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Ricreazioni di Agosto 2001

144. Con tre 3
proposto da Ezio Sgrò
Propongo agli amici di BASE 5 un mio quesito che ha più risposte di quanto si potrebbe pensare:

Come si può scrivere 33 con tre 3?

>>> Risposte & riflessioni
Il misterioso Sprmnt 21, che in altre occasioni ha dimostrato la sua lateralità Zen, ci invia una soluzione su cui meditare alquanto.

Sprmnt21
In effetti, se intuisco bene lo spirito del gioco, si ha:

3^3+3=33;
3*3*3=33;
3^3-3=33;

ma forse l'unica soluzione coerente con il riferimento al nome della rubrica e' la seguente:

(3+3)3=33.

Gianfranco Bo
Non so se le ho capite bene, ma penso che se ne potrebbero aggiungere almeno altre due, per completare la serie.

3! + 3! + 3 = 33
3^3 - 3! = 33

Purtroppo non ho l'e-mail di Sprmnt21, per cui lo prego di dare una conferma a noi umili mortali che stiamo compiendo i primi passi sulla Via del Numero.

Lorenzo Navari
Non si dice SOLO con tre 3.
Al volo mi vengono tutti 33 con 4 tre .....
(ma tutti i quattro 3 includono anche tre 3)
3^3 + 3 + 3  dove ^ è il simbolo di elevazione.
V33 x V33 dove V è il simbolo di radice quadrata.
oppure con cinque 3
(3 x 3 x 3) + 3 + 3
però se si vuole usare per forza tre 3, ma sempre NON SOLO,
allora va bene adoperare anche altri numeri
si può scrivere
((3 x 3) + 2) x 3
(3 x 3 x 3) + 6
Sforzandosi un po'
si riesce a trovare una soluzione più precisa con SOLO tre 3
3! * 3! - 3 = 33

Pietro Vitelli
33 = 3! * 3! - 3

Gianfranco Bo
Questi giochetti mi appassionano molto.
Inoltre il problema così com'è posto si presta diverse interpretazioni.

Come si può scrivere 33 con tre 3?

Ad esempio:
a) non c'è scritto "SOLO", come giustamente osserva Lorenzo;
b) non c'è scritto "CALCOLARE" ma "scrivere".

TREnta3 : ho scritto 33 utilizzando TRE e 3.
33 333 : ho scritto 33 con (assieme) a tre 3.

Ma io preferisco riuscire a scrivere 33 utilizzando tre 3 e le funzioni matematiche più note.
Il capostipite di questo genere di quesiti è il problema de "I quattro 4" nel quale, con quattro 4 si devono riuscire a scrivere più numeri possibile.

3^3 + 3! = 27 + 6 = 33

33 * card{3} : la cardinalità dell'insieme {3} è 1 perchè l'insieme contiene 1 elemento

143. L'unità di misura del tempo reale
proposto da Lorenzo Navari
Lorenzo Navari
Non voglio tentare di risolvere il tuo quesito n.135, traggo invece spunto dalla tua definizione di Tempo Reale per fare alcune considerazioni.

Prima dell'avvento del computer, il tempo aveva come strumento di misura l'orologio e come unità di misura le ore.
Il tempo reale era tutto quello che ci voleva per fare una cosa compreso il tempo perso.

Oggi dato che il computer tende a fornire risposte in tempi sempre più brevi, allora il concetto di tempo reale è stato travisato in SUBITO.

Una volta chiesi ad una mia collega di darmi una risposta alla svelta.
Lei mi domandò cosa volevo dire con 'alla svelta'.
Io risposi: alla svelta come quando vai a ritirare lo stipendio.
Mi sembrò di essere stato feroce.

La prossima volta potrei dirle di darmi una risposta in tempo reale.
Però il tempo reale potrebbe comprendere anche un caffè ...... per l'essere umano.
Con il computer il tempo reale spesso comprende il tempo per ricollegarsi quando cade la linea, il tempo di eliminare un virus, il tempo di risolvere una 'panne' tecnica.

Allora la domanda che mi pongo è questa:

Quale è l'unità di misura del tempo reale?

>>> Risposte & riflessioni
Giovanni Macchia
Il termine "tempo reale" non si riferisce ad una altro tipo di "tempo" con tanto di unità di misura, ma si riferisce alla necessità di terminare un deterinato compito entro un determinato istante temporale.
Per esempio, rispondere in tempo reale ad una domanda significa rispondere entro un certo tempo, oltre il quale non hai più i requisiti di tempo reale. In computer science, per esempio, il termine tempo reale (real-time) si riferisce a processi che svolgono dei compiti e devono terminarli entro un istante ben determinato: se un sistema informativo non incontra questi requisiti, non è un sistema che funzione in tempo reale.
Un esempio può essere la risposta che deve dare una di quelle macchine che fanno vedere nella serie "ER medici in rima linea": imaginate se la curva dei battiti cardicai venisse dopo 5 minuti? Il paziente sarebbe morto perchè i medici non interverrebbero in tempo. Quello è quindi un sistema che lavora in tempo reale.
Pertanto, l'unità di misura del tempo reale non esiste in senso classico, ma l'unico tempo da tenere in considerazione è il tempo entro cui deve finire il compito assegnato (che varia da caso a caso).
Siccome questo tempo è in realtà un intervallo , non si può parlare di unità di misura.

Lorenzo Navari
L'unità di misura del tempo reale è << 5 minuti >>
L'intuizione l'ho avuta oggi, quando, per l'ENNESIMA volta, il Capo ha detto:
<< Ma cosa ci vuole a fare quel lavoro lì ? >>
e tutti in coro gli abbiamo risposto << 5 minuti >>.

142. Il pacco regalo
proposto da Dino
Problema classico del Natale: abbiamo una scatola rettangolare di dimensioni a x b x c (supponiamo b<a<c).
Quali sono le dimensioni  minime del foglio di carta da regalo necessario per incartare la scatola?
E come va messa la scatola per incartarla (intendo, con quale lato sul tavolo)?"

E' logico che un po' di carta vada persa, ma vediamo chi sa dire quanta e perchè.

>>> Risposte & riflessioni
Gianfranco Bo
Supponiamo che il pacco abbia la forma di un parallelepipedo di dimensioni a*b*c.
La sua area totale sarà:

Atot = (2a + 2b) c + 2ab = 2ac + 2bc +2ab

Per fasciarlo occorre ricoprire almeno tutta la sua superficie con della carta.

Esistono fondamentalmente tre modi di fasciarlo, illustrati nelle figure seguenti.
Per ciascun modo calcoleremo quanta carta è necessaria con la tipica fasciatura alla genovese, cioè quella che consuma meno carta possibile ( ma ci vuole un po' di nastro adesivo).

Chiamiamo x, y le dimensioni del foglio di carta.

Primo modo

x = 2a + 2b (perché deve avvolgere tutto il perimetro)
y = c + b/2 + b/2 (perché deve ricoprire la faccia a*b metà dal di sopra e metà dal di sotto)

Dunque l'area del foglio è:

Afoglio = xy = (2a + 2b) (c+b) = 2ac + 2ab + 2bc + 2b²

Come si può notare, si consuma 2b² area in più rispetto all'area della scatola.

Secondo modo

Ragionando come nel caso precedente si ha che:

x = 2c + 2a
y = b + a

Afoglio = 2bc + 2ab + 2ac + 2a²

Come si può notare, si consuma 2a² area in più rispetto all'area della scatola.

Terzo modo

Ragionando come nei casi precedente si ha che:

x = 2c + 2a
y = b + c

Afoglio = 2bc + 2ab + 2ac + 2c²

Come si può notare, si consuma 2c² area in più rispetto all'area della scatola.

Naturalmente, in questo contesto, se b<a<c allora 2b²< 2a²<2c²

Conclusione
Se le dimensioni della scatola sono a, b, c, le dimensioni minime, x, y del foglio necessario per fasciarla sono:
x = 2a + 2b
y = c + b
La scatola va appoggiata con la faccia di area maggiore sul tavolo e la carta va avvolta in modo da lasciare scoperte le due facce opposte di area minore. Queste ultime saranno coperte piegando la carta per metà nella parte inferiore e per metà nella parte superiore. Naturalmente una parte della carta sarà ripiegata su se stessa.

141. Il più grande numero
proposto da Alan Viezzoli
Osserviamo le seguenti espressioni:

9 = sei più tre (9 lettere)
15 = trenta diviso due (15 lettere)

Ecco il problema:

Eccezion fatta per i trucchetti quale "più sei" o simili, qual è il più grande numero esprimibile con un operazione matematica il cui numero di lettere sia uguale al numero stesso?

Nota:
Il trucchetto del "più sei" (= 6 lettere) è da evitare perché ci porterebbe all'infinito e non ci sarebbe più gusto a giocare...
Infatti, ad esempio:
tre più sei = 9
tre più sei più sei = 15
e così via...

>>> Risposte & riflessioni
Roberto Callegari
20 = radice di quattrocento (6+2+12 = 20 lettere)

Cesare Fattorosi di Barnaba
30 = quarantaquattro meno quattordici (15+4+11 = 30 lettere)

72 = quarantaquattromilaquattrocentoquattordici meno quattromilatrecentosettantadue (38+4+30 lettere)

Damiano Salvi
I) La soluzione esatta è "più infinito" perché è il risultato, ad esempio, dell'operazione "uno più due più tre più quattro più cinque più...." che viene scritta esattamente con un'infinità numerabile di lettere.

II) Se questo non sembra molto corretto, la soluzione non esiste perché non c'è un massimo. Per esempio prendiamo il numero 300.000: si può scrivere come "trecentomila" seguito da "per uno" ripetuto 49.998 volte, ed in questo modo si ottengono numeri grandi a piacere.

III) Se ci limitiamo, interpretando diversamente il testo, a un solo segno di operazione, allora possiamo salire comunque all'infinito usando nei conti numeri come "Tre miliardi di miliardi di miliardi … di miliardi DIVISO trenta milioni di miliardi di miliardi … di miliardi"
dove "di miliardi" è ripetuto per il primo numero 4.999.999.999 volte e per il secondo 4.999.999.998 volte, per un totale di (3+8+4.999.999.999*10)+6+(6+7+4.999.999.998*10)=100.000.000.000 di caratteri. Ponendo x=4.999.999.999 e usando il simbolo ^ per l'elevamento a potenza, l'operazione si scrive come
     3*10^9*10^(9*x)
---------------------------  =  10^11 = 100.000.000.000
30*10^7*10^(9*(x-1))
Perfettamente corretto, quindi. E lo stesso si può ottenere usando numeri con la virgola ed un numero arbitrario di cifre decimali.

IV) Se infine vogliamo evitare di ricorrere a questi numeroni, allora il risultato migliore che ho trovato è 320:
"Quattrocentocinquantaquattromilaquattrocentocinquantaquattro miliardi quattrocentocinquantaquattro milioni quattrocentocinquantaquattromilaquattrocentocinquantaquattro meno quattrocentocinquantaquattromilaquattrocentocinquantaquattro miliardi quattrocentocinquantaquattro milioni quattrocentocinquantaquattromilacentotrentaquattro"
o, in maniera più comprensibile
454.454.454.454.454 - 454.454.454.454.134   V) Se però anche questi numeri sembrano un po' irregolari, ecco altri due buoni risultati:
"Quattrocentoquarantaquattro miliardi quattrocentoquarantaquattro milioni quattrocentoquarantaquattromilaquattrocentoquarantaquattro meno quattrocentoquarantaquattro miliardi quattrocentoquarantaquattro milioni quattrocentoquarantaquattromiladuecentodue" = 444.444.444.444 - 444.444.444.202 = 242
"Quattrocentoquarantaquattromilaquattrocentoquarantaquattro diviso seimilasei" = 444.444 / 6.006 = 74

A voi la scelta... si tratta solo di chiarire meglio le regole.

Alan Viezzoli
Le soluzioni I, II e III non sono valide e lo si vede dalle regole. Nelle regole ho voluto escludere espressamente che ci possano essere dei trucchi.
La risposta non va data col pensiero laterale. Ho infatti subito escluso che qualcuno scriva:

Tre più sei più sei più sei...

"Più sei" infatti contiene sei lettere. Si potrebbe andare avanti così all'infinito, ma non è quello il senso del gioco.
Le soluzioni IV è V sono buone. Il risultato migliore, per il momento, è 320. Faccio notare che nulla vieta di usare più segni di operazione (certo con uno è più pregevole) basta che questo non si riduca alla ricerca di frasi quali "Più sei".
Vi consiglio (per prova, non so se può funzionare) l'uso di "Aperta parentesi" e "chiusa parentesi" (anche qui a patto che le parentesi siano necessarie realmente: andrebbe bene, ad esempio, (3+5)*8 ma non (3+5)+8. In questo secondo caso le parentesi non hanno senso di
esistere).

Damiano Salvi
PRECISAZIONE Curiosando un po' fra le ricreazioni più vecchie ho visto dove è nata l'idea per questo problema: a quanto pare, fra le mie risposte, la I, la II e la III rientrano fra i "trucchetti" da scartare. Chiedo umilmente perdono.

140. Il paradosso del giornale
proposto da Gennaro Cangiano
Da quante pagine è composto quel giornale che riporta tutte, ma proprio tutte le notizie?

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>>> Risposte & riflessioni
Roberto Callegari
Supponiamo che l'universo sia la mia camera.
Fissato un istante T di tempo io posso riportare per questo istante tutte le notizie riguardanti il mio universo.
Rimane una notizia esclusa: che su un giornale sono state riportate tutte le notizie riguardanti il mio universo.
E poi un altra: che su un giornale é riportata la notizia che su un giornale sono state riportate tutte le notizie riguardanti il mio universo.
E un altra ancora: che su un giornale é riportata la notizia che su un giornale è riportata la notizia che su un giornale sono state riportate tutte le notizie
riguardanti il mio universo.
........
Le pagine diverrebbero infinite... e ci sará sempre posto per la notizia che su un giornale...

Lorenzo Navari
Una pagina sola .... con questa notizia:

<< Questo è il giornale che riporta tutte, ma proprio tutte le notizie >>

139. Il paradosso dell'inizio del tempo
proposto da Roberto Callegari
Supponiamo che il mondo sia stato creato cinque minuti fa.
Tutti i ricordi e le altre tracce degli eventi "precedenti" sono stati ugualmente creati cinque minuti fa per uno scherzo personale del Creatore.
Come fate a dimostrare che non è vero?
Bertrand Russel, inventore di questo esperimento mentale nel 1921, sosteneva l'impossibilità di tale dimostrazione.

>>> Risposte & riflessioni
Ivan Furlan
Per dimostrare che il mondo non e' stato creato 5 minuti fa, potrei partire con un'astronave e andare distante dalla Terra in modo che la luce proveniente da essa cimpieghi più di 5 minuti a giungerci.

distanza>c*5*60 --> 300000 km/s * 300s = 90000000 km
distanza > 90000000 km

Trovandomi in questo punto e ponendomi il quesito in questione, potrei rispondere che vedendo la luce proveniente dalla Terra significa con certezza che essa esisteva giá prima di 5 minuti fa.

Roberto Callegari
La risposta di Ivan Furlan non mi sembra corretta.
Nel momento in cui io parto dalla terra i 5 minuti sono già passati, quindi la luce che arriverà dalla terra quando io mi sposterò non potrà mai essere quella dell'inizio fissata dal creatore...
A meno che io non possa viaggiare più veloce della luce, ma mi sembra che qualcuno abbia detto che non é possibile...

Gianfranco Bo
Ma, secondo il problema, quel qualcuno (immagino che sia Einstein) non è esistito e il fatto che la velocità della luce non possa essere superata probabilmente è una leggenda metropolitana messa in giro da Qualcun Altro per non farci risolvere il problema.

Cesare Fattorosi
Per risolvere il paradosso dobbiamo avere un punto di riferimento. Al momento sembra che l'unico sia la velocità della luce.
Se assumiamo come costante universale la velocita della luce la dimostrazione è quasi immediata.
Se il Creatore si è divertito oggi ce ne accorgeremmo perche' il sole è distante dallaTerra piu' di 5 minuti luce (piu' o meno 8 minuti), quindi all'improvviso vedremmo questo enorme disco apparire come per incanto.
Ma sicuramente di notte col cielo terso, noi che vediamo un cielo vecchio milioni di anni, dovremmo aspettare qualche anno per vedere la prima stella.

Giovanni Macchia
Credo di aver risolto il paradosso tramite la logica. Ecco la soluzione:

Consideriamo la proposizione
P= (IL MONDO E' STATO CREATO 5 MINUTI FA)
 
Supponiamo che il mondo sia stato creato con la luce del sole e delle altre stelle che arrivava sulla terra già all'istante 0 della creazione.
D'altra parte, all'istante 0 i fenomeni fisici cominciano a funzionare così come noi li conosciamo.
Pertanto, la luce deve impiegare un tempo superiore a 5 minuti per arrivare dalle stelle alla terra e quindi ci sarebbe un tempo di buio che ci farebbe capire subito che il mondo è stato creato 5 minuti fa.
Supponiamo pertanto che il Creatore abbia, per metterci in inganno, creato la luce dalle stelle alla terra e ne abbia riempito l'universo all'istante 0 così come previsto dalle leggi fisiche che governano l'universo stesso. In questo caso, noi misuriamo che la luce delle stelle arriva dopo moltissimo tempo (anni luce, appunto). Pertanto , per noi è vera la proposizione

P'=(IL MONDO E STATO CREATO PIU' DI 5 MINUTI FA)

Ma se P' è vera, allora deve essere falsa la P che è la sua negazione.  Pertanto, abbiamo dimostrato che il mondo non è stato creato 5 minuti fa.

Lorenzo Navari
Assecondando la teoria che:
<< per fare qualunque cosa ci vogliono sempre e solo 5 minuti >>.
Allora è dimostrabile che il mondo e l'universo circostante, comunque sono stati creati in 5 minuti.

Proviamo a dimostrare che NON è vero:

Adesso dato per buono che gli osservatori del fenomeno sono all'interno dello stesso, l'attenzione va spostata un attimo sulla fede.

Chi crede nei miracoli, ammetterà la possibilità che anche gli osservatori, pur essendo già adulti siano stati creati così come sono appena 5 minuti prima.
Quindi ammetteranno un universo appena creato seppur con elementi già 'vecchi' acceso istantaneamente ma senza storia ne memoria. (come le patatine fritte).
Per costoro i cinque minuti coincidono con il 22 Ottobre 4004 a.C. (data Teologica della creazione dell'universo fissata da S.Barnaba)
Nessuna dimostrazione è possibile senza tradire la fede. (pena l'inferno)

Viceversa, i miscredenti materialisti, cercheranno una prova.
Da subito, terranno conto dell'inizio e della fine di ciascun evento misurabile.

Quindi se eventi uguali terminati prima del trascorrere dei primi 5 minuti sono successivamente misurati come durabili oltre i 5 minuti, allora è ipotizzabile che la creazione quantomeno risalga all'inizio di quegli eventi e quindi si potrà dare la dimostrazione richiesta.

Resta arduo, senza altri strumenti, trovare una risposta nei primi 5 minuti per mancanza di storia ma sarebbe comunque possibile riscoprire gli elemnti radioattivi ed inseguire la
vera età dell'universo attraverso le stime radiometriche.
Esattamente come sta accadendo adesso.

Allora io farei cercare una pepita di uranio, la manderei al laboratorio che anche è stato creato 5 minuti fa.
I tecnici dopo averla misurata con gli stumenti radiometrici mi direbbero
<Questa pepita sembra avere molto più di 5 minuti, ma non è possibile perchè il mondo è stato creato solo 5 minuti fa>
Con questa risposta io potrei dimostrare quanto richiesto sempre che qualcuno non mi faccia mettere al rogo prima.

Per i curiosi e finchè resiste sul web: http://www.ingrm.it/geomag/eta.htm

138. Il paradosso del raddoppiamento notturno
proposto da Roberto Callegari
Supponiamo che la scorsa notte, mentre tutti dormivamo, tutto l'universo abbia raddoppiato le proprie dimensioni.
Vi sarebbe un qualche modo di accorgersi di ciò che è successo?
Così recita uno dei più famosi enigmi intellettuali di tutti i tempi, proposto da Jules Henri Poincaré (1854-1912), un divulgatore di talento oltre che un eminente scienziato del suo tempo.

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>>> Risposte & riflessioni
Gennaro Cangiano
Così di slancio mi viene da rispondere che tutto resta tale e quale, per una questione di relatività (reciprocità), se tutte le dimensioni variano nella stessa misura. D'altra parte anche la gravità resta uguale, visto che la massa della terra e la massa mia raddoppiano e la distanza r pure (che al quadrato bilancia i due raddoppi delle masse). Non so pero' cosa accade alla velocità di allontanamento delle galassie: potrebbe darsi che ne subisca un significativo cambiamento? e lo spettro della luce delle stelle? non saprei cosa rispondere. Comunque dal puro punto di vista "geometrico", ripeto, non cambia alcunche'. Non potrei accorgermene. Ma cosa fa invece la forza centrifuga? la mia massa raddoppia e l'accelerazione pure (omega quadro moltiplicato per "r", che diventa 2r). Quindi il mio peso dovrebbe misurare di meno????

Roberto Callegari
Particolare attenzione potrebbe essere rivolta verso le forme di energia. Gli elettroni di un atomo "vivono" all'interno dell'atomo stesso in virtù delle forze atomiche  di corto raggio.
Quando aumentano le distanze e i raggi degli elettroni, dei protoni e dei neutroni, cosa succede all'intero atomo?
Si mantiene quella forma di equilibrio stabile che ne permette l'esistenza?

Damiano Salvi
Secondo me il fatto di non riuscire più a trascinarci fuori dal letto sarebbe un buon indizio....la forza di gravità infatti aumenterebbe di ben 16 volte!!! Infatti, dato che abbiamo tre dimensioni, la massa aumenterebbe di 2*2*2=8 volte, mentre il raggio terrestre di 2 volte sole. Quindi la forza di gravità, proporzionale al prodotto della nostra massa per quella della Terra divisa il raggio terrestre al quadrato, risulterebbe moltiplicate per 8*8/4=16.
D'altra parte, volendo essere pignoli, sono aumentate come prima cosa le dimensioni di elettroni e protoni, modificando quindi la forma e dimensione degli atomi, perciò la cosa non è forse così semplice...

137. La mosca sulla testa
proposto da Ivan Furlan
Una mosca é appoggita al culmine di una testa di un calvo.
La testa in questione é considerabile sferica, di raggio R.
La mosca lasciandosi scivolare, a che punto si stacca dalla testa senza adoperare le ali?
La testa é cosi ben pulita che l'attrito può essere considerato nullo!

>>> Risposte & riflessioni
Gianfranco Bo & Roberto Callegari
La precedente soluzione non era chiarissima, perciò eccone una nuova che utilizza il principio della conservazione dell'energia. Il risultato comunque è lo stesso.

Premessa: siamo in un campo di forze conservativo, non c'è attrito, la mosca è la metafora di un punto, la testa è la metafora di una sfera, bla, bla...  
Osserviamo la figura:
- la mosca di massa m si trova nel punto P su una circonferenza di raggio r e la sua velocità è v.
- la componente radiale del peso della mosca è mg*cos(x)

Affinché la mosca rimanga attaccata al vincolo (cioè segua una traiettoria circolare) occorre che la somma delle due forze radiali sia sufficiente ad imprimere l'accelerazione centripeta:

a = v^2/r

La forza centripeta necessaria ad imprimere questa accelerazione è:

Fc = ma = mv^2/r

Ma qual è la velocità della mosca nel punto P?
Per scoprirlo applichiamo il principio di conservazione dell'energia meccanica.
Prendiamo come livello base il diametro orizzontale passante per O

Energia meccanica in A = Energia meccanica in B
En.Pot.A + En.Cin.A = En.Pot.B+ En.Cin.B
mgr + 0 = mgr*cos(x) + 1/2mv^2

Ricavando v^2

v^2 = 2gr(1-cos(x))

Ora che che conosciamo v^2, possiamo sostituirlo nella formula della forza centripeta:

Fc = mv^2/r = 2mg(1-cos(x))

Ma a che cosa è dovuta questa forza centripeta?

Al peso della mosca e per la precisione alla componente radiale del peso.
Fin che la componente radiale è maggiore della Fc la mosca rimarrà attaccata al vincolo ma nel momento in cui la componente radiale diventa uguale ad Fc la mosca si staccherà dal vincolo.

E in quale punto accade ciò?

Basta risolvere l'equazione:

Fc = componente radiale del peso
2mg(1-cos(x)) = mg*cos(x)

Da cui si ricava:

cos(x) = 2/3

x = arccos(2/3) = 48° 11' 23" (circa)

Lorenzo Navari
Bisogna comunque osservare che la mosca pur chiudendo in parte le ali non riesce a farle scomparire, quindi si pongono varie possibilità.

Supposta l'assenza di vento.

1) essendo la mosca leggerissima, nella scivolata, potrebbe prodursi sulle sue ali semichiuse una portanza sufficiente a farla decollare prima del punto teorico calcolato.

2) sapendo la mosca, di non dover usare le ali, al momento del distacco, dovuto alla presa di velocità, continua a non aprirle per un po' e quindi inizia una parabola discendente durante la quale se riesce a planare oltre l'"equatore" si allontana dalla testa, viceversa torna ad impattarvi più in basso.

Forse era meglio usare una pallina... o un dischetto che scivola senza rotolare.

136. Una sequenza delirante
proposto da Gianfranco Bo
Sembra che nelle sequenze di numeri stia il futuro della matematica.
Dunque vi propongo un problema che mi è stato ispirato da un articolo sul newsgroup rec.puzzle.

Come continua la sequenza:

1110, 15, 8, 4, 7, 5, 6, 3, ? ...

Il problema che pongo io, però, non è questo, per cui scrivo qui sotto la soluzione che serve a capire il vero problema.

Se volete trovarla da soli, fermatevi qui, prima di proseguire.

>>>

>>

> Suggerimento: considerate la scrittura dei numeri in lettere.

Ecco la soluzione:

1110, 15, 8, 4, 7, 5, 6, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ... per sempre

Spiegazione

• millecentodieci = 15 lettere
• quindici = 8 lettere
• otto = 4 lettere
• quattro = 7 lettere
• sette = 5 lettere
• cinque = 6 lettere
• sei = 3 lettere
• tre = 3 lettere
• tre = 3 lettere
• ...

Se invece di partire da 1110 partiamo da 32, otteniamo la seguente successione:

32, 9, 4, ...

A questo punto capiamo che, giunti al 4, la successione procederà come la precedente.

32, 9, 4, 7, 5, 6, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ... per sempre

Ed ecco il vero problema.

Chiamo DNA italiano di un numero n, DNA.it(n), la sequenza ottenuta da n nel modo illustrato sopra.

Mi chiedo:

• Tutti i DNA.it terminano con una serie infinita di 3?
• Se sì spiegare perché, se no fornire un controesempio.
• Come sono fatti i DNA.uk (inglesi), i DNA.es (spagnoli - castigliani), i DNA.fr (francesi)?

>>> Risposte & riflessioni
Alan Viezzoli
A pagina 147 del libro di Martin Gardner "L'incredibile dottor Matrix" (Zanichelli) si trova scritto:

"Kraviz [uno studioso citato in precedenza] rileva che 4 è il limite di una successione di parole formata scegliendo un qualsiasi nome inglese di numero, contando le sue lettere, poi contando il numero di lettere del numero così ottenuto, e ripetendo il procedimento finché non converge su 4.
Esistono altre «lingue fortunate» che convergono in questo modo su un unico numero onesto*? Ponendo che in nessuna lingua ci siano numeri maggiori di 20 che siano onesti, Kraviz esamina diciassette lingue occidentali e riferisce di aver trovato solo quattro lingue fortunate: l'inglese, l'olandese e il tedesco convergono su 4, l'italiano su 3."

Resta quindi da dimostrare in via teorica questo fatto.

* Un numero onesto è un numero che afferma correttamente il suo numero di lettere (in inglese 4 = four). Nel libro citato, alle pagine 146-147 si dice che:

"Dmitri Borgmann rileva che il nome del numero 3 in danese, norvegese, svedese e italiano è TRE e in gallese, irlandese, gaelico è TRI; 4 è VIER in olandese e tedesco, FIRE in danese e norvegese e FYRA in svedese; 5 è CINCO in spagnolo e portoghese, CINCI in rumeno, PIATY in polacco, PENKI in lituano, PEEZI in lettone e PENTE in greco. Peter Salus mi dice che è PAÑCA in sanscrito. Borgmann elenca numeri onesti da O (1 nell'inglese medievale)
a KUUSTEISTKUMMEND (16 in estone)."

Gianfranco Bo
Ringrazio Alan Viezzoli per le interessanti notizie e per aver rivelato una fonte di questo problema più antica del rec.puzzle.

Dunque la domanda è: è vero che in italiano non esistono numeri onesti maggiori di 20?

Da parte mia faccio alcuni esempi di DNA.fr. e DNA.es
Le cifre in francese:
un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix.

trente = 6 lettere
six = 3 lettere
trois = 5 lettere
cinq = 4 lettere
quatre = 6 lettere

a questo punto la serie si ripete a partire dal 6.

30, <6, 3, 5, 4>, ...

Se invece si parte 34

34, 12, <5, 4, 6, 3>, 5, 4, 6, 3, ...

Il DNA.fr è forse formato dai numeri 6, 3, 5, 4 che possono ripetersi circolarmente a partire da uno qualunque di essi?

Mah!

Veniamo ora allo spagnolo.
Le cifre in spagnolo
cero, uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez.

204 dosciento y cuatro = 18 caratteri (compresi gli spazi)
18 diez y ocho = 11 caratteri
11 once = 4 caratteri
4 cuatro = 6 caratteri
6 seis = 4 caratteri
4 cuatro = 6 caratteri

dunque:
204, 18, 11, <4, 6>, 4, 6, 4, 6, ...

Partiamo ora da un altro numero:

76 setenta y seis = 14 caratteri
14 catorce = 7 caratteri
7 siete = 5 caratteri
5 cinco = 5 caratteri
etc.

76, 14, 7, <5>, 5, 5, 5, 5, ...

Altri DNA.es
13, <5>
94, 17, 12, <4, 6>

Dunque, alcuni DNA.es terminano con <5> e altri con <4, 6>
Ci sono altre possibilità?

Mah!

Alan Viezzoli
Dunque la domanda è: è vero che in italiano non esistono numeri onesti maggiori di 20?
La risposta è sì.
Basta vedere che dopo il venti, i numeri sono così composti: decine (venti, trenta,...) + unità (due, tre, sette,...), ad esempio venti+sette. Il numero più "lungo" per le decine è cinquanta (9 lettere) e in numero più "lungo" per le unità è quattro (7 lettere). Totale 9+7=16, che è addirittura meno di 20. Poi, più saliamo (da 100 in poi) ci rendiamo conto che è impossibile trovare un numero di tre cifre con più di cento lettere.
Ci sarebbe un modo "laterale", ma non valido per il nostro problema:

9 = sei più tre (9 lettere)
15 = trenta diviso due (15 lettere)

o, addirittura, poiché la frase "più sei" contiene 6 lettere si può scrivere "tre più sei più sei più sei..." all'infinito. Si potrebbe proporre un nuovo problema:

Eccezion fatta per i trucchetti quale "più sei" o simili, qual è il più grande numero esprimibile con un operazione matematica il cui numero di lettere sia uguale al numero stesso?

135. Il paradosso del motore di ricerca
proposto da Gianfranco Bo
Mi interessavano le proprietà del numero 17 e le ho cercate su Google.
Ho digitato "17" nella casella di input ed ho ottenuto circa 105 milioni di pagine in cui compare il numero 17.
Ho fatto la stessa cosa con il numero 153 ed ho ottenuto 4.150.000 pagine.

Ora mi chiedo:

• qual è il più piccolo numero intero positivo che ricercato su Google dà come risultato 0 (zero) pagine?

• più ci penso, più il quesito 135 mi sembra paradossale. Perché?

Nota: ho citato Google perché è un motore di ricerca molto noto. Al suo posto andrebbe considerato un motore di ricerca ideale, capace di aggiornarsi in tempo reale su tutte le pagine presenti nel web. Per "tempo reale" intendo "immediatamente".

>>> Risposte & riflessioni
Roberto Callegari
Un motore di ricerca ideale riporta tutte le pagine web su cui compare la stringa inserita nel campo di ricerca.

In teoria quindi dovrebbe contenere almeno se stessa.

Gianfranco Bo
Interessante!
Io pensavo ad un altro paradosso: supponiamo di aver trovato la risposta esatta e che sia n.
Nel momento in cui la scrivo sul sito, non è più la risposta esatta perché viene registrata dal motore di ricerca.
Perciò la risposta diventa n+1.
Se però la scrivo sul sito sono daccapo, all'infinito.
Per cui la risposta non può essere scritta su un sito. Può essere solo comunicata per e-mail! :-)))
Invece Roberto ha trovato un altro paradosso, più radicale, direi.
Un motore di ricerca "ideale" dovrebbe indicizzare anche se stesso, e l'indice di se stesso, e l'indice dell'indice di se stesso, all'infinito: impossibile.
La sua osservazione mi porta dunque a modificare la mia definizione di motore di ricerca "ideale": esso indicizza tutto, tranne se stesso. E anche tranne altri motori di ricerca ideali, perché altrimenti siamo daccapo.

Ci sono altri paradossi?

Giorgio Dendi
Non so come siano catalogate le pagine di Internet, però penso che l'autore del problema voglia farci dire che non esiste nessun numero, per quanto grande, e quindi "improbabile" in un qualunque scritto, che non sia presente in alcuna pagina.
In effetti 7, per dire un numero piccolo, sono i nani, i colli di Roma, i vizi capitali, i miei zii la cui foto ho inserito nella pagina che ho fatto e dedicato alla mia famiglia (e nella didascalia c'è scritto "i miei 7 zii"), ma 135.578.822, cos'è che ha una cardinalità pari a 135.578.822, o chi è che può aver inserito in un suo scritto quel numero lì? 
In effetti, quel numero è abbastanza improbabile, a meno che non sia il numero di telefono di qualcuno che se lo è inserito nella sua pagina, e molti numeri potrebbe essere il numero di telefono di qualcuno, magari forse non in Italia, ma tra tutti i numeri presenti in tutto il mondo, hai voglia.  Potrebbe darsi che il numero che ho scritto (ma credimi, ho premuto a caso un po' di tasti e i punti li ho messi in seguito) sia anche un quadrato o un cubo perfetto, e quindi potrebbe essere presente in qualche elenco di tali numeri.  Allora, per ridurre queste probabilità (esistono numeri di telefono di dodici cifre?, e poi man mano che aumentano le cifre, i quadrati, cubi... si fanno sempre più "rari"), scrivo un numero di dodici cifre: 372.300.548.590, e non finisce neppure per sei zeri, che potrebbe essere il prezzo di un aereo in qualche catalogo, ma poi mi viene in mente che potrebbe essere una voce del bilancio di qualche banca o grossa società, che per far vedere il suo buon stato di salute, fa pubblicare questi dati su Internet. 
Allora il nostro numero avrà venti cifre, va bene 45.308.668.457.915.256.007?
Prova a cercarlo: vedrai che il motore di ricerca ti dirà che l'ho scritto io qui e tu sulla pagina nella quale lo stai cercando nel web!

134. Una tabella
proposto da Andrea G.
Sapete indicare a che numero compreso tra 1 e 20 corrisponde ogni lettera della tabella?

Queste sono le indicazioni:

-un numero dispari può avere vicino non più di due numeri pari;

-un numero pari può avere vicino solo un numero pari;

-due numeri vicini non possono essere consecutivi (es. 1,2 ; 8,9)

Per "vicino" si intende sopra, sotto, a destra o a sinistra (naturalmente quando è possibile).
E' da notare inoltre che:

-nella tabella ci sono tanti numeri dispari quanti numeri primi;

-c'è almeno un quadrato perfetto.

Se ne avrete bisogno vi darò altri aiuti.

>>> Risposte & riflessioni
Alan Viezzoli
Ecco una possibile tabella

02  07  04
09  03  11
06  13  08

ma ne esistono molte altre: basta cambiare uno dei numeri dispari (non il 9)
con il numero 17 o col numero 19 oppure il 4 con il 16 oppure l'8 con il 18
o col 20... Non c'è pertanto una risposta univoca.

Sergio Obici

08 02 05
03 07 12
06 09 18

133. Varianti al problema dei 5 cappelli
proposto da Paolo Occhipinti
Prima Variante
Un re vuole salvare la vita a tre eminenti matematici colpevoli di un gravissimo reato.
Li convoca davanti a se e dice loro:
'Ho qui cinque cappelli,  tre neri e due bianchi, ora vi bendo e metterò sulla testa di ciascuno di voi un cappello che potrà essere o nero o bianco. Dopo vi sbenderò, ciascuno di voi potra vedere il cappello degli altri due, chi indovinera il  colore del proprio cappello avrà la salva la vita.' 
Li benda, mette in testa a ciascuno un cappello nero, nasconde i due bianchi,li sbenda e domanda al primo:
'Di che colore e' il tuo cappello?'
 Il primo guarda gli altri due e risponde: 'Non lo so'.
Ripete la domanda al secondo il quale guarda gli    altri due e risponde:
'Non lo so'.
Ripete la domanda al terzo Il quale guarda gli altri
due e risponde 'IL MIO CAPPELLO E' NERO'.

Come si spiega?

Soluzione:
 
Non ci sono due cappelli bianchi per cui nessuno dei tre matematici può rispondere con certezza semplicemente guardando i cappelli degli altri due ma anche deve ragionare sulle loro risposte:

Il primo che vede due cappelli neri neon può avere alcuna certezza sul colore del proprio cappello che può essere sia bianco che nero.

Il secondo che vede anche lui due cappelli neri e sa dalla risposta del primo il proprio cappello e quello del terzo non possono essre ambedue bianchi non può con certezza affermare se il proprio cappello e' bianco o nero.

Il terzo che vede anche lui due cappelli neri ma sa, dalla risposta del secondo, che questi non ha visto due      appelli bianchi ma anche che il cappello del terzo (il proprio cappello) non pu essere bianco altrimenti avrebbe risposto 'il mio cappello è nero' (perché bianco non potrebbe essere se no con due cappelli bianchi il primo avrebbe dato una risposta certa)  può rispondere con assoluta certezza.

Il re, tuttavia, non mette a morte gli altri due matematici perchè protestano, e a ragione...

Seconda variante

Alla risposta del terzo matematico (vedi: Una variante dei 5 cappelli) il re esclama: 'Bravo il tuo ragionamento è corretto: sei libero!'

Gli altri due matematici protestano immediatamente in quanto il terzo era sicuramente avvantaggiato.

Il re riconosce la disparità di situazione e ripone il quesito con delle varianti:

'Io vi benderò e farò sulla fronte di ciascuno di voi una croce che potrà essere rossa o verde,  poi vi sbenderò, ciascuno potra' vedere il colore della croce degli altri due, se vede almeno una  croce rossa alzerà la mano poi chi sapra' dirmi il colore della propria croce abbasserà la mano e potrà   parlare.'

Li benda, fa una croce rossa sulla fronte di tutti e tre i matematici quindi li sbenda.

Appena sbendati i tre si guardano e alzano subito tutti e tre la mano.

Passano tre secondi e tutti e tre abbassano la mano ed all'unisono dicono  'LA MIA CROCE E' ROSSA'.

Come si spiega?

>>> Risposte & riflessioni
Dopo che tutti e tre i matematici hanno alzato la mano perché hanno visto ALMENO una croce rossa' i secondi trascorsi identificano le tre fasi del ragionamento:

1° secondo: non vi sono due croci vede perchè altrimenti il matemateco che le vede non avrebbe potuto alzare la mano;

2° secondo: non vi può essere nemmeno una croce verde perchè il matematico che la            avesse vista avrebbe abbassato la mano e detto 'LA MIA CROCE E' ROSSA' (vedi 1° secondo).

3° secondo: acquisite queste certezze i tre matematici, che vedono due croci rosse, hanno la certezza che tutte e tre le croci sono rosse da cui il contemporaneo abbassamento della mano e l'affermazione di avere una croce rossa.

132. E' divisibile per 7?
proposto da Gianfranco Bo
Il problema che propongo è molto semplice.
Dati due numeri a, b tali che a + b sia divisibile per 7 e dato un altro numero m dispari, dimostrare che:

a^m + b^m è divisibile per 7

(riporto la notazione lineare nel caso non si leggessero gli esponenti:
a^m + b^m è divisibile per 7)

Questo problema è stato generato da un altro problema che ho proposto nella sezione "Pensiero laterale Logico Matematico".

Dimostrare che 2222^5555 + 5555^2222 è divisibile per 7.
(il simbolo ^ significa "elevato a", es. 3^4 significa 3 alla quarta)

Risposte

Giorgio Dendi
Se m è dispari,  a^m+b^m è divisibile per a+b, e precisamente a^m + b^m = (a+b) (a^(m-1)b^0 - a^(m-2)b^1 + a^(m-3)b^2 - ... - a^1*b^(m-2) + a^0*b^(m-1)), e siccome a+b è divisibile per 7, anche a^m+b^m lo è.

131. Somma di 3 numeri
proposto da Roberto Callegari
N.B. a<>b significa a "diverso da" b

Dato un numero n>3 questo può essere espresso come

a+b=n

a<>b

Le possibili coppie di numeri sono:
n-1  se nè dispari
n-2  se n è pari

Esempio:
n=8: 1,7 - 2,6 - 3,5 - 5,3 - 6,2 - 7,1 =>> (8-2)=6 coppie
n=9: 1,8 - 2,7 - 3,6 - 4,5 - 5,4 - 6,3 - 7,2 - 8,1 =>> (9-1)=8 coppie

Esiste in letteratura una formula analoga per calcolare quante siano le coppie nel caso
a+b+c=n a<>b<>c

E nel caso generale?

a1 + a2 + ... + ai-1 + ai =n
aj<>ak
j=1,i - k=1,i - j<>k

Mi sono imbattuto in questo quesito nel cercare la soluzione del problema 103. Il quadratone -proposto da Gianvittorio Righi.
E mi sono accorto che se le possibili coppie sono poche, le terne non lo sono e le quaterne e cinquine sono veramente un numero esagerato.
Con 50 numeri in 20 posizioni diverse si possono creare la bellezza di 50!/30! combinazioni diverse (con 1,2 diverso da 2,1).
Non mi intendo molto di calcolo combinatorio, forse la soluzioni del problema in letteratura già esiste, ma sarei felice di poterla leggere.

Buon lavoro

>>> Risposte & riflessioni

130. Divisioni dell'alfabeto
proposto da Roberto Callegari & Giorgio Dendi
Spiegare la suddivisione delle lettere nei due gruppi.

1) BCEGKMQSW - DFHIJLNOPRTUVXYZ

2) CDILMVX - ABEFGHJKNOPQRSTUWYZ

3) AHIMOTUVWXY - BCDEFGJKLNPQRSZ

4) BCDEHIKOX - AFGJLMNPQRSTUVWYZ

Attenzione! La riga 5 conteneva un errore ed è stata sostituita con la seguente.

5) BCDGIJLMNOPQRSUVWZ - AEFHKTXY

Proposti da Giorgio Dendi

6) BCDFGHJLMNPQRSTVWZ - AEIKOUXY

7) ABEHIKMNOPTXYZ - CDFGJLQRSUVW

8) ABCDEGIOPQTUVZ - FHJKLMNRSWXY

Proposti da Alan Viezzoli

9. AEFHIKLMNTVWXYZ - BCDGJOPQRSU

10) ABCDEGIOPQTUVX - FHJKLMNRSWYZ

Nuove proposte di Roberto Callegari

11) ABDOPQR- CEFGHIJKLMNSTUVWXYZ (semplice)

12) ABEFGHIJKLMPRVWXY - CDNOQSTUZ

Proposte da Damiano Salvi

13) ACEFGJHLPUY - BDIKMNOQRSTVWXZ

14) ENOS - ABCDFGHIJKLMPQRTUVWXYZ

15) BCFHIKNOPSUVWY - ADEGJLMQRTXZ

16) DGLMSV - ABCEFHIJKNOPQRTUWXYZ

17) ADFGLMNOS -BCEHIJKPQRTUVWXYZ

Un aiuto: tranne la prima, tutte le divisioni si riferiscono a significati che alcune lettere possono assumere... la più difficile è la (15)

>>> Risposte & riflessioni
Giorgio Dendi
Per il momento ho risolto i primi due (probabilmente sono i più facili):
1) Numeri primi - non primi
2) Cifre che indicano dei numeri romani - non li indicano

Alan Viezzoli
3. Lettere che, se riflesse in uno specchio, restano uguali, ovvero lettere che hanno un asse di simmetria verticale - Non restano uguali
4. Lettere che, se capovolte e riflesse in uno specchio, restano uguali, ovvero hanno un asse di simmetria orizzontale - Non restano uguali.

Roberto Callegari
9. Lettere senza tratti tondi - lettere con tratti tondi

Damiano Salvi
(5) Lettere che si possono scrivere senza staccare la penna dal foglio e senza ripassare alcuna linea - lettere che si possono scrivere solo con più tratti.
(6)-(7)-(8) No, queste sono di Dendi e dato che le ha proposte anche a Parigi e avevamo trovato la soluzione, non mi sembra carino rovinare a tutti il piacere della scoperta...faccio solo notare come si assomigliano la serie 8 di Giorgio a la 10 di Alan Viezzoli (si scambiano di posto la X e la Z)
(10) Lettere il cui nome è lungo una, due o tre lettere - Lettere col nome di quattro o più lettere (presumo che J sia "i lunga" piuttosto che una cosa all'inglese che suona come "gei")
(11) Lettere chiuse (nel senso di figura, non come pronuncia) - Lettere aperte
(12) CDNOQSTUZ sono le iniziali delle cifre: Cinque, Due, Nove, Otto, Quattro, Sei & Sette, Tre, Uno, Zero

Alan Viezzoli
La soluzione (10 ?) è plausibile, ma è troppo vaga. Se avessi fatto una serie sul numero di lettere che compongono il nome dei numeri avrei inviato una serie di solo lettere il cui nome è lungo 3 lettere, o 4 lettere, o n lettere. La risposta che ho pensato io è diversa e più precisa.

Per non essere da meno:

14) Lettere che indicano punti cardinali - che non li indicano
15) Simboli chimici - altre lettere
16) Lettere che indicano giorni della settimana - che non li indicano

Roberto Callegari
14) iniziali dei punti cardinali (Nord Sud Est Ovest)
16) iniziali giorni della settimana (Lunedì Martedì ...)
17) iniziali dei mesi dell'anno (Gennaio Febbraio ...)

129. Tutti i numeri sono uguali?
proposto da Roberto Callegari
N.B. Questo problema conteneva un "errore" che mi è stato segnalato da Roberto Callegari.
Troverete la correzione più sotto.

E' possibile dimostrare che tutti i numeri sono uguali. Come?

Ecco il modo:

siano x e y due numeri differenti e sia z la loro media aritmetica

z=(x+y)/2

x + y = 2z

moltiplicando ambo i membri per (x – y) si ottiene:

(x + y)(x – y) = 2z(x – y) ossia x² - y² = 2xz – 2yz

x² - 2xz = y² - 2yz 

sommando ad ambo i membri z² si ottiene:

Questa è la riga errata: x² - 2xz + z² = y² - 2yz + y² ossia: (x - z)² = (x - y)² 

Questa è la riga esatta: x² - 2xz + z² = y² - 2yz + z² ossia: (x - z)² = (y - z)² 

e infine

x = y

Come è possibile?

>>> Risposte & riflessioni
Cesare Fattorosi
Cesare si è accorto dell'errore nella formulazione indipendentemente dalla segnalazione di R. Callegari.

Nel quesito c'è un errore:
sommando ad ambo i membri z^2 si ottiene:
x^2 - 2xz + z^2 = y^2 - 2yz + y^2 ossia: (x - z)^2 = (x - y)^2

va sostituito con
x^2-2xz+z^2=y^2-2yz+z^2 ossia (x-z)^2=(y-z)^2

Precisato cio' ed estraendo la radice quadrata si ottengono 4 soluzioni, una col segno + e una col segno -
(la radice quadrata di un numero ha sempre 2 soluzioni, la loro ammissibilità è altra questione)
1) -(x-z) =    (y-z)     che soddisfa le condizioni iniziali x+y=2z
2)  (x-z)  =    (y-z)    che porta alla soluzione x=y
3) -(x-z)  = - (y-z)    che porta alla soluzione x=y
4) (x-z)   = -(y-z)     che soddisfa le condizioni iniziali x+y=2z

Le soluzioni 2 e 3, cioè x=y implicherebbero che in un passaggio precedente, precisamente quando si moltiplica per (x-y), si è moltilplicato per 0!
Non solo ma volendo procedere ancora piu' a ritroso si dovrebbe dividere per (x-y), cioè si dovrebbe dividere per 0, con conseguente perdita di validità delle espressioni.

Rocco Si
Rocco si è accorto dell'errore nella formulazione indipendentemente dalla segnalazione di R. Callegari.
x^2 - 2xz = y^2 - 2yz
sommando ad ambo i membri z2 si ottiene:
x^2 - 2xz + z^2 = y^2 - 2yz + y^2 ossia: (x - z)^2 = (x - y)^2

la riga giusta sarebbe:
x^2 - 2xz + z^2 = y^2 - 2yz + z^2 ossia: (x - z)^2 = (y - z)^2

comunque si basa tutto sull'eguaglianza
-1^2=1^2
tema completamente trattato in aritmetica.

Dino
Se sostituisco il valore di z (= x+y/2) nell'ultima espressione si ha:

[x - (x + y)/2]² = [y - (x + y)/2]²

cioè:

(x/2 - y/2)² = (y/2 - x/2)²

ciò significa che, posto a = x/2 - y/2:

a² = -a²

com'è ovvio. Dunque x non è uguale ad y, ma chiaramente è (x - z) = -(y - z) per ogni valore di x ed y per cui i loro quadrati sono sempre uguali tra loro!

128. Serie numeriche
proposto da Roberto Callegari
Come continua la serie: 1 2 2 2 1 4 2 4 1 4 4 4 1 2 ...?

E come continua la piramide:

3

3 3

3 3 3

3 3 3 3

3 7 3 7 3

3 6 5 5 6 3

....................

Buon lavoro

>>> Risposte & riflessioni
Damiano Salvi
Sulla serie sto ancora lavorando, ma la piramide è un personaggio abbastanza famoso ben "mascherato". Direi che, aggiungendo solo qualche riga, continuerebbe così:

3 3 8 5 8 3 3
3 5 7 12 12 7 5 3
3 4 8 12 8 12 8  4 3
3 4 9 14 13 13 14 9 4  3
3 5 14 10 13 20 13 10 14 5 3

La serie completa (non si può proseguire oltre) è 1 2 2 2 1 4 2 4 1 4 4 4 1 2 2 4 4 2 1 2 4 (guarda caso, sono 21.....)

Alan Viezzoli
I numeri indicano il numero di lettere dei nomi delle lettere dell'alfabeto.
(A=1, B=bi=2, C=ci=2, ...)

Dino
La piramide riporta esattamente il numero di lettere di ogni numero costituente il famoso triangolo di Tartaglia ossia di quel triangolo che partendo dal numero 1 nella riga zero riporta nelle successive la somma dei due numeri che si trovano direttamente sopra di esso.

Esso è molto utilizzato per ricavare i coefficienti delle potenze di un binomio, nel calcolo combinatorio, nella distribuzione Gaussiana, per prevedere la distribuzione finale delle sferette introdotte nell'apparecchio di Galton e nell'apparecchio di Bittering.

127. Tra due minuti
proposto da Roberto Callegari
QUESITO.

TITOLO: Tra due minuti.

TESTO:  Cosa fa Gianfranco Bo tra due minuti?

Buon lavoro

>>> Risposte & riflessioni
Gianfranco Bo
Ho pubblicato questo enigma esattamente come l'ho ricevuto e, visto che riguarda un mio omonimo, spero che non sia un brutto scherzo!
Provo a rispondere:

• Aspetta 120 secondi

• Il gigante buono

Giorgio Dendi
Uno al quale le donne dicono: "Che fisico!"
Infatti se pubblica, propone e risolve i problemi matematici, si può interessare anche di fisica cioè oltre che matematico, è un fisico, e se si trova tra due "minuti", cioè gracilini, vuol dire che lui è piuttosto robusto.

126. E' possibile tornare indietro?
proposto da Alex
Dato un Numero qualsiasi a più cifre, se Pari lo dividiamo per 2,
se viene pari continuiamo a dividerlo per 2 e cosi' via.
Se invece viene Dispari aggiungiamo 1 per renderlo pari e lo dividiamo per 2 e così via, fino ad ottenere sempre 1.

Esempio:130/2=65
65+1=66
66/2=33
33+1=34
34/2=17
17+1=18
18/2=9
9+1=10
10/2=5
5+1=6
6/2=3
3+1=4
4/2=2
2/2=1
1

Ora chiedo:è possibile, conoscendo esclusivamente questo 1 finale ed il numero dei cicli effettuati ritornare al numero di partenza?

Insomma è ipotizzabile una formula matematica che leghi  ed esprima Pari-Dispari-Divisione per 2 se pari-aggiunta di 1 se dispari, numero di cicli, l'1 finale al numero di partenza?
Qualcuno ha voglia di spremersi la potenza del cervello?

>>> Risposte & riflessioni
Pietro Vitelli
Non è possibile tornare indietro.
Il fatto è che ad ogni determinata combinazione di divisioni per 2 ed aggiunte di 1, corrisponde uno ed un sol numero.
Ora il numero di cicli effettuati ci indica solo quante operazioni sono state fatte e non quali; per cui, se il numero di cicli è uguale a 5 le combinazioni delle due operazioni (divisione per 2, aggiunta di 1) saranno:

2^5 (2 elevato alla quinta)

(disposizioni con ripetizione di 2 elementi in classe 5)

Pertanto, sapendo che il risultato finale è 1 e che i cicli effettuati son 5, abbiamo 2^5 numeri validi, che soddisfano le nostre condizioni e non una soluzione univoca.

Lo stesso vale in generale, qualunque sia il numero di cicli.

Rocco Si
Per numero di passi=n, le combinazioni non sono esattamente 2^n, in quanto bisogna scartare
quelle in cui l'aggiunta di 1 si presenta più di una volta consecutivamente.
Comunque per n=5  potremmo avere
1, 2, 4, 8, 16
1, 2, 4, 3, 6.

Roberto Callegari
Supponiamo per assurdo che sia possibile tornare indietro.

Allora la trasformazione descritta è univoca e dato un numero  di passi è possibile ricavare il numero di partenza.

Nel procedimento di ricerca supponiamo di poter arrivare con certezza ad un numero m e che siano necessari ancora due passi per completare il percorso.

Allora posso ottenere i due percorsi seguenti:

a) m*2    ==>   m*2-1

b) m-1    ==>   2*(m-1)

Il fatto che la trasformazione sia univoca implica che

m*2-1=2*(m-1)

Semplificando si ottiene:

2*m-1=2*m-2

1=2

Il percorso quindi non è univoco.

Esempio: parto da 2

a) 2*2=4   ==>  2*2-1=3

b) 2-1=1   ==>  2*(2-1)=2

125. Sempre 65!
proposto da Gianvittorio Righi
Gentili amici di Basecinque sapreste disporre i numeri da 1 a 25 in una griglia quadrata in modo che la somma delle righe, delle colonne e delle diagonali sia sempre 65?

>>> Risposte & riflessioni
Roberto Callegari

Soluzione 1

Soluzione 2

Queste due soluzioni (valide per tutti i quadrati magici del tipo nxn con n dispari) si possono ricavare in maniera molto semplice senza alcun calcolo.

La prima soluzione si ottiene utilizzando il "metodo della piramide".

Si dispongono i numeri da 1 a 35 secondo lo schema indicato

I numeri esterni al quadrato in grassetto vanno poi inseriti all'interno del quadrato andando a riempire gli spazi liberi:

Esempio.

Il quadrato finale è quello riportato all'inizio.

Soluzione 2   Si costruisce il quadrato in questo modo: Si posiziona il numero 1 in alto al centro  

Si inseriscono i numeri nella diagonale che sale e va verso l'alto a partire da 1:  

  A questo punto si incontra l'1 e la diagonale è finita. Si scende allora di una casella e si posiziona la cifra seguente, poi si procede nuovamente sulla diagonale.  

e cosi via fino a riempirlo

  Soluzione finale:  

    Soluzioni costruite con il secondo metodo   Quadrato magico 3x3 (somma 15)

  Quadrato magico 7x7 (somma 175)

Cesare Fattorosi
La soluzione.

tabella1

Considerazioni.

I quadrati magici di ordine dispari (in questo caso 5) hanno sempre soluzione ed è semplice da trovare.
Piu' difficile quello di ordine pari.
Infatti rigiro il problema invitando a fornire una soluzione per un quadrato di lato 6, e quindi a scrivere i numeri da 1 a 36.

La spiegazione o meglio la costruzione di un qualsiasi quadrato di lato dispari è la seguente:
Detto cio', si parte dal centro in alto (un numero dispari ha sempre un centro unico) in questo modo e seguendo le regole:

1) Il quadrato è considerato chiuso, nel senso che l'ultima riga è collegata alla prima, cosi' come l'ultima colonna è legata alla prima

2) Si pone il numero successivo nella riga soprastante  e nella colonna a destra nel rispetto della regola 3

3) Se la casella è occupata si pone il successivo numero nella stessa colonna ma nella riga sotto.

4) Si procede fino a riempire tutto il quadrato.

Per meglio comprendere ho realizzato una successione di passi della costruzione

Esempio

Si parte dal centro in alto

Si applica la prima regola, in quanto se applicassi la seconda si avrebbe:

proseguendo

il 6 scaturisce dalla regola 3.

proseguendo

e cosi' via fino ad ottenere la soluzione.

E' ovvio che in questo modo si puo' costruire  qualsiasi quadrato magico di lato 2k-1 con k numero naturale.

124. La gara di cammelli
proposto da Gianvittorio Righi
Questo problema è un classico che si trova già su BASE Cinque. Lo pubblico ugualmente in questa sezione, nel caso fosse sfuggito a qualcuno.

Uno sceicco lascia in eredità tutti i suoi averi con un testamento che prevede una prova di intelligenza per i suoi due figli. La prova prevede una corsa con rispettivi cammelli. Il  vincitore risulterà essere quello il cui cammello arriverà ultimo alla mèta. Il premio logicamente è costituito dall'intera eredità.
Vista l'evidente difficoltà i figli decidono di consultare un saggio che vive in una caverna, il quale a turno convoca i due figli dando la soluzione ad entrambi. A questo punto i figli escono correndo, salgono sul cammello e cominciano a correre all'impazzata verso il traguardo.

Cosa ha detto loro il saggio?

>>> Risposte & riflessioni
Roberto Callegari
Il saggio ha detto loro di scambiarsi i cammelli e di fare la corsa ognuno sul cavallo del fratello.
Cercheranno in questo modo di vincere la gara, facendola perdere quindi al proprio cammello e ricevere così l'eredità.

123. Il paradosso della previsione
proposto da Gianvittorio Righi
Questo problema si trovava già nella sezione Logica - Paradossi, ma siccome ho ricevuto una interessante osservazione, lo pubblico anche qui.

Un giudice condanna a morte un prigioniero con questa sentenza: "L'impiccagione avverrà a mezzogiorno in uno dei sette giorni della prossima settimana. Ma lei non potrà in alcun modo prevedere quale sarà il giorno perché sarà informato solo nella stessa mattinata del giorno fissato per l'esecuzione"

In quale giorno della settimana avverrà l'esecuzione?

>>> Risposte & riflessioni
Il condannato ragiona così:

1. non può essere sabato, perché giunto a venerdì senza essere stato ucciso, io potrei prevederlo;
2. non può essere neppure venerdì perché giunto a giovedì ancora vivo potrei prevederlo;
3. non può essere giovedì perché...

In conclusione, se il giudice mantiene quanto ha detto, non può eseguire la sentenza!

Rocco Si
Il paradosso va completato con:
non può essere lunedì perché...
...ma il mercoledì prelevano il condannato e lo uccidono....

e proprio qui sta il paradosso,perchè pur se un ragionamento apparentemente giusto esclude l'esecuzione, il condannato non poteva in alcun modo prevedere che il mercoledì (o qualsiasi altro giorno ECCETTO il sabato) sarebbe stato giustiziato

La soluzione del paradosso a mio avviso è questa.
E' vero che la sera di venerdì il condannato sa che l'unico giorno rimasto è il sabato, e quindi sapendolo non può essere giustiziato, MA il giovedì sera egli saprebbe solo che rimangono DUE possibilità: o essere graziato il sabato, O essere giustiziato il venerdì, non sa quindi con certezza che venerdì è il giorno dell'esecuzione,e quindi può essere giustiziato.

122. Ancora Polo Nord
proposto da Paolo P.
Ricordate il problema del Polo Nord? Un classico del pensiero laterale!

13. Di che colore è l'orso
Ngongo è molto preoccupato, perché si è perso in una landa sconosciuta. Percorre 1 km verso sud, poi 1 km verso est, poi 1 km verso nord. Alla fine si rende conto di trovarsi nel punto esatto da cui era partito.
Mentre sta riflettendo sulla singolare circostanza ode un rumore alle sue spalle. Si volta di scatto e vede un orso imponente, che prima non aveva notato.
Di che colore è l'orso?

In alcune varianti, al posto di Ngongo c'è un cacciatore di orsi.

Ecco una nuova proposta.
Se il cacciatore deve proprio uccidere un orso bianco, non credo che ci siano altre soluzioni oltre al Polo Nord.
Se invece può uccidere un altro animale (ma non potrebbe limitarsi a fotografarlo?) allora esistono  INFINITI punti di partenza.
La caccia è aperta !!!
Un aiuto. Ci sarebbero infiniti punti anche partendo dal Polo Nord, se il cacciatore scendesse a sud di non più di 159 m circa

>>> Risposte & riflessioni
Riporto la risposta già pubblicata nel problema Il problema del polo nord di Enrico Marchetti, che si trova nella sezione problemi ricevuti.

Una possibile risposta è: si trova a poco più di 10 km di distanza dal Polo Sud. Per la precisione, in un punto tale che dopo aver percorso 10 km verso sud si trova su un parallelo lungo 10 km.

La soluzione proposta descrive un luogo di infiniti punti giacente su un parallelo a circa 10 Km dal Polo Sud.
Se pero` ti sposti un po` piu` a sud troverai un'altro parallelo di soluzioni: partendo da questo ed andando a sud per 10 Km troverai un parallelo lungo 5 Km che percorso due volte verso est (o verso ovest... fa lo stesso) ti permette poi di andare 10Km a nord e ritonare al punto di partenza. Poi` ce n'e` un'altro lungo 3.33333333...Km, ed un'altro 2.5 e cosi` via. In pratica 10Km/N con N intero.
Si hanno diversi parallei di soluzione con il paralleo limite di 10Km partendo dal quale poi quando ti trovi a Polo Sud non sai dov'e' l'est ;-)

Forse Paolo P. ha in mente quache altra soluzione?

Alan Viezzoli
Il cacciatore si trova al Polo Sud, distante un chilometro dal parallelo che misura esattamente un chilometro. Il cacciatore, infatti, si muove verso sud, raggiunge quel parallelo, lo percorre interamente e, andando verso nord, torna al punto di partenza. L'animale sarà dunque un pinguino.
Ma questa non è l'unica soluzione: il cacciatore, infatti, può anche distare un chilometro da un parallelo che misura 1/2 chilometro o, in generale, 1/n chilometri (con n intero e maggiore di 0).

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