[BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]

Cambiare tattica

Problemi che diventano facili trovando la tattica giusta

Ordinare una sequenza

Dovete trasformare la sequenza disordinata A nella sequenza ordinata B attraverso una serie di mosse.

Figura 2

Le mosse lecite sono le seguenti.

a) trasportare una pedina fuori dallo schema; esempio:

Figura

b) trasferire una pedina da una casella ad un'altra casella vuota; esempio:

Figura

c) trasportare una pedina che si trova fuori dallo schema, in una casella vuota; esempio:

Figura

Le domande e i premi.

Merita la medaglia di bronzo chi riesce a dimostrare matematicamente che per risolvere questo gioco sono necessarie 11 mosse.
Merita la medaglia d'argento chi riesce a risolverlo in 10 mosse.
La medaglia d'oro infine è riservata a chi metterà in ordine la sequenza in sole 8 mosse. Ma in questo caso bisogna creare una nuova tattica e affrontare il problema sotto un altro punto di vista...

Niente trucchi, però! In ogni caso si deve passare dalla sequenza A alla sequenza B eseguendo soltanto mosse valide.

Se il problema vi sembra difficile, vi propongo alcuni esercizi più facili.

Esercizio 1. Spostate una cifra in modo da ottenere un'eguaglianza corretta.

91 - 92 = 10

Esercizio 2. Disponete i numeri e i simboli nelle sette caselle vuote in modo da ottenere un'eguaglianza corretta.

Figura

Esercizio 3. Trasferite una cifra da una parte all'altra dell'uguale in modo da ottenere un'eguaglianza corretta.

3024 = 10

Esercizio 4. Disponete i sei pezzi nelle caselle vuote in modo da ottenere un'eguaglianza corretta.

Figura

Risposte & riflessioni

Ordinare una sequenza

Le domande

1) dimostrate che per risolvere il problema sono necessarie 11 mosse (medaglia di bronzo);

2) risolvetelo in 10 mosse (medaglia d'argento);

3) risolvetelo in 8 mosse (medaglia d'oro).

Prima domanda

Supponiamo di dover ordinare la sequenza di figura 1.

Figura

Figura 1

Partite da una pedina qualunque, ad esempio la 4, che si trova al primo posto.

Tracciate una linea che "trasporta" la pedina nella sua giusta posizione, che però è occupata dalla pedina 6.

Prolungate la linea fino al posto 6, che è occupato dalla pedina 5... e così via, fino a tornare al punto di partenza.

Prima regola: se la linea che avete tracciato tocca tutte le pedine, allora il gioco può essere risolto in 10 mosse o meglio in tante mosse quante sono le pedine più una.

Provate per credere!

Ripetete lo stesso procedimento con la sequenza di figura 2.

Figura

Figura 2

In questo caso la prima linea, ad esempio quella rossa, si chiude dopo aver toccato le pedine 6, 1, 8, 2. Per toccare tutte le pedine è necessario tracciare una seconda linea, quella blu. Possiamo quindi estendere la prima regola.

Seconda regola: il gioco può essere risolto in tante mosse quante sono le pedine più il numero di linee tracciate.

Ecco spiegato perché in questo caso sono necessarie 11 mosse

Seconda domanda

La soluzione in 10 mosse si basa sul seguente "trucco": la pedina 6 capovolta diventa 9 e viceversa. Cominciate quindi ad estrarre la pedina 7, che si trova al posto 9. Al suo posto mettete la pedina 6 capovolta. Quando sarà il momento di inserire la pedina 6, usate la 9 capovolta. Queste mosse sono perfettamente legali.

Terza domanda

Dicevamo che per risolvere il gioco in 8 mosse bisogna cambiare il... punto di vista. Prendete questo suggerimento alla lettera e mettetevi dall'altra parte del tavolo. Vedrete la sequenza alla rovescia. Oooh! Sorpresa! Le pedine 8 e 9 sono già a posto! Si devono quindi ordinare soltanto le prime 7, e si può fare in 8 mosse.

Figura