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Le terne pitagoriche

Il teorema di Pitagora
Definizione di terna pitagorica
Terne primitive e terne derivate
Esploriamo il mondo delle terne pitagoriche (Javascript)
Alcune osservazioni in ordine sparso
Immagini
Esiste una formula che permette di trovare tutte le terne pitagoriche primitive? (javascript)

Desidero ringraziare il professor Marco Barlotti per i preziosi suggerimenti che mi hanno permesso di migliorare questa pagina.

Il teorema di Pitagora.
Il teorema di Pitagora afferma che:
In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

In Algebra, il teorema di Pitagora si può esprimere così:
Se a e b sono le lunghezze dei cateti di un triangolo rettangolo e c è la lunghezza dell'ipotenusa, si ha che:

a² + b² = c²

Definizione di terna pitagorica.
Se tre numeri interi a, b e c verificano la relazione a² + b² = c², si dice che formano una terna pitagorica.
Ad esempio (3, 4, 5) e (5, 12, 13) sono due notissime terne pitagoriche, mentre non lo è (1, 1, radq(2)) perché l'ultimo numero non è intero.
Anche (6, 8, 10) è una terna pitagorica, ottenuta raddoppiando i termini della (3, 4, 5).

Terne primitive e terne derivate.
Le terne come la (3, 4, 5) sono dette terne primitive e quelle come la (6, 8, 10) sono dette derivate.
Infatti, se (a, b, c) è una terna pitagorica, lo è anche (ka, kb, kc), con k numero intero positivo.

Come si distinguono le terne primitive da quelle derivate?
Semplice: se a e b sono primi fra loro allora la terna è primitiva, altrimenti è derivata.

Esploriamo il mondo delle terne pitagoriche
Prima di procedere, potete esplorare il mondo delle terne con questo piccolo programmino in Javascript che gira nel riquadro qui sotto.
Che cosa osservate?
N.B. Il programma fuziona anche off-line, basta salvare questa pagina.

Alcuni preferiscono le terne ordinate per lunghezza dell'ipotenusa.

Alcune osservazioni, in ordine sparso
In tutte le terne pitagoriche:
- uno dei tre "lati" a, b, c è divisibile per 3 e un altro per 5
- il prodotto dei due "cateti" a*b è divisibile per 12
- il prodotto dei tre "lati" a*b*c è divisibile per 60

Nelle terne pitagoriche primitive:
- uno dei due "cateti" a oppure b è pari e l'altro dispari, mentre l'"ipotenusa" c è sempre dispari
- a, b sono primi fra loro

Immagini

Se disegniamo nel piano cartesiano i punti di coordinate (a, b) tali che a, b, radq(a² + b²) sia una terna pitagorica, otteniamo immagini come le seguenti.

I punti che individuano le coppie (a,b) sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo quadrante.
Le coppie (a,b) che appartengono a terne primitive sono colorate in celeste e rosa.
Le coppie (a,b) che individuano terne derivate sono colorate in blu e rosso.

Esiste una formula che permette di trovare tutte le terne pitagoriche primitive?
Utilizzando le seguenti formule si possono ottenere delle terne pitagoriche:

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

dove m, n sono numeri interi tali che m>n>0.

Le terne generate sono quindi del tipo:

m² – n² , 2mn , m² + n²

Dimostriamo che i tre valori a, b, c così calcolati formano una terna pitagorica.
Dobbiamo verificare che:
a² + b² = c²

Eleviamo al quadrato:

a = m² - n² ---> a² = (m² - n²)² = m⁴ + n⁴ - 2m² n²

b = 2mn ---> b² = (2mn)² = 4 m² n²

c = m² + n² ---> c² = (m² + n²)²

Sostituendo, abbiamo:

a² + b² = m⁴ + n⁴ - 2m² n² + 4 m² n² = m⁴ + n⁴ + 2m² n² = (m² + n²)² = c²

Come volevasi.

Queste formule permettono di generare tutte le terne primitive e anche alcune terne non primitive.

Ad esempio NON si può generare la terna 9, 12, 15, mentre si può generare la terna 12, 16, 20 (m = 4, n = 2).

Una terna generata da m, n è primitiva se e solo se m e n sono primi fra loro e m+n è dispari.

Una terna derivata si ottiene moltiplicando i tre termini di una terna primitiva per un fattore k intero positivo.

Se volete esplorare il mondo delle terne generate dalle formule m² – n² , 2mn , m² + n² potete utilizzare il seguente programmino javascript.

Beh, qui dovrei sistemare meglio la teoria con definizioni, teoremi e dimostrazioni...

...continua

In attesa della mia continuazione, inserisco un interessante lavoro di Giorgio Tumelero.

Siano a, b, c tre interi tali che
a < b < c e a*a + b*b = c*c, allora:

a(1,y) = Iy*y - 1*1I (cioè = valore assoluto di y quadro meno 1 quadro)
b(1,y) = 2*1y
c(1,y) = y*y + 1*1
a questo punto basta mettere y = 2, 4, 6, ... (cioè i numeri pari)

a(3,y) = Iy*y - 3*3I
b(3,y) = 2*3y
c(3,y) = y*y + 3*3
a questo punto basta mettere al posto di y i numeri pari eccetto i multipli
di 3: y = 2, 4, 8, 10, 14, ...

...

e, in generale, se n ha p1, p2, ..., pm come fattori primi, a qualsiasi
potenza si vuole, allora
a(n,y) = Iy*y - n*nI
b(n,y) = 2*ny
c(n,y) = y*y + n*n
a questo punto basta mettere al posto di y i numeri pari eccetto i multipli
di p1, di p2, ..., di pm.
Per esempio, con n=45:
a(45,y) = Iy*y - 45*45I
b(45,y) = 2*45y
c(45,y) = y*y + 45*45
e al posto di y si mettono i numeri pari eccetto i multipli di 3 e di 5
perché 45=3*3*5.

Ricevo e pubblico con piacere il seguente contributo di Franco Rossi
Si tratta di un metodo semplice ed efficace per trovare tutte le terne generate dalla terna primitiva 3, 4, 5.
Il mio metodo si basa sul numero 3: si moltiplicano tutti i numeri da 1 a n per tre per ottenere il primo cateto (es. con il numero 8: 3 x 8 = 24).

Si somma il numero trattato (8) al primo cateto (24 + 8 = 32) per ottenere il secondo cateto, quindi ancora 8 al secondo cateto per ottenere (40) l'ipotenusa.
Ora passiamo ai quadrati: 24^2 (576) + 32^2 (1024) = 40^2 (1600).

Una terna di questo tipo si può trovare prendendo un qualunque numero intero n e calcolando:
nx3
nx3+n
nx3+n+n
che equivale a moltiplicare nx3, nx4, nx5.

Data creazione: dicembre 2007

Ultimo aggiornamento: febbraio 2013

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