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L'età delle figlie

Nei problemi di questo tipo si chiede di scoprire tre numeri sapendo il loro prodotto, talvolta anche la loro somma, e qualche altra informazione che sembra non entrarci nulla, mentre invece è determinante per trovare la risposta.

In molti casi i tre numeri sono delle età.

1. Un classico: l'età delle figlie
Un intervistatore bussa alla porta di una casa dove è atteso da una signora. La signora gli apre e lui chiede:
"Quanti figli ha?"
"Ho tre figlie." gli risponde la donna."
"Età?"
"Il prodotto delle età è 36 e la somma è uguale al numero civico di questa casa."
"Buon giorno e grazie."
L'intervistatore se ne va, ma dopo un po' ritorna e le dice:
"I dati che mi ha fornito non sono sufficienti."
La signora ci pensa un po' e replica:
"E' vero, che sbadata! La figlia maggiore ha gli occhi azzurri."
Con questo dato l'intervistatore può conoscere l'età delle tre figlie.
Quanti anni hanno?

2. Uno originale: la torre
(inviato da Pasquale)
In una classe di un quinto Liceo Scientifico l'insegnante di matematica dettò il seguente problema ai propri allievi, tutti bravissimi e da sempre studenti modello:

"In una torre a forma di parallelepipedo il volume è pari a 180 metri cubi, il semiperimetro di base è uguale alla lunghezza di quest'aula, mentre la somma di uno dei lati della base con l'altezza è uguale all'incirca all'età di ciascuno di voi, ovviamente espressa in metri. Calcolare l'area della base della torre."

Dopo circa due ore, nessuno aveva ancora consegnato il compito, quando l'insegnante disse ai ragazzi:

"Dovete scusarmi, ma stamattina ero sovrappensiero, perché stavo pensando che ieri sera a casa mia, a tavola, abbiamo corso un brutto rischio ... sapete che sono molto superstizioso, ma per fortuna poi abbiamo rimediato ... Comunque, bando alle chiacchiere, vedendo che, stranamente, nessuno di voi ha risolto il compito ho notato che avevo dimenticato di dirvi che la semisomma dell'altezza della torre con uno dei lati della base è uguale al numero delle mele che mia moglie ha comprato ieri al mercato."

Infatti, con quest'ultimo dato, di lì a poco, tutti consegnarono il compito con la soluzione esatta: quale?

3. La figlia del professore
The professor's daughter, pp. 48 & 101. Youngest daughter is at least three. The product of their ages is 1200 and the sum is ten less than the wife's age. Visitor computes and then makes two wrong guesses as to the age of the youngest daughter. How old is the wife?
Hubert Phillips. My Best Puzzles in Mathematics. Dover, 1961. Prob. 87

The fact that the visitor made two wrong guesses means there must be at least three sets of ages, all ³ 3, with product 1200 and the same sum, and indeed there is just one such situation, and this has three daughters. Allowing younger children permits some more complicated possibilities since we have

1 + 3 + 20 + 20 = 2 + 2 + 10 + 30 = 3 + 16 + 25 = 4 + 10 + 30

and 2 + 2 + 15 + 20 = 4 + 15 + 20 = 5 + 10 + 24 = 6 + 8 + 25.

(Phillips had most of these problems in his newspaper and magazine columns so it is likely that this will turn up in the period 1930-1950.)

4. Le età di tre persone
Il prodotto di 3 età è 1296 e la somma è il numero civico della casa in cui abitano.
L'impiegato del censimento chiede ad uno di essi se fra i tre c'è qualcuno più vecchio di lui. La risposta è: "No" e l'impiegato scopre le tre età.
Quali sono le età?
M. H. Greenblatt. Mathematical Entertainments, op. cit. in 6.U.2, 1968

5. Il prete e il banchiere (?)
Un prete incontra un banchiere accompagnato da tre donne.
Il prodotto delle età delle donne è 2450 e la somma è uguale all'età del prete.
Il prete dice che i dati sono insufficienti per determinare l'età delle donne e chiede se qualcuna delle tre donne ha la stessa età del banchiere.
La risposta è: "No" e il prete scopre le età delle donne e anche quella del banchiere.
Quali sono le età?
M. H. Greenblatt. Mathematical Entertainments, op. cit. in 6.U.2, 1968

6. I tre marziani
Il prodotto delle età di tre giovani marziani è 1252 e la loro somma è uguale all'età del loro papà.
L'intervistatore dice che i dati sono insufficienti e chiede se qualcuno dei giovani marziani ha la stessa età dell'intervistato.
La risposta è: "No" e l'intervistatore scopre immediatamente le età dei tre marziani!
Come ha fatto?
Quali sono le tre età?
M. H. Greenblatt. Mathematical Entertainments, op. cit. in 6.U.2, 1968

7. Le etichette sulla schiena
Due persone hanno ciascuna un'etichetta sulla schiena.
Su ciascuna delle etichette è scritto un numero intero visibile ovviamente dall'altra persona.
Non ci sono specchi.
Alle due persone viene detto che la somma dei numer è 6 oppure 7.
Quindi viene chiesto alle persone, alternativamente, ripetendo più volte il ciclo, se sanno qual'è il numero sulla propria etichetta.
Se hanno entrambe il numero 3, qual è la sequenza delle risposte?
A. K. Austin. A calculus for know/don't know problems. MM 49:1 (Jan 1976) 12-14

Chiave inglese di ricerca: census-taker problem

Nota storica (fonte: David Singmaster)
Il capostipite di questi problemi risalirebbe al 1940. Molto recente.
W. T. Williams & G. H. Savage. The Penguin Problems Book. Penguin, 1940. No. 96: The church afloat, pp. 53 & 135. Three ages: product = 840, sum is twice the curate's age. This is insufficient, but whether the eldest is older or younger than the vicar is sufficient to decide.

M. H. Greenblatt. Mathematical Entertainments, op. cit. in 6.U.2, 1968. Chap. 1: "Census-taker" problems, pp. 1-7. Says he believes these problems came from some wartime project at MIT. Discusses three similar types.

Risposte & riflessioni

1. Un classico: l'età delle figlie
Le figlie hanno rispettivamente 2, 2, 9 anni.
Vediamo di capire perché.
Noi non conosciamo il numero civico della casa, quindi dobbiamo trovare ed esaminare tutti i casi possibili.
Visto che il prodotto è 36, le età potrebbero essere:

Se, ad esempio, il numero civico della casa fosse 14, non ci sarebbero problemi. L'unica terna di numeri interi che da come prodotto 36 e come somma 14 è 1, 4, 9.
Come si vede dalla tabella, l'unica somma che dà origine ad ambiguità è 13, alla quale corrispondono due diverse terne, ciascuna delle quali prevede che due figlie sono gemelle.
Ma la mamma ha precisato: "E' vero, che sbadata! La figlia maggiore ha gli occhi azzurri."
Da ciò si capisce che la maggiore non ha una gemella, ma è unica.
Quindi possiamo dedurre che le tre figlie hanno 2, 2 e 9 anni.

2. Uno originale: la torre
(ringrazio Utervis per la risposta)
L'area di base della torre risulta essere pari a 12 metri quadrati.Considerando, infatti, intere tutte le misure della torre, dell'aula in cui sono presenti gli alunni, l'età media di questi ed il numero delle mele acquistate al mercato il giorno precedente dalla moglie del professore, partiamo dall'unico dato preciso del problema, che nel caso specifico è il volume della torre, pari a 180 metri cubi, e scomponiamolo subito in fattori primi:

180 = 2²·3²·5

Per rispondere al quesito è necessario ora produrre tutte le possibili terne di numeri interi, rappresentative delle tre dimensioni del parallelepipedo rettangolo, che, moltiplicati tra loro, producono 180 metri cubi di volume. Dobbiamo considerare, però, che uno dei tre spigoli, od al massimo anche due di essi, potrebbe anche essere di lunghezza unitaria e quindi le terne possibili salgono alle seguenti 20:

180·1·1
90·2·1
60·3·1
45·4·1
45·2·2
36·5·1
30·6·1
30·3·2
20·9·1
20·3·3
18·10·1
18·5·2
15·12·1
15·6·2
15·4·3
12·5·3
10·6·3
10·9·2
9·5·4
6·6·5

Ognuna di esse sarebbe potuta essere la soluzione giusta senza gli altri dati forniti dall'insegnante. Onde sfoltire tale lista occorre allora tener conto anche di questi ultimi, seppur incerti, controllando quali possibili terne possono rientrare nei limiti imposti. Esaminiamo dapprima il dato che il semiperimetro di base della torre è uguale alla lunghezza dell'aula in cui sono presenti gli alunni, espressa in metri, tenendo conto che per ciascuna terna di numeri interi su scritti non sappiamo quali sono le due misure che rientrano fra i lati di base, ovvero in ogni terna qualsiasi dimensione può essere rappresentativa dell'altezza del parallelepipedo e quindi tutte le terne individuano tre possibili sottocasi, e che i ragazzi, che stanno risolvendo il problema, conoscono, almeno approssimativamente, la lunghezza della loro aula, ovvero è per loro un dato noto, quasi inconfutabile.

Nella terna 180·1·1 possiamo escludere che 180 metri sia l'altezza del parallelepipedo, altrimenti l'aula sarebbe lunga solo due metri che è una misura troppo piccola, incompatibile per le esigenze didattiche. Possiamo escludere anche che sia alta un metro in quanto si otterrebbe un'aula lunghissima di ben 181 metri, quando invece sappiamo che mediamente essa può oscillare dai quattro ai nove metri al massimo. Per tale motivo eliminiamo subito, senza indugi, la terna suddetta, e, per lo stesso motivo, anche le terne 90·2·1, 20·9·1, 18·10·1, 15·12·1, 10·9·2 e 6·6·5 in quanto in ogni sottocaso darebbero aule troppo stette o troppo grandi e quindi inesistenti. Restano da esaminare le restanti 13 terne:

60·3·1
45·4·1
45·2·2
36·5·1
30·6·1
30·3·2
20·3·3
18·5·2
15·6·2
15·4·3
12·5·3
10·6·3
9·5·4

Esaminiamo ora il dato che la somma di uno dei lati della base del parallelepipedo con l'altezza di questa, espresse in metri, è uguale all'età media degli alunni che devono risolvere il compito. Essendo questi del quinto Liceo Scientifico la loro età media può, al massimo, variare da 17 a 20 anni, considerando anche numerosissimi eventuali ripetenti. Anche in questo caso occorre tener presente che tutte le terne rimaste individuano tre possibili sottocasi in quanto qualsiasi misura può rientrare nel lato di base escluso dal conteggio.

Nella terna 60·3·1 possiamo escludere che 60 metri sia un lato di base del parallelepipedo, altrimenti l'aula sarebbe ancora troppo lunga, e quindi potrà rappresentare solo la sua altezza, cosa che possiamo anche escludere in quanto sommata ad una delle altre due misure darebbe un'età media degli alunni ai limiti di un'età di pensionamento di vecchiaia (ben oltre i 60 anni)! Per tale motivo eliminiamo anche la terna suddetta, e, per lo stesso motivo, anche le terne 45·4·1, 45·2·2, 36·5·1, 30·6·1, 30·3·2, e 20·3·3 in quanto in ogni caso darebbero alunni troppo anziani con un'età superiore ai prestabiliti 20 anni. Poichè nelle premesse del testo del problema si dice che gli alunni sono tutti bravissimi e da sempre studenti modello, escludiamo anche quest'ultima ipotesi, ovvero con numerosi ripetenti presenti, e quindi con ragazzi di età media proprio uguale a 20 anni rappresentati nell'unica terna 18·5·2 Possiamo infine escludere anche le terne 10·6·3 e 9·5·4 visto che in ogni sottocaso darebbe invece un'età media degli allievi al di sotto dei prefissati 17 anni. Restano così da esaminare le seguenti tre terne sulle quali tutti gli alunni non possono far altro che indugiare a lungo senza consegnare il compito in quanto tutte equiprobabili:

15·6·2
15·4·3
12·5·3

di cui la prima misura di ciascun terna indica necessariamente l'altezza della torre (altrimenti si avrebbero, al solito, aule troppo lunghe) e le restanti due i lati della base. Se ne deduce che l'aula scolastica è lunga o sette metri (= 4 + 3) oppure otto metri (= 6 + 2 = 5 + 3), mentre l'età media degli alunni risulta pari o a 17 anni (= 15 + 2 = 12 + 5), oppure 18 anni (= 15 + 3), od infine 19 anni (= 15 + 4). Pertanto, ciascuno di essi, pur conoscendo approssimativamente i due dati ricavati non riescono in prima battuta a risolvere il problema in quanto i risultati sono molto prossimi tra loro. Ad esempio non potendo effettuare direttamente le misure dell'aula non sanno, con estrema precisione, se essa è lunga sette od otto metri, o magari è giusto un bel rettangolo 7·8 metri quadri, od ancora ciascuno, pur conoscendo bene tutti i propri compagni, resta indeciso sulle rispettive date di nascita che possono far variare anche di una sola unità il valore medio delle loro età. Quindi essi hanno bisogno necessariamente dell'ultimo dato: la semisomma dell'altezza della torre con uno dei lati della base è uguale al numero delle mele che la moglie del professore ha comprato al mercato il giorno precedente. I risultati di tale calcolo producono per la terna 15·6·2:

(15 + 6)/2 = 21/2 = 10,5
(15 + 2)/2 = 17/2 = 8,5

entrambi impossibili perchè non interi; per la terna 15·4·3 invece producono:

(15 + 4)/2 = 19/2 = 9,5
(15 + 3)/2 = 18/2 = 9

il primo impossibile, il secondo accettabile; infine per la terna 12·5·3 risulta:

(12 + 5)/2 = 17/2 = 8,5
(12 + 3)/2 = 15/2 = 7,5

nuovamente entrambi impossibili. Resta pertanto solo la terna 15·4·3 da cui si ricavano nove mele acquistate al mercato, corrispondenti a circa due chilogrammi e quindi sufficienti per il fabbisogno di una famiglia, un'età media degli alunni compresa fra i 18 (= 15 + 3) ed i 19 (= 15 + 4) anni, del tutto verosimile per una classe di quinto Liceo Scientifico composta da studenti modello, una lunghezza dell'aula pari a sette metri ed a un'area di base della torre di esattamente 4·3 = 12 metri quadrati.

3. Le età di tre persone

4. Il prete e il banchiere (?)

5. I tre marziani

6. Le etichette sulla schiena
L'autore afferma che la sequenza delle risposte è:
1° persona: no
2° persona: no
1° persona: no
2° persona: no
1° persona: no
2° persona: si
1° persona: no
2° persona: si
1° persona: no
2° persona: si
... e così via, all'infinito, alternando i si e i no.

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