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Progressioni aritmetiche

an = an-1 + d

Teoria minima

Definizione.
Si dice progressione aritmetica (o per differenza) una successione di numeri tale che sia costante la differenza fra un qualunque numero e il suo predecessore.

Esempio:

5, 8, 11, 14, ...

8 - 5 = 3
11 - 8 = 3
14 - 11 = 3
...

I termini successivi di una progressione si possono indicare così (lettere minuscole con indice):
a1 , a2 , a3 , ..., an , ...

a1 è il primo termine della progressione.

La differenza costante, che nell'esempio numerico è 3, si chiama ragione della progressione aritmetica e si indica con d.

Possiamo quindi definire una progressione così:
an = an-1 + d

Formula per calcolare il termine n-esimo di una progressione aritmetica conoscendo il primo termine e la ragione.
an= a1 + (n - 1)d

Formula per calcolare la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica.
S = n(a1 + an)/2

ovvero
S = n(a1 + a1 + (n - 1)d)/2

Incontro di due progressioni aritmetiche
Si hanno due progressioni aritmetiche.
La prima parte da 4 e ha ragione 3.
4, 7, 10, 13, ...

La seconda parte da 6 e ha ragione 1.
6, 7, 8, 9, ...

Dopo un certo numero di termini (n) le due successioni hanno la stessa somma (S).
Trovate n, S.

Il caso generale
Si hanno due progressioni aritmetiche.
La prima parte da a e ha ragione b.
a, a+b, a+2b, ...

La seconda parte da c e ha ragione d.
c, d+d, c+2d, ...

Dopo un certo numero di termini (n) le due successioni hanno la stessa somma (S).
Trovate n, S.

Se esprimiamo questo problema come P(a, b; c, d), risolvete i seguenti casi:
P(2, 3; 3, 2)
P(5, 6; 10, 3)

Suggerimento: n = 2(a - c)/(d - b) + 1

Quanto costa scavare un pozzo?
Un operaio è stato assunto per scavare un pozzo profondo 49 piedi.
Il primo metro costa 15 denari e ciascuno dei metri successivi costa 6 denari in più del metro precedente.
Quanto costa l'ultimo piede scavato?
Qual è il costo totale dello scavo?

Le diagonali di un ottagono convesso
Quante diagonali ha un ottagono convesso?
E più in generale, un poligono convesso di n lati?

Terreno prezioso
Un venditore offre 12 acri di terreno al seguente prezzo:
1 denaro per il primo acro;
4 denari per il secondo acro;
16 per il terzo;
4n-1 per l'ennesimo acro.

Un compratore offre:
100 denari per il primo acro;
150 per il secondo;
200 per il terzo;
100 + 50(n-1) per l'ennesimo acro.

Qual è la differenza fra la somma richiesta e quella offerta?

Una squadra di scavatori
Una squadra di scavatori può scavare un fosso in 24 ore se tutti lavorano assieme.
Ma in questo caso comincia uno da solo e gli altri si aggiungono ad intervalli regolari di tempo.
Guarda caso, il lavoro è finito proprio in un intervallo dopo che si è aggiunto l'ultimo scavatore.
Inoltre il primo uomo lavora 11 volte più a lungo dell'ultimo.
Quanto tempo ha lavorato l'ultimo uomo?

Nota storica

Note storiche tratte dalle: SOURCES IN RECREATIONAL MATHEMATICS AN ANNOTATED BIBLIOGRAPHY di David Singmaster

7.AF. ARITHMETIC PROGRESSIONS

Bakhshali MS. c7C. In: G. R. Kaye, The Bakhsh_li manuscript; J. Asiatic Soc. Bengal (2) 8:9 (Sep 1912) 349-361; p. 358 and in Kaye I 43 & III 176-177, ff. 4r-5r, sutra 18 and in Gupta. Consider two APs a, a + b, ..., and c, c + d, ..., and suppose the sums after n terms are equal to S. In the notation of 10.A, this is O-(a, b; c, d). Then n = 2(a - c)/(d - b) + 1. Does examples with (a, b; c, d) = (4, 3; 6, 1); (2, 3; 3, 2) and (5, 6; 10, 3).

Kaye III 174, f. 4v & Gupta. This is a problem of the same type, but most of it is lost and the scribe seems confused. Gupta attempts to explain the confusion as due to using the data a, b; c, d = 3, 4; 1, 2, with the rule n = 2(c-a)/(b-d) + 1, where the scribe takes the absolute values of the differences rather than their signed values. In this way he gets n = 3 rather than n = -1.

Pacioli. Summa. 1494. F. 44v, prob. 32. 1 + 2 + ... + 10½. He gets 10½ x 11½ / 2.

Unger. Arithmetische Unterhaltungen. 1838. Pp. 182 & 263, no. 693. Man digging a well 49 feet deep. First foot costs 15, but each successive foot costs 6 more than the previous. Find cost of last foot and total cost. So this is really an arithmetic progression problem, but I haven't seen others of those using this context.

M. Ph. André. Éléments d'Arithmétique (No 3) a l'usage de toutes les institutions .... 3rd ed., Librairie Classique de F.-E. André-Guédon, Paris, 1876. Prob. 550, p. 239. How many edges and diagonals does a convex octagon have?

(Beeton's) Boy's Own Magazine 3:6 (Jun 1889) 255 & 3:8 (Aug 1889) 351. (This is undoubtedly reprinted from Boy's Own magazine 1 (1863).) Mathematical question 59. Seller of 12 acres asks 1 farthing for the first acre, 4 for the second acre, 16 for the third acre, .... Buyer offers £100 for the first acre, £150 for the second acre, £200 for the third acre, .... What is the difference in the prices asked and offered? Also entered in 7.L.

Perelman. 1937. MCBF, A team of diggers, prob. 195, pp. 372-373. A team can dig a ditch in 24 hours, but just one digger begins and then the others join in at equal intervals, with the work finished in one interval after the last man joined. The first man works 11 times as long as the last man. How long did the last man work? Perelman finds this noteworthy (and I agree) because the number of men in the team cannot be determined!

Risposte & riflessioni

Incontro di due progressioni aritmetiche
Si hanno due progressioni aritmetiche.
La prima parte da 4 e ha ragione 3.
4, 7, 10, 13, ...

La seconda parte da 6 e ha ragione 1.
6, 7, 8, 9, ...

Dopo un certo numero di termini (n) le due successioni hanno la stessa somma (S).
Trovate n, S.

Si può applicare la seguente formula generale, dove:
a = 4
b = 3
c = 6
d = 1

n = 2(c-a)/(b-d) + 1 = 2*2/2+1 = 3

Le successioni hanno la stessa somma al terzo termine.
4 + 7 + 10 = 6 + 7 + 8 = 21

Ma come si trova questa formula?

Ricordiamo che la somma dei primi n termini di una successione aritmetica che parte da a1 e ha ragione d, è:

S = n(a1 + a1 + (n - 1)d)/2

Nel nostro caso le due somme sono:

S1 = n(a + a + (n - 1)b)/2
S2 = n(c + c + (n - 1)d)/2

Le uguagliamo, semplifichiamo e otteniamo:

2a + (n - 1)b = 2c + (n - 1)d

Isoliamo la n:

(n - 1)(b - d) = 2(c - a)

n = 2(c-a)/(b-d) + 1

Il caso generale
Si hanno due progressioni aritmetiche.
La prima parte da a e ha ragione b.
a, a+b, a+2b, ...

La seconda parte da c e ha ragione d.
c, d+d, c+2d, ...

Dopo un certo numero di termini (n) le due successioni hanno la stessa somma (S).
Trovate n, S.

Se esprimiamo questo problema come P(a, b; c, d), risolvete i seguenti casi:
P(2, 3; 3, 2)
P(5, 6; 10, 3)

Suggerimento: n = 2(c-a)/(b-d) + 1

Quanto costa scavare un pozzo?
Un operaio è stato assunto per scavare un pozzo profondo 49 piedi.
Il primo metro costa 15 denari e ciascuno dei metri successivi costa 6 denari in più del metro precedente.
Quanto costa l'ultimo piede scavato?
Qual è il costo totale dello scavo?

Le diagonali di un ottagono convesso
Quante diagonali ha un ottagono convesso?
E più in generale, un poligono convesso di n lati?

Terreno prezioso
Un venditore offre 12 acri di terreno al seguente prezzo:
1 denaro per il primo acro;
4 denari per il secondo acro;
16 per il terzo;
4n-1 per l'ennesimo acro.

Un compratore offre:
100 denari per il primo acro;
150 per il secondo;
200 per il terzo;
100 + 50(n-1) per l'ennesimo acro.

Qual è la differenza fra la somma richiesta e quella offerta?

Una squadra di scavatori
Una squadra di scavatori può scavare un fosso in 24 ore se tutti lavorano assieme.
Ma in questo caso comincia uno da solo e gli altri si aggiungono ad intervalli regolari di tempo.
Guarda caso, il lavoro è finito proprio in un intervallo dopo che si è aggiunto l'ultimo scavatore.
Inoltre il primo uomo lavora 11 volte più a lungo dell'ultimo.
Quanto tempo ha lavorato l'ultimo uomo?

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