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Il problema delle quattro R

Ho aggiornato la pagina dei Quattro quattro dove ho trovato un problemino ancora aperto.

Thomas Rayner Dawson, nel 1916, fu (forse) il primo a porre il problema dei quattro quattro in termini più generali.

Il problema è questo.

E' possibile, utilizzando quattro R (R indica un numero intero positivo qualsiasi) e le comuni operazioni/funzioni aritmetiche, esprimere i numeri interi da 0 a 10?

Sono ammesse le quattro operazioni, i radicali, l'elevamento a potenza, il fattoriale, il punto decimale.

Nota. Le notazioni col punto decimale funzionano così.

.R=R/10ⁿ dove n è il numero di cifre di R
se R=8, allora .R significa 0,8

se R=23, allora .R significa 0,23
.(R)=0,RRRR... periodico
se R=7, allora .(R) = 7/9

se R=19, allora .(R) = 19/99

e così via.

Ecco alcuni risultati:

0 = R + R - R - R
1 = R : R + R - R
2 = R : R + R : R
3 = (R + R + R) : R
4 = (R - .(R)/(.(R) + .(R))	valido per 1<R<10
5 = √R*R : (.R + .R)	valido per 1<R<10
6 = ((R + R + R) : R)!	valido per 1<R<10
7 = (R - .(R) - .(R))/.(R)	valido per 1<R<10
8 = (R - (.R + .R)) : .R	valido per 1<R<10
9 = R : .R - R : R	valido per 1<R<10
10 = R : .R + R - R	valido per 1<R<10

Il problema rimane aperto per le soluzioni mancanti.

Grazie a Pietro Vitelli per i contributi dal Forum.

Due soluzioni di Sergio Casiraghi

Sergio Casiraghi propone due strategie che usano alcune notazioni nuove.

Nella seguente soluzione,

/.(R/R) = significa l'inverso moltiplicativo di .(1) (periodico), cioè 9.

0 = R - R + R - R
1 = (R/R)/(R/R)
2 = (R/R + R/R)
3 = (R + R + R)/R=√(/.(R / R)) + R - R, cioè √9 + 0 = 3
4 = √(/.(R/R)) + R/R, cioè √9 + 1 = 4
5 = /(.R/R + .R/R), cioè 1/(0,1 + 0,1) = 5	valido per 1<R<10
6 = ((R + R + R)/R)!
7 = R/.R - √(/.(R/R)), cioè 10 - 3 = 7	valido per 1<R<10
8 = (R - .R - .R)/.R	valido per 1<R<10
9 = R/.R - R/R=/.(R/R) + R - R	valido per 1<R<10
10 = R/.R + R - R=/.(R/R) + R/R	valido per 1<R<10

Un'altra soluzione di Sergio usa quattro operatori nuovi, derivati dal fattoriale:

il fattoriale doppio (n!!), esempio: 6!! = 6 · 4 · 2 = 48
il fattoriale quadruplo: Q(n)=(2n)!/(n!),
l'iperfattoriale (HyperFactorial), in particolare H(2) = 4
il subfattoriale (!n), che esprime il numero delle permutazioni di un insieme che non fissano alcun elemento, ovvero tali che nessuno degli elementi dell'insieme iniziale compaia nella sua posizione originaria.
Tali permutazioni si chiamano anche dismutazioni o sconvolgimenti.
In particolare !4 = 9.

Soluzioni	Note
0 = R - R + R - R	anche R - R
1 = 0!	anche (R-R)!
2 = Q(1)	anche Q((R-R)!)
3 = Q(1) + 1	Q((R - R)!) + (R - R)!
4 = H(2) = Q(1) · Q(1)	Q((R - R)!) · Q((R - R)!)
5 = H(2) + 1	H(Q((R-R)!)) + (R - R)!
6 = 3! = H(2) + 2	anche (Q(1) + 1)!
7 = 8 - 1	(Q(1) · Q(1))!! - (R-R)!
8 = 4!!	(Q(1) · Q(1))!!
9 = !4	!(Q((R - R)!) · Q((R - R)!))
10 = Q(2) - 2	Q(Q(1)) - Q(1)

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Pace e bene a tutti!

Gianfranco Bo

Data creazione: febbraio 2019

Ultimo aggiornamento: giugno 2020

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