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Le quattro operazioni e dintorni

1. Dov'è finito l'Euro mancante?

2. Il tarlo
In uno scaffale della biblioteca di mio zio sono disposti in ordine, uno accanto all'altro, i tre volumi della Divina Commedia. Ciascun volume è costituito da 300 pagine più le copertine.
Un tarlo scava una galleria partendo dalla PRIMA pagina del PRIMO volume, l'Inferno, e arriva fino all'ULTIMA pagina del terzo volume, il Paradiso.
Quante pagine sono state forate dal tarlo?
[Peano, 1925]

3. Il mistero dei meloni A
Due sorelle, Adele e Berolina, vanno al mercato portando ciascuna 60 meloni da vendere.
Adele vende 30 meloni a 2 per un Euro e gli altri 30 a 3 per un Euro.
Berolina vende i suoi 60 meloni a 5 per 2 Euro.
Sembra la stessa cosa, ma in realtà una delle due incassa di più. Chi?
[Peano, 1925]

4. Il mistero dei meloni B
Due soci comprano 250 meloni pagandoli 5 per 2 euro.
Ne rivendono 120 a 2 per 1 euro e 120 a 3 per 1 euro.
10 meloni, rimangono invenduti.
Guadagnano o perdono?
[Alcuino, 800]

5. Il mistero dei meloni C
Ngongo compra due casse di meloni.
La prima cassa contiene n meloni al prezzo di 2 per 1 denaro
La seconda cassa contiene n meloni al prezzo di 3 per 1 denaro.
Ngongo, pensa che ha pagato i meloni mediamente 5 per 2 denari e decide di venderli a 5 per 2 denari.
Alla fine della giornata si accorge di aver perso 4 denari.
Quanto vale n?
[Simpson 1745]

6. Il mistero dei meloni D
Due venditori di meloni, Aldo e Hugo, si trovano al mercato.
Aldo vende i suoi meloni a 2 per 1 denaro.
Hugo vende i suoi a 3 per 1 denaro.
Aldo e Hugo hanno lo stesso numero di meloni.
Poiché i meloni sono praticamente identici, Aldo protesta contro Hugo accusandolo di concorrenza sleale.
Hugo allora gli propone:
- Mettiamo assieme i nostri meloni e vendiamoli a 5 per 2 denari. Quando li avremo venduti tutti divideremo il ricavato in base ai nostri rispettivi prezzi. D'accordo?
Aldo, che da piccolo non aveva studiato matematica, accetta la proposta molto volentieri.
Alla fine della giornata, pur avendo venduto tutti i meloni, in cassa ci sono 7 denari in meno di quanto ci si aspettava.
Quanti meloni aveva Hugo?
Quanti denari ha perso Aldo?
[Loyd, 1914]

7. Compro, vendo, compro
Un commerciante frenetico compra un orologio per 10 Euro, lo rivende a 20 Euro, lo ricompra a 30 Euro e lo rivende a 40 Euro.
Ha guadagnato, o perso?
Quanto?
[Rudin, 1936]

8. Vendo, compro, vendo
Un altro commerciante vende un orologio a 40 Euro e lo ricompra a 30 Euro. E' chiaro che ha guadagnato 10 Euro, visto che si ritrova con il suo orologio e 10 Euro.
In seguito lo rivende a 35 Euro, guadagnando altri 5 Euro.
Tutto soddisfatto pensa:
"Ho guadagnato 15 Euro."

• La sua segretaria però gli dice:
  "Lei ha cominciato con un orologio che valeva 40 euro e alla fine si ritrova con (40 - 30 + 35) = 45 euro, perciò ha guadagnato 5 euro.
  La prima vendita dell'orologio a 40 euro è un mero scambio e non porta nessun guadagno né perdita. Il guadagno si ha soltanto dopo aver ricomprato l'orologio per 30 euro e averlo rivenduto per 35 euro.
  Infatti: guadagno = ricavo - spesa."
• Il commerciante telefona al suo commercialista che gli dice:
  "Quando vende il suo orologio per 40 euro e lo ricompra per 30 euro, ha guadagnato 10 euro perché ha lo stesso orologio e 10 euro in più.
  Quando lo rivende per 35 euro, si tratta di un mero scambio e non realizza alcun guadagno nè perdita.
  Perciò ha guadagnato 10 euro."
• Il commerciante, dopo una giornata di così duro lavoro, torna a casa e racconta tutto alla moglie, la quale gli spiega:
  - Caro, questa mattina avevi un orologio e ora hai 45 Euro, ma quanto ti costerà domani un altro orologio per andare avanti nel tuo commercio? Fino a domani non si può dire quanto hai guadagnato.
  Il commerciante, quella sera, guardandosi allo specchio si chiede perplesso: - Oggi ho guadagnato o perso? Quanto?

[Clark, 1897]

9. Correggere spostando uno stecchino
Nelle seguenti operazioni, le cifre ed i segni di operazione sono rappresentati per mezzo di stecchini.
Sai correggere ogni operazione spostando un solo stecchino?

10. Correggere aggiungendo un piccolo trattino
Sai correggere le seguenti operazioni aggiungendo soltanto un piccolo trattino con la penna?

5 + 5 + 5 = 550

5 + 5 + 5 + 5 = 555

11. Correggere togliendo un piccolo trattino
Sai correggere le seguenti operazioni cancellando soltanto un piccolo trattino con il bianchetto?

444 + 4 = 12

12. Spostando un solo stecchino ottenere un'altra operazione vera
Le seguenti operazioni sono esatte. Ma spostando un solo stecchino si posso trasformare in altre operazioni sempre esatte. Come?

13. Correggere le operazioni senza spostare nessuno stecchino nè tracciare alcun segno
Le seguenti operazioni sono errate. Sai correggerle senza spostare nessuno stecchino e senza aggiungere né togliere segni?

9l x 9 = 96

14. Correggere spostando un solo segno
La seguente operazione può essere corretta spostando un piccolo segno. Quale?

62 - 63 = 1

15. Il prodotto di tutti i numeri primi conosciuti
Il prodotto di tutti i numeri primi conosciuti è pari o dispari?
Con quale cifra termina?
La cifra delle decine è pari o dispari?
(JE)

16. Un grande mazzo di fiori
Un avaro regalò un grande mazzo di fiori alla sua fidanzata: erano tutte rose meno 2, tutti gigli meno 2, tutte margherite meno 2.
Da quanti e quali fiori era formato il mazzo?
(JE modificato)

17. Gli animali di mio zio
Nella fattoria di mio zio vivono diversi animali. Sono tutti tori meno 4. Sono tutte mucche meno 4. Ci sono tanti cavalli quanti bovini, il resto sono galline. Quanti e quali animali ci sono nella fattoria di mio zio?

18. Il cambio delle ruote
Un'automobile percorre 10000 km. Le 5 ruote, compresa quella di scorta, vengono permutate regolarmente in modo che tutte si consumino ugualmente. Quanti kilometri ha percorso ciascuna ruota?
(JE e altre fonti)

19. Numeri primi e quadrati
Quanti numeri di 2 cifre sono primi e hanno come predecessore un quadrato?

20. Occhi, teste, zampe e numero di animali
Anna e Pedro andarono allo zoo e videro, in un recinto, alcune giraffe e alcuni struzzi.
Al ritorno Anna chiese a Pedro: "Hai contato quante erano le giraffe e quanti gli struzzi?"
Pedro le rispose: "Trovalo da sola. Io so soltanto che ho visto 30 occhi e 44 zampe."

21. Quanti animali ci sono nel cortile?
In cortile ci sono galline e conigli per un totale di t teste e z zampe. Quanti sono i conigli e quante le galline?

22. Gli animali del circo
Un circo dispone di alcuni animali selvaggi per un totale di 11 teste e 20 zampe. Si sa che i quadrupedi sono il doppio dei bipedi. Quanti animali ci sono nel circo, e di quale tipo?

23. Strappare i fogli di una rivista
In una rivista settimanale si strappano le pagine 23 e 24 e vengono via anche le pagine 41 e 42.
Quante pagine ha la rivista?
(JE)

24. Quanti anni ha Pippo?
Pippo, alla festa del suo compleanno, nel 2000, dice: Bei tempi quelli in cui avevo n anni nell'anno n^2.
Quante candeline ci sono sulla torta di Pippo?
Suggerimento: ci sono tante candeline quanti sono gli anni compiuti da Pippo nel 2000.

25. La metà
Quant'è la metà di 2⁸ ?

26. Numeri primi e quadrati
Quanti numeri di 2 cifre sono primi e hanno come predecessore un quadrato?

Risposte & riflessioni

1. Dov'è finito l'Euro mancante?

2. Il tarlo
Osservando un libro di "costa", la prima pagina si trova sulla destra e l'ultima sulla sinistra.
La figura seguente illustra la situazione del problema.
Il simbolo > rappresenta il bruco che scava la galleria.

Il bruco ha bucato 302 pagine più 4 copertine.

3. Il mistero dei meloni A
Incasso di Adele: 15 + 10 = 25 euro
Incasso di Berolina: 60/5 x 2 = 24 euro

4. Il mistero dei meloni B
Spesa: 250/5 x 2 = 100 euro
Incasso 1: 120/2 x 1 = 60 euro
Incasso 2: 120/ 3 x 1 = 40 euro
Incasso totale: 60 + 40 = 100

5. Il mistero dei meloni C
Compra n a 2 x 1, spende: n/2
Compra n a 3 x 1, spende n/3
Vende 2n a 5 x 2, incassa 4n/5
Se perde 4 denari, si può scrivere:
spesa = ricavo + 4
n/2 + n/3 = 4n/5 + 4
da cui si ottiene n = 120

6. Il mistero dei meloni D
Si indichi con n il numero dei meloni di Hugo.
Procedendo come nel problema precedente, si ha:
n/2 + n/3 = 4n/5 + 7
da cui si ottiene n = 210

7. Compro, vendo, compro
di Alan Viezzoli
Si immagini di rileggere il problema nel seguente modo: "Dopo aver venduto per 20 euro l'articolo per cui ne ha pagati 10, il commerciante ha chiaramente guadagnato 10 euro.
Ora il negoziante compra un altro articolo a 30 euro e lo rivende a 40 euro." In questo modo ha di nuovo guadagnato 10 euro, dunque il guadagno totale è stato di 20 euro.

8. Vendo, compro, vendo

9. Correggere spostando uno stecchino
(6+9=15)
(0+7=7)
(7-3=4)
Gex propone una soluzione molto interessante.
Volevo proporre un'altra soluzione per la correzione spostando uno stecchino dell'operazione 7 = 3 - 4alla quale era stata data la soluzione 7 - 3 = 4. La mia soluzione sarebbe:
-1=3-4.
11 + 3 = 14 (il 4 si trasforma in 11)

10. Correggere aggiungendo un piccolo trattino
(545+5=550)
(545+5+5=555)
Il segno + si trasforma in 4

11. Correggere togliendo un piccolo trattino
(4+4+4=12)
Un 4 si trasforma in +

12. Spostando un solo stecchino ottenere un'altra operazione vera
(5+3=8)
(3+7=10)

13. Correggere le operazioni senza spostare nessuno stecchino nè tracciare alcun segno

Basta capovolgere il foglio e si ha: 12 = 6 x 2

9l x 9 = 96
Basta capovolgere il foglio e si ha: 96 = 6 x 16

Le cifre che rimangono cifre anche se capovolte, con un carattere tipo Arial sono:
0, l (1), 6, 9, 8
Sfruttando questa caratteristica si possono costruire problemi tipo questo:
Senza tracciare nessuna riga, né effettuare correzioni, traformare questa operazione errata in una operazione esatta:
81 x 9 = 801
91 x 9 = 96
11 x 66 = 6801
68 + 1 - 8 = 96
Invece sul display a segmenti della calcolatrice, le cifre che rimangono cifre anche se capovolte sono:
1, 2, 5, 6, 8, 9

14. Correggere spostando una sola cifra
di Alan Viezzoli
62 = 63 - 1
Un trattino dell'uguale si è spostato sul meno, facendolo diventare un uguale e tramutando l'uguale in un meno.

15. Il prodotto di tutti i numeri primi conosciuti
I primi numeri primi sono: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
Chiamiamo P il prodotto di tutti i numeri primi conosciuti.
P conterrà senz'altro i fattori 2 e 5.
Siccome 2 x 5 = 10, P termina senz'altro per 0 (zero).
La cifra delle decine deve essere dispari perchè se fosse pari allora P sarebbe divisibile per 4, il quale non è un numero primo.

16. Un grande mazzo di fiori
Una rosa, un giglio, una margherita.

17. Gli animali di mio zio
Una mucca, un toro, due cavalli e una gallina. Provare per credere.

18. Il cambio delle ruote

19. Numeri primi e quadrati
2. Sono: 17, 37

20. Occhi, teste, zampe e numero di animali
Indichiamo con x il numero di giraffe e con y il numero di struzzi.
Si ha il seguente sistema:

2x + 2y = 30
2x + 4y = 44

Per differenza:

2y = 14

da cui si ricava:

y = 7
x = 8

21. Quanti animali ci sono nel cortile?
Indichiamo con x il numero di quadrupedi e con y il numero di bipedi.
Si ha il seguente sistema:

x + y = t (numero di teste)
2x + 4y = z (numero di zampe)

22. Gli animali del circo
4 quadrupedi, 2 bipedi, 5 serpenti.
Nel problema non si dice che ci sono SOLO quadrupedi e bipedi.

23. Strappare i fogli di una rivista
Notiamo subito che le pagine 23-24 corrispondono ad un unico foglio il quale, per simmetria, è lo stesso pezzo di carta su cui si trovano le pagine 41-42.
Sempre per simmetria possiamo dire che da pag. 23 a pag 1 ci devono essere tante pagine quante ce ne sono da pag 42 all'ultima pagina della rivista.
23 - 1 = 22
42 + 22 = 64
Quindi la rivista ha 64 pagine.
Esclusa la copertina.

24. Quanti anni ha Pippo?
43²=1849
44²=1936
45²=2025
Pippo aveva 44 anni nel 1936. Questa è l'unica soluzione umanamente plausibile.
Perciò nel 2000 egli compie 2000 - 1936 + 44 = 108 anni.

25. La metà
2⁷

26. Numeri primi e quadrati
2.
Sono: 17, 37

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