56-57-58-59-60-61-...
Sorpresa!
Tutti i numeri primi, dal 5 in avanti, sono "vicini" ai multipli di 6.
Nel linguaggio matematico, questa proprietà si enuncia così:
Tutti i numeri primi >3 sono del tipo: 6n-1 oppure 6n+1, con n numero naturale.
Questo teorema è stato stampato per la prima (?) volta nel libro di Petrus Bungus (Pietro Bongo), 1599, "Numerorum Mysteria". Bungus scrive a pag. 399:
"...semper ... numeri primi post binarium et ternarium, in senariorum multiplicium vicinia collocati comperiuntur, aut uno minores, aut uno majores."
(tutti i numeri primi maggiori di 3 e di 2 sono vicini alla tavola moltiplicativa del 6 e sono del tipo 6n + 1 o 6n - 1
La citazione di Bungus si trova in: Giuseppe Peano, Formulario Mathematico, Torino, 1908, Chap. II, Arithmetica, p. 59.
Qui di seguito riporto una riproduzione della pagina citata del Bungus unitamente al frontespizio del Numerorum Mysteria.
La dimostrazione del teorema è semplicissima, alcuni l'hanno definita addirittura ovvia.
a) TUTTI i numeri naturali sono del tipo:
6n-2
6n-1
6n
6n+1
6n+2
6n+3
b) ma...
6n-2 è composto perché pari
6n-1 è ???
6n è composto perché multiplo di 6
6n+1 è ???
6n+2 è composto perché pari
6n+3 è composto perché multiplo di 3
c) di conseguenza... TUTTI i numeri primi >3 possono essere soltanto del tipo:
6n-1
6n+1
Ovviamente non vale il viceversa.
Una domanda posta da Jumpy94 al Forum:
Sappiamo che i numeri primi sono infiniti ma sono infiniti anche i numeri primi della forma 6n+1 e quelli della forma 6n-1?
Dimostrazione
Osservazione
(6a+1)(6b+1) = 6(6ab+a+b)+1 = 6n+1
Il prodotto di due numeri della forma 6n+1 è ancora un numero della forma 6n+1.
(6a-1)(6b-1) = 6(6ab-a-b)+1 = 6n+1
Il prodotto di due numeri della forma 6n+1 e 6n-1 è un numero della forma 6n+1.
Dimostrazione
???
Dimostrazione (di Pigreco al Forum)
Osservazione
(6a+1)(6b+1) = 6(6ab+a+b)+1 = 6n+1
(6a-1)(6b-1) = 6(6ab-a-b)+1 = 6n+1
(6a+1)(6b-1) = 6(6ab-a+b)-1 = 6n-1
Definizione di numero primo: un numero è primo se e solo se ogniqualvolta divide un prodotto divide almeno uno dei fattori.
Prendo un numero della forma 6n-1, sicuramente ha tra i suoi fattori un numero primo della forma 6n-1, infatti l'unico modo per ottenere un numero di questo tipo è moltiplicare un numero del tipo 6n+1 con uno del tipo 6n-1, per la definizione di numero primo arriverò a un certo punto ad avere un numero primo di quella forma.
Ovviamente questo non implica che ci siano infiniti numeri primi del tipo 6n-1, potrebbe essercene solo uno...
Però supponiamo per assurdo che ce ne siano finiti...
Li moltiplico tutti tra loro, poi li moltiplico per 6 e tolgo 1.
Il numero trovato non è divisibile per nessuno dei precedenti numeri, ma è ancora della forma 6n-1, per ciò c'è un numero primo della forma 6n-1 che lo divide (e non sta tra quelli dell'elenco prima...)
Quindi ci sono infiniti numeri primi del tipo 6n-1.
Data creazione: dicembre 2008
Ultimo aggiornamento: dicembre 2008
xhtml 1.1
Sito Web realizzato da Gianfranco Bo