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Un triangolo? Forse.

Prima dei giochini, un po' di teoria.

Definizione
Un triangolo è un poligono di 3 lati.

Dati tre segmenti di misure a, b, c, come faccio a sapere se posso costruirci un triangolo?
Ciascuno deve essere minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.

a < b+c
b < a+c
c < a+b

a > |b-c|
b > |a-c|
c > |a-b|

In ogni triangolo vale il teorema del coseno, che può essere considerato una generalizzazione del teorema di Pitagora.

c² = a² + b² - 2ab*cos(C)

Da questo teorema derivano le condizioni affinchè un triangolo sia: ottusangolo, acutangolo, rettangolo.

Definizione
Un triangolo ottusangolo è un triangolo che ha un angolo ottuso.

I lati di un triangolo ottusangolo soddisfano una delle seguenti condizioni:
a² > b²+c²
b² > a²+c²
c² > a²+b²

Definizione
Un triangolo acutangolo è un triangolo che ha tre angoli acuti.

I lati di un triangolo acutangolo soddisfano tutte e tre le seguenti condizioni:
a² < b²+c²
b² < a²+c²
c² < a²+b²

Definizione
Un triangolo rettangolo acutangolo è un triangolo che ha un angolo retto.

I lati di un triangolo rettangolo soddisfano tutte e tre le seguenti condizioni, dove c è il lato maggiore (teorema di Pitagora):
a² = c² - b²
b² = c² - a²
c² = a²+b²

1. Un triangolo al 50%
Scegliamo 3 numeri (reali) a caso in un dato intervallo (0;k) e supponiamo che indichino le lunghezze di 3 segmenti.
Qual è la probabilità che i tre segmenti formino un triangolo?
Ho scritto un programmino al computer (in singola precisione) e la probabilità sembra essere il 50% indipendentemente dall'intervallo.
E' giusto?
Qualcuno sa spiegare perché?

2. Probabilità che sia un triangolo
Dividiamo un segmento in due parti a caso.
Poi dividiamo la parte più lunga in due parti a caso.
Qual è la probabilità che le tre parti formino un triangolo?
(Joe Whittaker, 1990)

3. Spaghetti e triangoli
Prendiamo uno spaghetto e dividiamolo in tre parti a caso.
Qual è la probabilità che le tre parti formino un triangolo?
(Joe Whittaker, 1990)

4. Perché i professori (e le professoresse) disegnano sempre triangoli acutangoli?
Ovvero:
Scelti 3 punti VERAMENTE A CASO (!?) sulla lavagna, qual è la probabilità che siano i vertici di un triangolo ottusangolo?
(C. O. Tuckey, 1939, generalizzato alle n-dimensioni da Eisenberg e Sullivan 1996)

Nota: supponiamo che il braccio della professoressa sia lungo un po' più di k e che ella disegni i triangoli entro un cerchio di raggio k.

Risposte & riflessioni

Soluzione inviata da Paolo Zoffoli
Salve, dopo una serata di profonde riflessioni ed elaborati calcoli credo di essere giunto alla dimostrazione che porta ad affermare con certezza che la probabilità dell'evento in questione sia pari ad 1/2.

Per semplicità di trattazione consideriamo l'intervallo in cui possono cadere le tre variabili aleatorie indipendenti a,b,c come [0,1].
E' facile verificare che ciò che segue è valido per ogni intervallo che abbia il primo estremo in 0.
La densità di probabilità di ogni singola variabile all' interno di suddetto intervallo è chiaramente la curva costante di altezza 1.
Detto questo, consideriamo i soli valori a e b e la variabile aleatoria x=|a-b|: è possibile dimostrare che la sua funzione densità di probabilità è definita nell'intervallo [0,1] con l'equazione f(x)= 2-2x (per i più diffidenti si legga la nota alla fine della trattazione ), ossia la probabilità (ovviamente infinitesimale) che il valore assoluto della differenza fra a e b sia pari ad x è (2-2x)*dx.

Diamo ora un'occhiata alla variabile aleatoria y ="a+b" SOTTO LA CONDIZIONE CHE SIA "CAPITATA" UNA DIFFERENZA in valore assoluto PARI AD x: essa è una funzione costante di valore 1/(2-2x) nell'intervallo [x , 2-x] e nulla altrove; per capire questo è sufficiente fare un esempio: supponiamo che |a-b| sia pari a 0.3 (la nostra x), dunque la somma y può variare fra 0.3 (nel caso sia a=0.3 e b=0 o viceversa) e 1.7 (nel caso sia a=1 e b=0.7 o viceversa) con equiprobabilità; insomma, facendo semplicemente traslare l'intervallo [a b] di ampiezza 0.3 fra i valori [0 , 0.3] e [0.7 , 1] la variabile somma "percorre" con equiprobabilità l'intervallo [0.3 , 1.7].
Proseguiamo: essendo l'ultima curva considerata simmetrica rispetto al valore 1, la somma y è compresa fra 1 e 2-x con probabilità 1/2, e compresa fra x e 1 con probabilità 1/2.

NEL PRIMO CASO è sufficiente che c sia maggiore di x ( ossia che il terzo lato sia maggiore della differenza degli altri due), cosa che avviene con probabilità pari a (1-x) (non potendo c essere maggiore di 1 sarà sicuramente verificata la condizione che il terzo lato sia minore della somma degli altri due).

NEL SECONDO CASO la questione va affrontata in questi termini: poiché ci troviamo nell'ipotesi che y sia compresa fra x e 1, la densità di probabilità in tale intervallo è sì ancora costante, visto che deriva dalla curva precedentemente considerata in [x , 2-x], ma questa volta assume valore pari a 1/(1-x) (ricordo che una funzione densità di probabilità deve avere SEMPRE area sottesa pari ad 1): dunque, nel caso y assuma un qualsiasi valore nell'intervallo [x ,1], cosa che avviene con probabilità infinitesimale 1/(1-x)*dy , c deve essere compreso fra x e y, cosa che avviene con probabilità pari ad (y-x). Raggruppando tutto ed integrando le probabilità infinitesime si scrive:
Probabilità che a b c siano tre lati di un triangolo= (S è il simbolo di "integrale")

Sda 0 a 1_ {(2-2x)*dx * [ (1/2)*(1-x) + (1/2)* Sda x a 1_ (y-x)*dy/(1-x)]}

Questo integrale da risultato 1/2

NOTA 1
Per ricavare la densità 2-2x si procede in questa maniera :

Per x minore di 0.5:

- se 'a' cade nell' intervallo [x,1-x] (evento di probabilità 1-2x) , per dare differenza pari ad x "van bene" due valori precisi di b (evento con probabilità infinitesima 2*dx).
- se 'a' cade in [0,x] U [1-x ,1] (evento di probabilità 2x), per dare differenza pari ad x "va bene" un solo valore di b (evento con probabilità infinitesima 1*dx).
Dunque: (1-2x)*2*dx + 2x*dx= (2-2x)dx

Per x maggiore di 0.5:
- se 'a' cade nell' intervallo [1-x , x] non ci sono valori di b per cui |a-b| =x;
- se 'a' cade nell'intervallo [0,1-x] U [x,1 ] ( evento di probabilità 2-2x), va bene un solo particolare valore di b (evento con probabilità 1*dx);
Dunque, anche per x>5 f(x)=(2-2x)

La curva densità di probabilità f(x) è dunque definita nell'intervallo [0,1] con equazione f(x)=2-2x; si noti come l'area sottesa sia pari ad 1.

NOTA 2:
Nel caso l'intervallo iniziale sia [0 k] , attraverso le opportune modifiche l'integrale è il seguente:

Sda 0 a k_ {(2/k - 2x/k^2)*dx * [ (1 / 2k) * (k-x) + (1/2)* Sda x a k_ (y-x)*dy/(k^2 -kx)]},

che dà comunque 1/2 per ogni valore di k.

3. Spaghetti e triangoli
Prendiamo uno spaghetto e dividiamolo in tre parti a caso.
Qual è la probabilità che le tre parti formino un triangolo?

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