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Ricreazioni ricevute Luglio-Dicembre 2003

I problemi più rapidi discussi al Forum di BASE Cinque
o inviati per posta elettronica

352. L'extraterrestre
di Peppe

Un extraterrestre proveniente dal pianeta Salpo,viene inviato in missione sulla Terra per studiare le condizioni ambientali del nostro pianeta.
Purtroppo l'eccessivo inquinamento gli reca seri problemi di salute che può controllare solo facendo uso di due particolari farmaci,l'ET1 e l'ET2.
I due farmaci producono effetti collaterali antitetici molto pericolosi:
essi determinano variazioni della "vitalina",una sostanza di importanza vitale presente nel sangue di ogni Salponiano.
Precisamente l'ET1 produce un aumento di vitalina secondo una legge temporale di proporzionalità diretta V=Mt ,
l'ET2 invece produce una diminuzione di vitalina secondo una legge temporale del tipo V = -N[t]
(con t si è indicato il tempo misurato in giorni;M>0 ed N>0 sono dei fattori di dosaggio, V è la variazione di vitalina).
Sapendo che una variazione(positiva o negativa) di vitalina superiore a 10 porta istantaneamente alla morte, determinare i valori di dosaggio M ed N che consentono all'extraterrestre di utilizzare a tempo indeterminato i due farmaci senza rischiare di perdere la vita.
Fonte:Fare Matematica F11

>>> Risposte & riflessioni

L'assunzione simultanea dei due farmaci,produce nel salponiano una variazione di vitalina secondo la legge V= Mt-N[t].
Se fosse M>N potremmo scrivere M = N+p con p intero positivo, e avremmo: V=(N+p)t -N[t] = N(t-[t])+pt
La funzione y=N(t-[t]) è limitata superiormente da N ed il suo grafico è visualizzato a lato.
La funzione y = pt è invece illimitata superiormente.
L'aumento di vitalina V,essendo la somma di una funzione limitata e di una illimitata, risulterà illimitato e porterà alla morte.
Con ragionamento analogo si dimostra l'illimitatezza di V nel caso M<N.
L'unica possibilità è quindi M=N; in tal caso V=N(t-[t]) e poiché il salponiano sopravviverà solo se /V/<=10 dovrà essere N<=10.

grafico di y=N(t-[t])

Fonte: Fare Matematica F11

351. Ancora 2 = 1
di Pasquale

kx = x + x + ... + x (k volte)

xx = x + x + ... + x (x volte)

x^2 = x + x + ... + x (x volte)

D'(x^2) = 2x

D'(x + x + ... + x) = 1 + 1 + ... + 1 (x volte)= x

Quindi:

2x = x

2 = 1

Come mai ?

>>> Risposte & riflessioni
Infinito
"x^2 = x + x + ... + x (x volte)" vale solo per x interi, mentre quando derivi lavori in un intorno di x (e se quest'ultimo è intero, esiste un suo intorno in cui non ce ne sono altri).
Conclusione d(x²)/dx=2x è la formula richiesta, l'altra è sbagliata.

Dagart
Esiste un'altra soluzione al 3° quesito:
La derivazione è un'applicazione lineare che associa ad una funzione f una funzione f'.
Poichè x + x + x ... + x (x volte) è una funzione diversa da x^2, allora non è lecito applicare l'uguaglianza delle derivate.
Esempio lampante è la derivata di x e la derivata di x^2/x. Entrambe corrispondono come grafico ma ... la prima ammette derivata continua in ogni intorno di R mentre la seconda non ammette derivata in un intorno di 0.

Infinito
Scusa Dagart, ma non ho capito bene il senso della tua "soluzione": se la funzione non è definita in un intorno di x che altro puoi aggiungere come concetto?
E d'altra parete non è che il tuo esempio chiarisca molto di più, infatti la funzione f(x)=x²/x non è definita in 0 ed è per questo che non è ivi derivabile. (Nel tuo esempio hai la funzione g(x)=x che coincide con f sul suo dominio, e in questo caso anche le sue derivate coincidono con quelle di f sul "loro dominio").
Attendo eventuali chiarimenti.

Dagart
Quello che intendo dire è proprio quello che ho scritto:
* Non è lecito porre uguaglianze tra derivate di funzioni differenti in quanto la derivazione associa ad una funzione un'altra funzione: se le funzioni sono diverse (come nel caso di x^2 = x + x + ... + x (x volte)) allora anche la relative funzione associata sarà diversa. L'uguaglianza posta è un'uguaglianza aritmetica ma la derivazione è un funzionale lineare che usa funzioni invece che numeri come spazio. Quindi se le funzioni sono due punti diversi nello spazio delle funzioni derivabili allora molto probabilmente saranno diverse anche le funzioni associate all'applicazione della derivazione.
Spero di essere stato più chiaro ... :)

Franco Cocca
Una possibile risposta potrebbe essere che la funzione x^2 esiste per ogni x reale, è anche derivabile e la sua derivata vale 2x;
invece la funzione somma(x):=Sum(x,i,1,x) esiste solo per x naturali e quindi, secondo me, è impossibile derivarla perchè non è nelle condizioni di poterlo essere.
Dunque la derivata ottenuta con l'1+1+1+1+...+1 x non può essere accettata.

Giuseppe Bonavita
La condizione
D'(x + x + ... + x) = 1 + 1 + ... + 1 (x volte)= x
è vera solo se il numero degli addendi è costante.
Prolungando naturalmente la somma sui reali possiamo notare che esiste il contributo alla derivata dipendente da x, ma esiste anche un contributo dal numero degli addendi, che ha lo stesso peso.
Comunque, applicando la definizione di derivata intesa come valore incrementale, abbiamo:

D'(x + x) = (D(0) + D(2))/2 = 2!!

torna tutto, no? :-)

Gianfranco Bo
Ti ringrazio per il contributo, che ho inserito nella pagina.
Devo dire però che mi è un po' oscuro.
In particolare non ho ben capito come fai ad estendere la somma dai naturali ai reali e come fai ad identificare i due contributi di cui parli.
Se hai tempo e voglia, potresti spiegarlo meglio?

350. Due numeri... originali
di Enrico Delfini

Esiste un numero K per il quale la moltiplicazione per un fattore di due cifre (xy) può essere fatta, in modo forse più semplice per qualcuno, dividendo per 3 il numero formato da xy ripetuto tre volte, cioè
K * xy = xyxyxy/3

Esiste anche un numero che, moltiplicato per 3/2 , è composto dalle cifre del numero originale, in ordine inverso, cioè
abc...yz * 3/2 = zy...cba
(niente paura, è composto da molto meno di 26 cifre)

>>> Risposte & riflessioni
Elena Saccardi
Cerchiamo un numero A=a₀a₁...a_n tale che 3*(a₀*10ⁿ+...+a_n*10⁰) = 2*(a_n*10ⁿ+...+a₀*10⁰)

Poiché 3a_n finisce come 2a₀ (pari), a_n è pari

I casi possibili sono:

ma dovendo essere I2a_n-3a₀I <= 2, si trova a_n=6 e a₀=4

Aggiornando la tabella:

Poiché 3a_n-1 +1 finisce come 2a₁ (pari), a_n-1 è dispari

I casi possibili sono:

ma dovendo essere I2a_n-1-3a₁I <= 2, si trova a_n-1=5 e a₁=3

Aggiornando di nuovo la tabella:

Per 3a_n-2 e 2a₂ si procede come per 3a_n-1 e 2a₁, ma guardando bene la terza riga dell'ultima tabella (quella in grassetto) si aggiunge la richiesta che 3a₂ valga almeno 10 poiché deve dar luogo ad almeno una cifra di riporto per la posizione 10^n-1

Quindi anche l'unico caso trovato: a_n-2=5 e a₂=3, non è possibile.

L'unico numero A che soddisfa la richiesta è 6534.

Daniele Margotti
4356 * 3/2 = 6534
Ho usato un po' di forza bruta...

Sono partito prima da due cifre, poi sono passato a tre, e infine quattro (e a questo punto ho trovato la soluzione).

Più precisamente, con quattro cifre ho posto:
(1000a + 100b + 10c + d)*1,5 = 1000d + 100c + 10b + a

da cui:
1499a + 140b - 85c - 998,5d = 0

Ho messo i coefficienti in Excel, e "a mano" ho cambiato i valori di a-b-c-d (provando finché la somma non era pari a 0) tenendo presente che:
- d deve essere pari;
- sia a che d devono essere diversi da zero (mentre le cifre in mezzo possono anche essere nulle).

Per approssimazioni successive ho modificato "a" e "d", tenendo d'occhio la somma risultante (che doveva poi essere "azzerata" agendo su "b" e "c").
Se, ad esempio, la somma non era multipla di 5, era inutile agire su "b" e "c" (perché con i coefficienti pari a 140 e 85 non avrei mai azzerato la somma) e quindi passavo a modificare nuovamente "a" e "d".

Per la cronaca: una volta trovato il risultato con 4 cifre, ho provato per curiosità con 5 cifre, senza approdare a niente, e poi mi sono fermato (quindi non so se esistano numeri con 6 cifre o più che godano di questa proprietà).

Infinito
"xyxyxy"/3 = "xy"·10101/3 = "xy"·3367
Quindi k = 3367.
L'altro mi pare troppo calcoloso (per quest'ora), infinito.

349. TMC - 4952867
di Desmatron

Bene, adesso vediamo di che pasta siete fatti.
Sapreste scomporre in numeri primi il numero del titolo?
N.B. sono solo due ;)

>>> Risposte & riflessioni
673
2179
2273

Enrico Delfini
Il numero è abbastanza vicino (meno di ventimila unità) ad un interessante
NUMERO DI SMITH
Numeri di S. sono i numeri composti la somma delle cui cifre è uguale alla somma delle cifre dei suoi fattori primi, escluso 1.
Esempio:
198= 2*3*3*11
1+9+8= 18
2+3+3+11= 19
Palo!!
Più semplice:
4= 2*2
La ricerca è aperta....
Poco si sa sui numeri di Smith: se siano finiti o infiniti...se ne esistano composti solo di cifre 0 e 1....
Però sappiamo che ne esistono almeno due consecutivi
e alcuni palindromi (a parte 22,121 e 202 ce ne è anche uno molto carino di 11 cifre)...
Un'altra cosa che si sa è che...non servono a niente...

673
Desmatron ha scritto: vediamo di che pasta siete fatti.
Era evidente che i numeri primi da cercare erano vicino alla radice quadrata di 4952867 che è circa 2225,5.
Scorrendo la tavola dei numeri primi (ho una stampa con i primi 10000)intorno a 2225 è stato abbastanza facile trovare i 2 numeri richiesti.

348. Fiocco di neve
di Aleph

Ciao ragazzi!
Chi mi sa dire quanto vale l'area del fiocco di neve di Koch?
E' molto divertente scoprirlo!
ciao e buon lavoro!

Nota.
Il fiocco di neve di Koch è un frattale.
prendi un triangolo equilatero, dividi i suoi lati in tre parti, e su di ogni lato costruisci un ulteriore triangolo equilatero di lato 1/3 del primo. itera questo procedimento all'infinito ed otterrai il fiocco di neve!

>>> Risposte & riflessioni

Dagart
Ah ... vecchio Aleph! La risposta è A = sqr(3)/5 * a^2 (dove a è la misura del lato di partenza).
Ciao a Tutti!! Dagart

347. Undici alla undici!
di Aleph

Qual'è il modo più rapido per calcolare con carta e matita 11^11 senza la moltiplicazione?
Buon divertimento!

>>> Risposte & riflessioni

sprmnt21
Non so se e' un modo rapido, ma si potrebbe fare cosi':

11^11 = (10+1)^11 = SUM[k=0,11] C(11,k)10^k.

I termini C(11,k) si ricavano utilizzando il triangolo di Tartaglia:

0->1
1->11
2->121
3->1331
4->14641

Marco
Tenendo l'1 sia in testa che in fondo sommi le cifre.
Occhio ai riporti!

11
121
1331
14641
161051
1771561

ecc ecc

346. Alla Collatz
di Dagart

Sia un p un numero intero qualsiasi e sia n il numero delle cifre e sia p(1) la prima cifra, p(2) la seconda e così via fino a p(n) l'n-esima cifra.

p'=p(1)^2 + p(2)^2 + ... + p(n)^2

Sia p' di m cifre e otteniamo:

p''=p'(1)^2 + ... + p'(m)^2

E così via. Dimostrare che interando si arriva ad 1 (e quindi la serie infinita 1 - 1 - 1 ...) oppure si arriva al ciclo chiuso 145-42-20-4-16-37-58-89-145.

Ciao e Buon Divertimento!! Dagart.

>>> Risposte & riflessioni

345. TMC - solo 4 numeri
di Desmatron

Ho 4 numeri: 1,5,6,7 ed usando le 4 operazioni fondamentali (+,-,x,:) a piacere devo ottenere 21. I numeri devono essere usati tutti ed una sola volta.

P.S. é davvero tosto ragazzi, piú di quanto possa sembrare...in bocca al lupo.

>>> Risposte & riflessioni

Enrico Delfini
Non credo che sia la soluzione "corretta", ma, scrivendo i numeri decimali senza lo zero prima della virgola,
(7*6*.5)/1
(7*6*.5)*1
(7*6*.5)^1
fanno tutte 21

Desmatron
Interessante Ed, ottimo sforzo mentale, ma cosí usi 5 cifre (1,5,6,7,0).

Gianfranco Bo
Per ora sono arrivato a questi:
6*7/sqrt(5-1) = 21

oppure, usando una calcolatrice da 4 operazioni:

7+6+5+1=== 21
(bisogna premere 3 volte il tasto =)

E questa:
.1*5*6*7 = 21

Comunque Desmatron chiede di utilizzare soltanto i simboli:
1,5,6,7,+,-,x,:

E' così?
E' una domanda col trucco?

Gianfranco Bo
No Gianfranco, non c'é trucco é proprio cosí, solo quei simboli. In particolare i numeri devono essere utilizzati tutti ed una sola volta, i simboli sono solo +,-,x,: e possono essere usati ad oltranza, ma non puó comparire l'elevazione a potenza!

Dagart
Tutto potrebbe però dipendere dalla base scelta.

Prendiamo 1,5,6,7.

1 base 9 = 1
5 base 9 = 5
6 base 9 = 6
7 base 9 = 7

(1+5+6+7) base 9 = 21 !!!

E' corretto?? :P

Desmatron
Complimenti a tutti ragazzi.
Ottime idee davvero, tutte quante. Ad essere sincero peró la risposta non la conosco. Sono venuto a conoscenza del problema una settimana fa. E' apparso su di una giornale israeliano per l'offerta di un posto di lavoro...chi riuscisse a risolverlo avrebbe avuto il posto.
Si capisce almeno perché é cosí difficile :)
Notevole direi.

Gianfranco Bo
Ok l'ho trovato.
Ma la cosa più straordinaria è COME l'ho trovato.
Questa mattina ho sentito l'impulso di scrivere la soluzione pur non avendo la minima idea di quale fosse.
Ho preso un foglio e una penna e ho scritto un'espressione frazionaria apparentemente a caso.
Cioè la mia scrittura non era diretta dalla coscienza ma da qualcosa che andava al di là della coscienza.
Ecco ciò che ho scritto:
6
-------
1 - 5/7

L'ho scritto in forma frazionaria senza nessuna parentesi.
Con le parentesi verrebbe così:
6/(1-5/7)

DOPO aver scritto ho verificato con mio grande stupore che il risultato è 21.

Chiedo conferma: è veramente corretto?

Già in altre occasioni mi è capitato di trovare soluzioni di problemi (per me difficili) sotto forma di ILLUMINAZIONE IMPPROVVISA e indipendente dalla coscienza.
Sembra quasi che il mio INCONSCIO abbia risolto il problema per conto proprio e questa mattina si sia degnato di guidare la mia mano.

Però l'inconscio, per lavorare, deve essere stimolato da una forte volontà cosciente di risolvere il problema che si deve manifestare in molti tentativi falliti.

Questo fenomeno è stato descritto dal grande matematico J. Hadamard nel suo libro "La psicologia dell'invenzione in campo matematico"

A voi non è mai capitato qualcosa di simile?

344. Divisibilità per 8
di Flanny

Dimostrare che per ogni intero positivo n il numero 5^n + 2(3^(n-1)) + 1 è divisibile per 8.

>>> Risposte & riflessioni

Dimostrazione con l'aritmetica modulare

Enrico Delfini
Non so se è una "dimostrazione" ma:
le potenze di 5, modulo 8, valgono alternativamente "-3" e "-7"
5....-3
25...-7
125..-3
625..-7
3125.-3
.......
le potenze di 3, modulo 8, valgono alternativamente "-5" e "-7"
3....-5
9....-7
27...-5
81...-7
243..-5
.......
per n= numero pari, abbiamo -7-5-5+1 =-16 = divisibile x 8
per n= dispari, abbiamo -3-7-7+1 -16, come sopra e CVD

Rileggendo il mio testo, ho notato che stranamente ho usato "resto" modulo 8 in forma negativa. E' ovvio che tutto il ragionamento può farsi anche con "+1" "+3" "+5" con uguale risultato.
Chissà perchè nella mia testa è venuto fuori al negativo.
E' sempre interessante secondo me cercare di capire il meccanismo del ragionamento, specie in matematica.

Dimostrazione per induzione

Pasquale
Hello boys ! Sono di passaggio e vedo molte novità. Un saluto generale e vado alla questione della divisibilità.

Assumiamo per ipotesi che per un certo valore "m" di "n" sia:

5^n + 2*3^(n-1) + 1 multiplo di 8

Sarà allora, per n = m:

1) 5^m + 2*3^(m+1) + 1 = 8K (con K intero positivo)

per n = m + 1, sarà:

5^(m+1) + 2*3^m + 1 = 5*5^m + 2*3*3^(m-1) + 1 = 5^m + 4*5^m + 2*3^(m-1) + 4*3^(m-1) + 1 =

= [5^m + 2*3^(m-1) + 1] + 4*5^m + 4*3^(m-1) e sostituendo alla quadra il valore della 1):

8K + 4[5^m + 3^(m-1)] in cui il valore in parentesi quadra è un numero pari che indico con 2H

Quindi:

8K + 4*2H = 8K + 8H = 8(K+H) , divisibile per 8

Dunque, se per un certo "n=m" l'espressione è divisibile per 8, siccome lo è anche per n=m+1, lo è sempre, visto che per n = 1 sussiste tale divisibilità.

343. Codice segreto n°2
di Utervis

C'è una spia che parla con un suo collega e gli racconta di quando vide arrivare una persona alla fortezza; la sentinella gli gridò "Otto!", lui rispose "Quattro!" e la porta si aprì.

"Ancora?" gli risponde il collega "Questo è già stato proposto su Base 5!"

"Aspetta," ribatte il primo. "Il giorno dopo ho assistito alla stessa scena. Questa volta dalla fortezza gli hanno gridato "Quattro" e il soldato ha risposto "Due". E allora? Sei sempre convinto che sia il quesito che conosci?"

Il collega, adesso molto più interessato, guarda la prima spia con un'attenzione maggiore. Questo continua: "Infine ieri, di nuovo alla fortezza, stessa scena. La sentinella gli ha gridato "Diciotto" e il soldato ha risposto..."

"Nove?", chiede il collega.

"Bravo fesso!", gli ribatte il primo. "Se non fosse per me, moriresti di nuovo come nell'altro enigma! No, "Cinque" gli ha risposto. Adesso mettiamoci in marcia, ché non vedo l'ora di riuscire a entrare nella fortezza."

Arrivati alla fortezza, si fermano davanti alla porta. Dalla sentinella arriva la voce: "Tredici!"

Il panico si dipinge sulla faccia del collega, ma la nostra spia sorride e dà la risposta giusta!!!

Qual è?"

>>> Risposte & riflessioni

Daniele Margiotti
La spia ha risposto "Quattro", ed è passata indenne.

Ave,
Daniele

Gianfranco Bo
Forse per arrivare a rispondere "Otto", la sentinella dovrebbe dire "Ottantotto"?

342. Equilibrio con la calamita
di Era Tostene

Da piccolo quando scoprii la calamita, mi divertivo a giocarci. Un giorno volli provare a tenere in equilibrio un ago tra la forza di gravità e l'attrazione della calamita. L'esperimento non riuscì mai. Mi chiedo, esiste il punto di equilibrio? E' solo teoria o lo si può trovare in pratica? Ovviamente trascurando: vento, tremolii,ecc.

>>> Risposte & riflessioni

Questa interessante domanda ha dato luogo ad una lunga discussione tecnica.
Chiedo scusa a tutti per averla tagliata. Ho lasciato soltanto la risposta di CFB che è quella più "ricreativa" e nello stesso tempo molto pertinente. G.Bo

CFB
Mi ricordo di una trottola comprata qualche mese fa che restava in sopsensione......
se la ritrovo vi dico dove l'ho comprata sempre che vi interessi...

341. Quando 1+1 fa 1 e 1-1 fa 2?
di Dario

Un amico mi ha chiesto:

"Quando 1+1 fa 1 e 1-1 fa 2?"

Sapreste fornirmi la risposta?
Grazie e complimenti per il sito.

>>> Risposte & riflessioni
Marco
Tipo quando + significa x e - significa +

340. Potenza di 2 che inizia per 1999
di Pasquale

Esiste una potenza del 2 che inizia con 1999?

>>> Risposte & riflessioni

Paolo Hägler
La più piccola potenza di 2 che inizia con 1999 è 2^9030 (è un numero con 2719 cifre). La nona più piccola, 2^40240 (è un numero con 12656 cifre) inizia anche con 19999 (è la più piccola potenza di 2 con questa proprietà), e la 405esima più piccola, 2^1880106 (è un numero di 565969 cifre) inizia anche con 199999 (è la più piccola con questa proprietà).

Noi cerchiamo j (l'esponente) tale che 2^j<2000.10^i (con i intero). Per ogni i intero abbiamo un candidato j=[1+(x+3)*ln(10)/ln(2)] (parte intera). Ho tabulato in Excel queste j ed ho cercato quelle per cui 2^j/(10^([1+j*log(2)]-4)) (le prime 4 cifre del numero 2^j) fosse compreso tra 1999 e 2000. Ho trovato le prime 429 potenze di 2, delle quali 43 iniziano anche con 19999, ed una sola inizia con 199999.

Ho poi creato un programmino in Maple che permetta di calcolare queste potenze con qualsiasi inizio desiderato, ma si è rivelato un metodo molto più lento!

339. Quadrilatero di area massima
di Pasquale

Dato un quadrilatero con i lati di lunghezza a,b,c,d, dimostare che la sua area è massima quando gli angoli opposti sono supplementari.

>>> Risposte & riflessioni

338. Trenta uova in un paniere
di Oscar

Un contadino raccoglie 30 uova dal suo pollaio, le mette nel suo paniere e va al mercato per venderle.
Si presentano 30 persone diverse, ognuna della quali si porta a casa il suo bravo uovo. Nonostante ciò rimane un uovo nel paniere.
Come è possibile ciò?

>>> Risposte & riflessioni

Gianfranco Bo
Si tratta di una variante di un problema piuttosto noto ma, per come è espressa, ammette diverse soluzioni. Leggete attentamente il testo e le soluzioni. Un buon esercizio di logica!

Utervis
Il trentesimo acquirente si porta a casa il paniere, in cui è rimasto l'ultimo uovo.

Marco
O anche il primo, tanto le uova possono stare tranquillamente in piedi mi pare...

Enrico Delfini
Oppure, nel paniere c'era già un uovo avanzato dal giorno prima.
(infatti il testo dice che il contadino mette 30 uova nel paniere ma non dichiara che il paniere era inizialmente vuoto! Eh, i matematici sono molto precisi!)

337. TMC - La vittoria
di Desmatron

Rutelli e Prodi si giocano la presidenza dell'Ulivo ai dadi.

Giocano con due dadi non truccati.
Rutelli vincerá facendo uscire 7 e Prodi facendo uscire 6.
Il piú anziano dei due gioca per primo e in seguito lanceranno i dadi alternativamente fino a quando uno dei due vince.

Chi ha maggior probabilitá di fronteggiare Berlusconi!?

Nota.
Pensateci bene: inizia il piú anziano dei due a giocare (che per motivi puramente anagrafici non é Rutelli). Ma questo non vuole dire che Francesco parta svantaggiato.

>>> Risposte & riflessioni

Paolo Hägler
Prodi gioca per prima e vince col 6, ossia ha la probabilità di 5/36 di vincere al primo turno.
Rutelli gioca per secondo e vince se Prodi non vince al primo, e se lui fa 7, ossia ha 31/36.6/36 probabilità di vittoria al secondo turno.
Di nuovo Prodi vince al terzo turno con probabilità 31/36.30/36.5/36.
E così via Prodi vince ai turni dispari con probabilità date dalla successione geometrica 5/36.(31/36.30/36)^i (i naturale), e Rutelli ai turni pari con probabilità 31/36.6/36.(31/36.30/36)^i (i naturale). Grazie al limite delle somme di termini di serie geometriche troviamo che Prodi vince con probabilità 30/61 e Rutelli con probabilità 31/36.

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