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Serie e sequenze di numeri

0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - ...
Come continua questa serie di numeri?

1. Prove d'intelligenza facili
In alcuni test d'intelligenza si chiede di completare delle serie numeriche. Quasi sempre si tratta di giochi da ragazzi. Ne riporto alcuni, tanto per scaldarsi i neuroni.
Come continuano le seguenti serie numeriche?
2 - 5 - 8 - 11 -
7 - 10 - 9 - 12 - 11 -
2 - 7 - 24 - 77 -
6 - 9 - 18 - 21 - 42 - 45 -
3 - 7 - 16 - 35 -

2. Prove d'intelligenza medie
A volte si trova anche qualche esercizio interessante. Pane per i denti di chi vuole entrare nel club MENSA.
7 - 9 - 40 - 74 - 1526 -
8 - 10 - 14 - 18 - ? - 34 - 50 - 66
28 - 33 - 31 - 36 - 34 -
8 - 24 - 12 - ? - 18 - 54 -
260 - 216 - 128 - 108 - 62 - 54 - ? - 27

3. Quattro modi di continuare una serie
Ecco una serie di numeri interi:
1 - 2 - 3 - 5 - 7 - 11 -
Sai trovare almeno quattro possibili continuazioni?

4. Una sequenza
3 - 5 - 6 - 9 - 10 - ?
Qual è il numero seguente e perché?

5. Una sequenza
Come continua questa successione?
224
426
628
816

6. Un esame di matematica
Ad un esame di matematica il professore consegnò a tutti gli alunni un foglietto.
Il foglietto conteneva la descrizione di un criterio assolutamente semplice, preciso, unico e logico per mettere in sequenza le cifre del sistema decimale.
Il test era identico per tutti gli studenti.
Lo studente Giovanni Rossi restituì il seguente risultato:
5 - 2 - 9 - 8- 4 - 6 - 7 - 3 - 1 - 0
Lo studente John Smith restituì il seguente risultato:
8 - 5 - 4 - 9 - 1 - 7 - 6 - 3 - 2 - 0
Pablo Gonzales trovò il seguente risultato:
0 - 5 - 4 - 2 - 9 - 8 - 6 - 7 - 3 - 1
Franz Otto, il miglior matematico della classe, consegnò il seguente risultato:
0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9
Risultato della prova: Rossi, Smith e Gonzales promossi, Otto bocciato.
Perché?

7. Una sequenza
Qui sotto sono riportati i primi otto termini di una successione.
Qual è il termine successivo?
Qual è il criterio è di formazione della serie?
Perchè in questa serie non comparirà mai un numero maggiore di 3?
1
11
21
1211
111221
312211
13112221
1113213211

8. Il mio amico Fibonacci
Leonardo Pisano, detto Fibonacci, fu un famoso matematico che visse dal... al...
E' l'inventore della famosa serie di Fibonacci. Eccola:
1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - ...
Con quale criterio è costruita questa serie e come continua?
(i primi due termini sono 1 - 1 e ogni altro termine è la somma dei due che lo precedono)
Ed ecco una domanda difficile:
E' possibile trovare una terna pitagorica nella serie di Fibonacci?
Una terna pitagorica è costituita da tre numeri interi tali che il quadrato di uno di essi è uguale alla somma dei quadrati degli altri due.
Ovviamente i numeri possono avere qualsiasi posizione all'interno della serie e non essere "consecutivi".

Ultimo aggiornamento: giugno 2005

Risposte & riflessioni

1. Prove d'intelligenza facili
Risposta inviata da Ivan D'Avanzo

5-8-11-14-17-20-23 (Basta aggiungere 3 al numero precedente)

7-10-9-12-11-14-13-16-15 (Bisogna saltare una posizione aggiungendo 2)

2-7-24-77-240-693 (Non ne sono sicuro ma  24:2=12; 77:7=11 quindi ho pensato 240:24=10 e 693:77=9 per mantenere la sequenza 12-11-10-9-...)
Potrebbe anche essere 3^1-1, 3^2-2, 3^3-3, 3^4-4,3^5-5,..., per cui il quinto termine è 238.

6-9-18-21-42-45-90-93-186 (Bisogna aggiungere 3, moltiplicare per 2,aggiungere 3,moltiplicare per 2, ecc...)

3-7-16-35-74-153 ( La sequenza di operazioni è (n x 2)+1, (n x 2)+2, (n x 2)+3, (n x 2)+4, ...+5, ...+6, ...+7)

2. Prove d'intelligenza medie
Un particolare ringraziamento a Pietro Vitelli

1° sequenza: 7-9-40-74-1526

tale sequenza si ottiene utilizzando il seguente procedimento:

- l'elemento n-esimo della sequenza è uguale a:

a) [(elemento (n-2)-esimo)² - elemento (n-1)-esimo] se l'elemento n-esimo si trova in una posizione dispari (n è dispari);
b) [(elemento (n-2)-esimo)² - elemento (n-3)-esimo] se l'elemento n-esimo si trova in una posizione pari (n è pari);

quindi, nel nostro caso, abbiamo che i due numeri arbitrari iniziali della sequenza sono 7 e 9.
Da questi ricaviamo gli altri; si ha:

7
9
40 = [(elemento (n-2)-esimo)² - elemento (n-1)-esimo] = 7² - 9
74 = [(elemento (n-2)-esimo)² - elemento (n-3)-esimo] = 9² - 7
1526 = [(elemento (n-2)-esimo)² - elemento (n-1)-esimo] = 40² - 74

quindi, gli elementi successivi a 1526 saranno:

5436 = [(elemento (n-2)-esimo)² - elemento (n-3)-esimo] = 74² - 40
2323240 = [(elemento (n-2)-esimo)² - elemento (n-1)-esimo] = 1526² - 5436
e così via ...

2° sequenza: 8-10-14-18-?-34-50-66

Al posto del punto interrogativo va messo il 26. Vediamo perchè.

I primi due numeri della sequenza, 8 e 10, sono arbitrari;
il 3° e il 4° numero, 14 e 18, si ottengono ciascuno dal numero precedente aggingendo 4:

14 = 10+4
18=14+4

Il 7° e l' 8° numero, 50 e 66, si ottengono ciascuno dal numero precedente aggiungendo 16:

50 = 34+16
66 = 50+16

per cui, il 5° e il 6° numero, ? e 34, si otterranno ciascuno dal numero precedente aggiungendo 8, che è il doppio di 4 e la metà di 16:

? = 18+8
34 = ?+8

per cui ? = 26.

Volendo continuare la sequenza, si ha:

8
10
14 = 10+4
18 = 14+4
26 = 18+8
34 = 26+8
50 = 34+16
66 = 50+16
------------
98 = 66+32
130 = 98+32
e così via ...

3° sequenza: 28-33-31-36-34

l'elemento n-esimo della sequenza si ottiene:

a) sommando 5 all' elemento (n-1)-esimo se l'elemento n-esimo si trova in posizione pari (n è pari);
b) sottraendo 2 all'elemento (n-1)-esimo se l'elemento n-esimo si trova in posizione dispari (n è dispari);

quindi, nel nostro caso:

28
33 = 28+5
31 = 33-2
36 = 31+5
34 = 36-2

gli elementi successivi saranno:

39 = 34+5
37 =39-2
e cosi vià ...

4° sequenza: 8-24-12-?-18-54

Si nota che l'elemento n-esimo della sequenza si ottiene:

a) moltiplicando per 3 l'elemento (n-1)-esimo se l'elemento n-esimo si trova in posizione pari (n è pari);
b) dividendo per 2 l'elemento (n-1)-esimo se l'elemento n-esimo si trova in posizione dispari (n è dispari);

quindi nel nostro caso, avremo:

8
24 = 8*3
12 = 24/2
? = 12*3
18 = ?/2
54 = 18*3

per cui, ? = 36.

Volendo continuare la sequenza, avremo:

27 = 54/2
81 =27*3
e così via ...

5° sequenza: 260-216-128-108-62-54-?-27

l'elemento n-esimo della sequenza è uguale a:

a) [(elemento (n-2)-esimo - 4)/2] se l'elemento n-esimo si trova in posizione dispari (n è dispari);
b) [(elemento (n-2)-esimo)/2] se l'elemento n-esimo si trova in posizione pari (n è pari);

quindi nel nostro caso, avremo:

260
216
128 = (260-4)/2
108 = 216/2
62 = (128-4)/2
54 = 108/2
? = (62-4)/2
27 = 54/2

per cui ? = 29.

Volendo continuare la sequenza, avremo:

12.5 = (29-4)/2
13.5 = 27/2
e così via ...

3. Quattro modi di continuare una serie
di Pietro Vitelli

1° possibile continuazione:

Il 1° numero della serie, 1, è arbitrario.
Il 2° e il 3° numero, 2 e 3, si ottengono ciascuno dal numero precedente aggiungendo 1:

2 = 1+1
3 = 2+1

il 4° e il 5° numero, 5 e 7, si ottengono ciascuno dal numero precedente aggiungendo 2:

5 = 3+2
7 = 5+2

il 6° e il 7° numero, 11 e ?, si ottengono ciascuno dal numero precedente aggiungendo 4:

11 = 7+4
? = 11+4

per cui ? = 15

E' chiaro che la serie continuerà nel seguente modo:

1
2 = 1+1
3 = 2+1
5 = 3+2
7 = 5+2
11 = 7+4
15 = 11+4
23 = 15+8
31 = 23+8
e così via ...

cioè: 1-2-3-5-7-11-15-23-31-...

2° possibile continuazione:

1 e 2 sono i due numeri iniziali arbitrari della serie, o, se vogliamo, 2 = 1*2.
Il 3° e il 4° numero della serie, 3 e 4, si ottengono ciascuno dal numero precedente moltiplicandolo per 2 e sottraendo 1:

3 = 2*2-1
5 = 3*2-1

il 5° e il 6° numero, 7 e 11, si ottengono ciascuno dal numero precedente moltiplicandolo per 2 e sottraendo 3:

7 = 5*2-3
11 = 7*2-3

per cui la serie continuerà nel seguente modo:

1
2
3 = 2*2-1
5 = 3*2-1
7 = 5*2-3
11 = 7*2-3
17 = 11*2-5
29 = 17*2-5
51 = 29*2-7
e così via ...

cioè: 1-2-3-5-7-11-17-29-51-...

3° possibile continuazione:

1 è il numero iniziale arbitrario della serie;
i numeri successivi della serie si ottengono prendendo, a partire da 1, in ordine crescente, tutti i numeri primi:

1-2-3-5-7-11-13-17-19-23-29-...

4° possibile continuazione:

1 e 2 sono i numeri arbitrari iniziali della serie;
il 3° e il 4° numero, 3 e 5, si ottengono ciascuno sommando i due numeri che lo precedono:

3 = 1+2
5 = 2+3

il 5° e il 6° numero, 7 e 11, si ottengono ciascuno sommando i due numeri che lo precedono e sottraendo 1:

7 = 3+5-1
11 = 5+7-1

per cui la serie continuerà nel seguente modo:

1
2
3 = 1+2
5 = 2+3
7 = 3+5-1
11 = 5+7-1
16 = 7+11-2
25 = 11+16-2
38 = 16+25-3
60 = 25+38-3
e così via ...

cioè: 1-2-3-5-7-11-16-25-38-60

Ringrazio Bruno Berselli, di Bologna, per le seguenti osservazioni.
Per quanto riguarda il punto 3, invece, si potrebbe partire da una successione come questa:

e poi cercare il più grande quadrato non maggiore di ciascuno di tali numeri, ottenendo così una sequenza che presenta i primi sei termini di quella proposta:

4. Una sequenza
N.d.R. Le seguenti due spiegazioni giungono allo stesso risultato ma per vie e con modalità diverse. Molto interessante...

di Luciana Alessandrini
14
perchè la sequenza dice: +2+1, +3+1, +4...

di Pietro Vitelli
L'elemento n-esimo della sequenza è uguale a:

a) [elemento (n-1)-esimo + 1] se l'elemento n-esimo si trova in posizione dispari (n è dispari);
b) [elemento (n-1)-esimo + (n/2)+1] se l'elemento n-esimo si trova in posizione pari (n è pari);

quindi, nel nostro caso, avremo:

3
5 = [elemento (n-1)-esimo + (n/2)+1] = 3+(2/2)+1
6 = [elemento (n-1)-esimo + 1] = 5+1
9 = [elemento (n-1)-esimo + (n/2)+1] = 6+(4/2)+1
10 = [elemento (n-1)-esimo + 1] = 9+1
? = [elemento (n-1)-esimo + (n/2)+1] = 10+(6/2)+1

per cui, ? = 14.

Volendo continuare la sequenza, avremo:

15 = 14+1
20 = 15+(8/2)+1
e così via ...

5. Una sequenza
Ringrazio Pietro Vitelli per l'interessante, acuta e laboriosa risoluzione.
Ecco la mia soluzione alla serie:

(penso ve ne siano altre migliori e più logiche, ma non ho la minima idea di quali siano)

Partiamo dal 1° numero della serie, 224.
Effettuando la seguente operazione otteniamo 426, il 2° numero della serie:

224 + 1091 - 889 = 426

dove 1091 è, a partire da 1, il 180° numero primo, mentre 889 è un numero qualsiasi.
Sono i numeri casuali tramite i quali la serie è stata impostata (la scelta di tali numeri da parte dell'ideatore della serie mi sembra poco logica, per questo ritengo vi siano soluzioni migliori e più logiche).

Passiamo ora al 2°termine della serie, 426.
Effettuando la seguente operazione otteniamo 628, il 3° numero della serie:

426 + 1087 - 885 = 628

dove 1087 è il numero primo immediatamente precedente al numero primo 1091, utilizzato per il calcolo del 2° termine, e 885 si ottiene dal numero sopra scritto 889 togliendo 4.
Passiamo al 3° termine,628.
Effettuando la seguente operazione otteniamo 816, il 4° numero della serie:

628 + 1069 - 881 = 816

dove 1069 è il numero primo immediatamente precedente al numero primo 1087, utilizzato per il calcolo del 3° termine, e 881 si ottiene dal numero sopra scritto 885 togliendo 4.

Per cui riassumendo:

1°)224
2°)426 = 224 + 1091 - 889
3°)628 = 426 + 1087 - 885
4°)816 = 628 + 1069 - 881

dove 1069, 1087, 1091, sono numeri primi consecutivi, e i numeri a partire da 889 si susseguono togliendo sempre 4.

Per cui volendo continuare la serie avremo:

5°)1002 = 816 + 1063 - 877
6°)1190 = 1002 + 1061 - 873
7°)1372 = 1190 + 1051 - 869
8°)1556 = 1372 + 1049 - 865
...
...

E' ovvio che la sequenza è convergente, per cui andrà a finire;
in particolare dato che il primo numero primo utilizzato è 1091, che è il 180° numero primo a partire da 1, vuol dire che i termini della serie sono proprio 180.
Con l'aiuto di un programmino per computer (che non ho fatto per mancanza di tempo e di voglia) risulta facile calcolare l'ultimo numero della sequenza.

Ringrazio Bruno Berselli, di Bologna, per le seguenti osservazioni.
Ho trovato interessanti le soluzioni indicate e al riguardo vorrei segnalarle una curiosa e gradevole ricorsione per la sequenza del punto 5:

6. Un esame di matematica
di Alan Viezzoli
Il foglio richiedeva di mettere le cifre in ordine alfabetico e ognuno l'ha fatto nella propria lingua

Cinque - Due - Nove - Otto - Quattro - Sei - Sette - Tre - Uno - Zero
Eight - Five - Four - Nine - One - Seven - Six - Three - Two - Zero
... [per mia sfortuna, non conosco lo spagnolo]

Otto, invece, ha disposto le dieci cifre in ordine numerico, così è stato bocciato.

7. Una sequenza
Risposta inviata da Ivan D'Avanzo

1
11
21
1211
111221
312211
13112221
1113213211
31131211131221
13211311123113112211

La soluzione sta nel leggere i numeri in questo modo:
1 = Un 1 (cioè 11)
11= Due 1 (cioè 21)
21= Un 2 Un 1 (cioè 1211)
1211=Un 1 Un 2 Due 1 (cioè 111221)
111221= Tre 1 Due 2 Un 1(cioè 312211)

.................quindi l'ultimo numero

1113213211= Tre 1 Un 3 Un 2 Un 1 Un 3 Un 2 Due 1 (cioè 31131211131221)

Se poi si prosegue con il ragionamento, si nota che non si potranno mai verificare cifre >3 poiché da una cifra singola, si può passare al massimo a tre cifre consecutive, che vengono poi "raggruppate" nella cifra 3.  Si dimostra inoltre che partendo da 1 l'unica sequenza di numeri con lo stesso numero di cifre di quella precedente è 11-21, infatti da 21 in poi le cifre aumenteranno sempre.

Bruno Berselli, di Bologna, segnala che anche la coppia
111221-312211
è costituita da due numeri aventi lo stesso numero di cifre.
A questo punto la domanda sorge spontanea, ce ne sono altre? Quante? Quali?

8. Il mio amico Fibonacci
Ringrazio Jack202 per la soluzione.
Definizione della serie di Fibonacci

F(0)=1
F(1)=1
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
----

Visto che F(a) = F(a-1) + F(a-2)
elevando al quadrato
F(a)^2 = F(a-1)^2 + F(a-2)^2 + 2F(a-1)F(a-2)

ovvero
F(a)^2 > F(a-1)^2 + F(a-2)^2

e visto che la serie di Fibonacci è crescente
a maggior ragione avremo

F(a)^2 > F(b)^2 + F(c)^2
con b,c diversi tra loro e minori di a

dunque uno tra b e c dovrà essere maggiore di a, ma questo ribalterà il segno dell'uguaglianza, sempre in base al fatto che la serie di Fibonacci è crescente.
Con ciò concludo la dimostrazione che nella serie di Fibonacci NON ESISTONO terne pitagoriche. Il discorso può essere inoltre generalizzato seguendo lo stesso filo conduttore fino a giungere alla proposizione

A) Se n è un numero naturale maggiore di uno, non esistono terne naturali (a,b,c) tali che

     F(a)^n + F(b)^n = F(c)^n

 Un simil-teorema di Fermat... anche se molto + scontato.

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