Il problema dei punti (o delle parti)

Una gara di palla grossa
Due frati giocano ad un gioco chiamato "palla grossa". Siccome le partite sono molto brevi, si può giocare una gara in circa un'ora di tempo.
I due frati si accordano di concludere la gara quando uno dei due abbia vinto almeno 10 partite.
Ogni partita vinta vale 1 punto. Ogni partita persa vale 0 punti. A questo gioco non ci possono essere partite pari.
I due giocatori puntano 50 ducati a testa e al termine della gara la posta totale (100 ducati) deve essere divisa in proporzione al punteggio raggiunto.

Facciamo l'esempio di una gara che finisce 10 a 6.
La soluzione è semplice:

Se i frati hanno puntato 45 ducati a testa e la partita è finita a 10 a 8, quanto toccherà a testa?

La gara interrotta
Due frati, Aldo e Baldo giocano a palla e si accordano di continuare sino a quando uno vince 6 partite, ma la competizione deve essere interrotta quando Aldo ha vinto 5 partite e Baldo 3. Come dovrebbe essere ripartita la posta (in questo caso di 240 ducati)?
(Fra Luca del Borgo, ovvero Pacioli, Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità, 1494.)

Pascal e Fermat giocano a Testa o Croce
Pascal e Fermat giocano a "Testa o Croce".
Ciascuno punta 50 Franchi, per un totale di 100 franchi.
Ogni partita vinta vale un punto.
Se esce Testa il punto è di Fermat, se esce Croce il punto è di Pascal.
I due uomini stabiliscono che quando uno di essi avrà raggiunto 10 punti, potrà prendersi i 100 ducati.
Purtroppo essi devono smettere di giocare quando Fermat sta vincendo per 8 a 7.
Come si divideranno i 100 Franchi?
N.B. Questa situazione è diversa dalle due precedenti. In questo caso la posta, al termine della gara, spetta interamente a chi realizza per primo i punti stabiliti. Nel caso precedente, invece, era divisa in parti proporzionali ai punti realizzati.

Nota storica
Il problema compare per la prima volta in Fra Luca del Borgo, ovvero Pacioli, Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità, 1494.

Riporto alcuni brani dall'articolo:
LE ORIGINI DEL CALCOLO DELLE PROBABILITA'
Maurice G. Kendall
L'articolo è apparso su "Biometrika" del 1956 ed è stato ristampato in Studies in the History of Statistics and Probability.
Successivamente è stato pubblicato su INDUZIONI N. 2 - 2001. La presentazione e la traduzione italiana sono a cura di Enzo Lombardo

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Fra Luca del Borgo, ovvero Pacioli, era un insegnante di Matematica itinerante, la cui Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità, pubblicata nel 1494, venne ampliamente studiata in Italia.
Egli considerò una semplice versione di ciò che più tardi divenne noto come problema dei punti: A e B giocano ad un gioco equo (non dadi, ma balla, verosimilmente un gioco di palla) e si accordano nel continuare sino a quando uno vince sei partite, ma la competizione deve essere interrotta quando A ha vinto 5 partite e B 3. Come dovrebbe essere ripartita la posta?
Pacioli fa sì che il problema sembri più difficile di quanto non sia, ma la sua soluzione si compendia nel dire che le poste dovrebbero esser suddivise nella proporzione di 5 a 3. L'errore fu notato da Tartaglia nel suo monumentale General Trattato del 1556 (dato che, possiamo notarlo, è più tardi di 30 anni rispetto al momento in cui Cardano afferma di essere in possesso dei principi di base incorporati nel suo De ludo aleae). Tartaglia era sempre soddisfatto nell'evidenziare gli errori di Pacioli con un'acida superiorità che prefigura molti dei moderni scritti in probabilità e statistica. Sarebbe stato più giustificato in tale occasione se la soluzione alternativa da lui sostenuta fosse stata corretta, e non lo è. Rimarca che secondo la regola di Pacioli se A avesse vinto una partita e B nessuna, A dovrebbe prendere tutta la posta, ciò che è chiaramente ingiusto. Argomenta allora che la differenza fra il punteggio di A (cinque) e quello di B (tre) vale due, ed essendo questo 113 delle partite necessarie per vincere (sei), A dovrebbe ritirare 113 della parte di B e la posta totale dovrebbe essere divisa nel rapporto 2:1. Almeno così interpreto la sua discussione piuttosto prolissa. Ne seguirebbe che se A ha vinto x partite e B y, quando si richiede di vincere complessivamente z partite, la regola di Tartaglia implica che A prenda per sé la proporzione 1/2 + (x-y)/2z della posta.
Due anni dopo il Trattato apparve un breve scritto di G. F. Peverone Due brevi e facili trattati, il primo di Arithmetica, l'altro di Geometria. Nel primo Peverone considera un problema simile senza citare altri autori. Dà due esempi che effettivamente sono uguali e argomenta in questo modo:
A dovrebbe mettere 2 scudi e B 12 [o equivalentemente la posta dovrebbe essere divisa nella proporzione 1:61 "Se giuocassero a 1 giuoco, basterebbero scutti 2[ovvero dividere la posta in ugual proporzione]; et a due giuochi 6, per che vincendo solo 2 giuochi guadagnerebbe scutti 4; ma questo sta con pericolo di perdere il secondo, vinto il primo: però deve guadagnare scutti 6, et a 3 giuochi scutti 12, per che si inddoppia la difficoltà e pericolo."
Ritengo che questo sia stato uno dei risultati mancati per pochissimo in matematica. Per la seconda partita l'argomentazione è corretta. Se a B manca una partita e scommette 2 scudi allora per A:
- mancandogli una partita, scommette 2 scudi
- mancandogli due partite, scommette 2 + 4 = 6 scudi
- mancandogli tre partite, scommette 2 + 4 + 8 = 14 scudi
e così via. Peverone era perfettamente a conoscenza delle progressioni geometriche e impiega il termine progressione in una esposizione della sua risposta a questo problema. Avendo ottenuto la scommessa di 6 scudi da parte di A, quando gli mancano due partite, se fosse rimasto ancorato alla sua regola e considerato la probabilità condizionata di vincita più attentamente, avrebbe risolto questo semplice caso del problema dei punti, sostanzialmente quasi un secolo prima di Pascal e Fermat.
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Risposte & riflessioni

Una gara di palla grossa
Si risolve la proporzione. Dài, é troppo facile!
Così l'aveva risolto Pacioli, ma non era troppo convinto.

Il ragionamento di Fermat
A me mancano ancora 2 punti per vincere, mentre a te mancano 3 punti.
Sarebbero necessarie altre 4 partite al massimo per decidere chi sarebbe il vincitore.
Infatti in sole 3 partite, nella peggiore delle ipotesi, io potrei conquistare 1 punto e tu 2. Ma la quarta partita sarà senz'altro decisiva.
La seguente tabella rappresenta tutti i risultati possibili per 4 partite. (T=Testa; C=Croce)

1	*`T T T T `**	5	*`T T T C `**	9	*`T T C T `**	13	*`T T C C `**
2	*`T C T T `**	6	*`T C T C `**	10	*`T C C T `**	14	`T C C C`
3	*`C T T T `**	7	*`C T T C `**	11	*`C T C T `**	15	`C T C C`
4	*`C C T T `**	8	`C C T C`	12	`C C C T`	16	`C C C C`

Fra le 16 combinazioni possibili, quelle segnate con "*" sono a mio favore, mentre le altre sono a tuo favore.
Il rapporto è 11:5.
Perciò dividerei i 100 Franchi in parti proporzionali a 11 e 5.
Io dovrei ricevere (11/16)*100 = 68.75 Franchi, mentre tu dovresti ricevere 31.25 Franchi.

La generalizzazione di Pascal
Ritengo che il tuo risultato sia soddisfacente.
Tuttavia credo di aver trovato una soluzione più generale.
Affinché tu vinca il gioco, è sufficiente che nelle ultime 4 partite escano 2 o 3 o 4 T.

In quanti modi possono uscire 2T su 4 lanci?
TTCC, TCTC, TCCT, CTTC, CTCT, CCTT (6)

Quindi i casi a tuo favore sono 6+4+1=11, mentre i casi possibili sono 16. Quindi confermo che ti spettano 11/16 della posta totale.

Se indichiamo con nCr il numero di modi possibili in cui si possono scegliere n oggetti su r, possiamo scrivere

n*(n-1)*(n-2)*...*2*1
nCr = ---------------------------------------------------
r*(r-1)*...*2*1 * (n-r)*(n-r-1)*...*2*1

Il triangolo di Tartaglia
Possiamo evitare i calcoli noiosi della formula adoperando il seguente triangolo numerico.
E' il notissimo triangolo di Tartaglia.
Osservate ad esempio la riga 4.
E' formata dai numeri 1, 4, 6, 4, 1.
Questi numeri indicano proprio quanti sono i modi possibili di ottenere rispettivamente 0, 1, 2, 3, 4 Teste (o, se si vuole Croci) in 4 lanci di una moneta.

riga 0								1
riga 1							1		1
riga 2						1		2		1
riga 3					1		3		3		1
riga 4				1		4		6		4		1
riga 5			1		5		10		10		5		1
riga 6		1		6		15		20		15		6		1
riga 7	1		7		21		35		35		21		7		1

I numeri della riga 5, invece, indicano quanti sono i modi possibili di ottenere rispettivamente 0, 1, 2, 3, 4, 5 Teste (o, se si vuole Croci) in 5 lanci di una moneta.
E così via. La riga n-esima corrisponde al caso di n lanci.

Bene.
Ora possiamo scrivere una formula più semplice e generale basata sull'utilizzo del triangolo di Tartaglia.

Due giocatori, A e B giocano a "Testa o Croce" (o a un altro gioco equivalente).
Ogni partita vinta vale un punto. Se esce Testa il punto è di A, se esce croce il punto è di B.
I due uomini stabiliscono che quando uno di essi avrà raggiunto x punti, potrà prendersi la posta.
Purtroppo essi devono smettere di giocare quando ad A mancano ancora n punti per vincere e a B mancano m punti per vincere.
Come si divideranno la posta?