Ricreazioni Ricevute 2004

I problemi più rapidi discussi al Forum di BASE Cinque
o inviati per posta elettronica

Un elicottero sorvola una nave di forma quadrata e di lato L percorrendone l'intero perimetro. La nave nel tempo in cui l'elicottero fa il giro ha percorso uno spazio L (equivalente al lato). Quanta strada fa l'elicottero? Sia l'elicottero che la nave procedono a velocita' costante!

Paolo P.
Propongo un calcolo più semplice.
Chiamo Ve e Vn le velocità dell'elicottero e della nave
Stabilisco che Ve = k Vn
Per percorrere i quattro lati l'elicottero impiega rispettivamente i tempi t1, t2, t3, t4
In ciascun tempo t l'elicottero percorre uno spazio pari al modulo del vettore somma di L + lo spazio percorso dalla nave nello stesso tempo, quindi:
t1 Ve = L + Vn t1 da cui si ricava
t1 = L / Vn (k-1)
t2 Ve = sqr(L^2 + Vn^2 t2^2) da cui si ricava
t2 = L / sqr(Vn^2 (k^2-1))
t3 Ve = L - Vn t3 t3 da cui si ricava
t3 = L / Vn (k+1)
t4 = t2
la somma dei quattro tempi parziali dell'elicottero deve eguagliare il tempo in cui la nave percorre L, quindi:
L / Vn (k-1) + 2 L / sqr(Vn^2 (k^2-1) + L / Vn (k+1) = L / Vn
semplificando L e Vn a destra e a sinistra dell' = si ottiene:
1 / (k-1) + 2 / (sqr (k^2-1)) + 1 / (k+1) = 1
da cui si ricava k = 4,1811....(complimenti ai precedenti solutori), il che risolve anche il quesito richiesto, data la proporzionalità diretta tra spazio e tempo.

Indovinello bis: e se la nave, invece di avanzare, ruotasse intorno al suo centro nello stesso senso dell'elicottero e l'elicottero completasse il perimetro quando la nave ha fatto un giro completo?

Beppo il contadino dice alla moglie Beppa:
"Se vendessimo 75 polli, come dico io, il mangime ci basterebbe per 20 giorni in più. Se comprassimo altri 100 polli, come dici tu, il mangime finirebbe 15 giorni prima."
La moglie al marito:
"D'accordo Beppe, ma, in ogni caso, quanti polli abbiamo?"
Lo so che per voi non è difficile ma io l'ho trovato carino

Vi chiedo di dimostrare:

.... che sqrt(2) non è un razionale.

.... che i numeri reali=(irrazionali U razionali) sono infiniti.

Massimo
Consideriamo per assurdo che radice di 2 sia razionale =n/m.
2=(n/m)^2
=>2m^2=n^2
Ma se scomponiamo in fattori primi (2m^2) sarà presente l'elemento 2^(2k+1) con k naturale.
n^2 invece ha in generale l'elemento 2^2h con h naturale.
Tutto sta allora nel trovare il numero comune h=k dato che per la tesi sono (2m^2) e n^2 uguali, che soddisfa la:
2k+1=2h.
Ciò è impossibile quindi radice di 2 NON è razionale.

Infinito
Analogo discorso vale per ogni numero del tipo 1/P con p primo (maggiore di 1), la cui radice sta nell'intervallo (0; 1).
Questo per la seconda parte del quesito.
In realtà il mio esempio prevede ancora l'insieme dei numeri algebrici, insieme numerabile, invece l'insieme dei numeri irrazionali ha la cardinalità del continuo (che è maggiore).

Tutti sappiamo che la radice quadrata di 16 è 4.
Se tra 1 e 6 inseriamo 15 otteniamo 1156 la cui radice quadrata è 34; se tra 1 e 5 di 1156 inseriamo un altro 15 otteniamo 111556 la cui radice quadrata è 334, abbiamo cioè:
16 = 4^2
1156 = 34^2
111556 = 334^2
11115556 = 3334^2

Come le matriosche... inserendo un 15 tra un 1 e un 5 del quadrato precedente si ottiene un altro quadrato.
Si può dimostrare che ciò è valido per tutti i numeri di questa serie?

Archimede
Moltiplicando due numeri con n cifre d1 cui:
n-1 cifre 3
1 cifra 4 (la meno significativa)
ottengo:

______3333.....34*
______3333.....34
______===========
______1333....336
_____10000....020+
____100000....200+
.................+
__10..0200....000+
=================
__11..1555....556

In generale ottengo sempre (con n cifre) un risultato composto da:
n volte il numero 1
n-1 volte il numero 5
1 volta il numero 6

Trovare l'intero N, sapendo che la somma delle sue cifre è 198 e che il suo quadruplo è lo stesso N letto al contrario.

Henry
Il più piccolo numero che diventa il quadruplo se viene capovolto è:

2178 ---> 8712

I successivi si ottengono inserendo dei 9 al centro, es.
21978 ---> 87912
219978 ---> 879912
2199978 ---> 8799912

Per trovare quanti 9 bisogna inserire affinché la somma delle cifre sia 198, si può fare così:

2+1+7+8=18
198-18=180
180:9=20

Allora si devono inserire 20 "9".

219999999999999999999978 - 879999999999999999999912

Alex
Con somma=198: Soluzioni alternative alla risposta di Henry

N=21782178217821782178217821782178217821782178
N=21999999999782199999999978

Sapresti sfilarti un gilè indossato sotto la giacca, senza toglierti la giacca?

Ringrazio Giuseppe che mi ha inviato questa immagine-risposta, tratta da "Fare Matematica", F24.

Ciao Gianfranco,
appena scoperto il tuo sito sono stato folgorato. Complimenti.
Vorrei farti conoscere un test che raccontava un anziano signore del mio paese:

Un tale passeggiava nei pressi di una vigna e con educazione salutò gli operai che lavoravano:
"Bongiorno cent'omini!" e uno di quelli rispose: "Cento non siamo, per cento ce ne vogliono altrettanti, più la metà di tutti quanti, e con voi per compimento alla fine siamo cento."

Quanti erano gli operai?

Non so se lo conoscevi o se è già stato pubblicato, è molto semplice.
Per me la bellezza sta nel ricordo del signore che lo ha raccontato una sera di molti anni fa, ha tenuto allegri e svegli molti ragazzi davanti ad un bar...

Grazie e a presto

Gianfranco Bo
Ti ringrazio moltissimo per il problema che mi hai inviato.
Problemi di questo tipo compaiono forse per la prima volta in Alcuino da York (800).
Il testo che mi hai inviato è bello ed è una importante testimonianza di come questi problemi rimangono nella cultura popolare e si tramandano nei secoli attraverso chissà quali misteriose vie.
Se ciò accade è comunque perché essi hanno una incredibile presa sulla nostra mente. Sono irresistibili e indimenticabili.

Antonio Fiorillo
Volevo dire che i "cent'omini", del n 382 delle "ricreazioni" credo siano 33 in quanto :"cento non siamo, per cento ce ne vogliono tanti più la metà di tutti quanti, e con voi per compimento alla fine saremo cento", e allora (33 +33) + 33 [inteso come la metà di 33+33] +1 = 100.

Gianfranco Bo
Ringrazio Peppe che mi ha inviato una lista di 3832 panvocaliche.
Per motivi di spazio, ne inserisco un estratto.
abbruniremmo - azzurreggio
bachicolture - butteriamo
caffeuccio - cuticolare
deambulino - duplicheranno
educassimo - evolutiva
fanciullesco - fustigheranno
garbuglione - guttazione
haemophilum - huroniane
ignorantucce - iugoslave
krusheviano
lanciuole - luteranismo
maciullero - mutileranno
nanocurie - nuvolaglie
obiurgante - ovuliate
pacchettuccio - puzzacchiero
quaccherismo - quotizzera
rabbiosucce - ruzzoliate
saluberrimo - svuotiate
tafferuglio - tuteliamo
ubbriacone - ustionera
vacuometri - vuotiate
yogurtiera
zoppicature - zufoliate

Peppe
Per onestà e correttezza e per dare "a Cesare quel che è di Cesare...", preciso subito che il merito non è mio ma di un amico, il Professore a riposo Roberto Morassi, che gentilmente mi ha fornito la risposta.
Ho solo il "merito" di avergli dato lo spunto e lo stimolo giusto...
Se vi interessa potete divertirvi a creare "panvocaliche" con il programma VERBATRON, scaricabile dal sito: http://www.imc.pi.cnr.it/~resta/verba.html.
Dalla finestra principale,cliccare sull'opzione PAROLE
con questi filtri:
(v) Usa solo lettere: aeiou9b9c9d9f9g9h9j9k9l9m9n9p9q9r9s9t9v9w9x9y9z
soddisfa:
*[aeiou]*[aeiou]*[aeiou]*[aeiou]*[aeiou]*
Otterrete una lista di circa 1500 panvocaliche.
Ovviamente il numero dipende dal VOCABOLARIO che è stato caricato. Quello utilizzato dal Prof. Morassi (valente enigmista), si chiama "MARK" e consente di ottenerne 3832.
VERBATRON contiene numerose opzioni. È intuitivo, semplice da usare e divertente.

Trovare gli n+1 interi positivi: k_1, k_2, ...,k_n, n tali che SUM (k_i) = 174 e il prodotto dei k_i sia il massimo possibile.

Massimo
I k sono tutti 3, l'n è quindi 58.
Per la dimostrazione partirei dal fatto che:
1*1<2
2*2*2<3*3
3*3*3*3>4*4*4
4^5>5^4
5^6>6^5
6^7>7^6
...

E ora la parola agli esperti.

Nell'ultimo numero, quello di febbraio 2003, appare un nuovo rebus che per me vale la pena di postare.
scrivete:

modificate il colore dei caratteri in giallo.
La chiave è: 2, 5, 7, 2, 2, 8, 6.

>>> Risposte & riflessioni

F.
Un punto chiave in un racconto giallo?

Massimo
Quasi, ma come potrai notare la terza è di 6 lettere anzichè di 7 quindi qualcosa non è corretta.
Inoltre "chiave" non è desumibile da nessun elemento...

F.
Sì, non hai tutti i torti...
Lo so ch non ci sta, ma questo è tutto ciò a cui sono arrivata fino ad ora:
Una puntata di un racconto giallo.
Sono molto lontana? :)

Massimo
Direi che quasi ci sei, giusto che non è "una" qualunque quella puntata...

F.
La prima puntata di un racconto giallo!!!!
Giusto?

Massimo
Bene, anche per febbraio il rebus è risolto, poi visto che solitamente questo ha scadenza bimestrale il prossimo, se è interessante, sarà ad aprile.
Ciao

378. Come appendere un quadro in modo stupido
di Francesco Veneziano

Abbiamo un quadro, due chiodi piantati in un muro e un filo sufficientemente lungo legato ai due angoli superiori del quadro.
Nella nostra perversione vogliamo appendere il quadro in modo che staccando dal muro uno qualunque dei due chiodi, il quadro cada.

La soluzione è "onesta" e non prevede che gli estremi del filo vengano staccati dagli angoli del quadro, né che i chiodi vengano estratti dal muro e ripiantati, né che il quadro venga appoggiato sui chiodi, che potrebbero anche essere disposti verticalmente.
Il filo è da considerarsi perfettamente liscio e privo di attrito, quindi eventuali nodi sono liberi di scorrere.

Il problema può essere generalizzato a n chiodi.

Pasquale
Caso semplificato di due chiodi orizzontali: appoggio il filo sui due chiodi; prendo il capo verticale discendente dal primo chiodo e, passando da sotto al primo chiodo, l'appoggio sul secondo chiodo; prendo l'altro capo verticale discendente dal secondo chiodo ed opero simmetricamente come prima.
Con ognuna delle due operazioni libero un chiodo dalla regione chiusa filo-quadro, assimilabile topologicamente ad un cerchio: all'apparenza non sembra, ma togliendo un chiodo appare chiaro.

Uno dei tre birboncelli ha rotto il vaso della marmellata:

A: "L'ho visto! È stato B"
B: "Non è vero, non sono stato io"
C: "Io di certo non sono stato".

Uno solo dei tre sta dicendo la verità; chi è il colpevole?

Ciao a tutti, qualcuno ha in mente come potrei fare per spiegare, magari in modo operativo, a ragazzi delle medie che la somma della successione di n termini dispari è uguale al quadrato di n?

Giobimbo
Su carta quadrettata colora un quadratino di giallo, questo è il quadrato di 1, cioè un quadrato di lato 1.
Colora di rosso il quadratino sotto e quello a destra, poi, per completare il quadrato anche quello d'angolo, in tutto 3 quadratini: 4=1+3.
Colora di blu i due quadratini sotto il quadrato di lato 2, colora di blu i due quadratini a destra e, per completare il quadrato, anche quello d'angolo: 9=1+3+5.
Colora di nero i tre quadratini sotto...

A questo punto, indicando i colori con lettere, giallo=G, rosso=R, blu=B, nero=N dovresti avere la figura
GRBN
RRBN
BBBN
NNNN
e per passare da un quadrato di lato n al successivo di lato n+1 bisogna aggiungere n quadratini sotto e n quadratini a destra, cioè 2n quadratini, più uno nell'angolo. Per passare dal quadrato di 4 al quadrato di 5 bisogna aggiungere, per esempio, (2*4+1)=9 quadratini verdi, ecc.
1
1+(2*1+1)=1+3
4+(2*2+1)=1+3+5
9+(2*3+1)=1+3+5+7
Penso che sia abbastanza comprensible.

Filippo
Da 1 a 1.000.000 ci sono 1000 quadrati e 100 cubi, ma sono coincidenti quelli del tipo n^6 (2^6 = 8^2 = 4^3); di questi ve ne sono 10.
1000+100-10=1090
1.000.000-1090=998910

Nella sequenza dei fattoriali da 77777! a 77877! inclusi, qual è la cifra che si ripete di più?

Enrico Delfini
credo anch'io che sia zero; ma meno "evidentemente".
Di certo nella sequenza di zeri ce ne sono molti, o meglio ci sono certamente molte "sfilze" di zeri.
Come ovvio
10! termina con 2 zeri
20! termina con 4 zeri e ogni dieci passi la fila di zeri aumenta di due (una causata dalla moltiplicazione per un numero terminante in zero; e una dalla doppia moltiplicazione per 2 e per 5).
Pertanto
77777! termina con 15554 zeri e
77877! termina con 15574 zeri.
Per le cifre degli altri posti...lavorate un pò anche voi!!!

Pasquale
Concordo sullo zero e sull'evidentemente, perchè lo zero una volta generato, se in posizione finale, non potrà più essere modificato dai successivi prodotti, che potranno solo aumentarne la quantità.
Es: con 5! = 120 è la prima volta che compare uno zero.

Poi:

6!= 120*6 = 720
7!= 720*7 = 5040
8!= 5040*8 = 40320
9!= 40320*9 = 362880
10!= 362880*10 = 3628800 (compare un secondo zero finale)

Enrico ha già fatto un conteggio degli zeri finali ed
esaminando l'andamento della distribuzione delle cifre in un fattoriale abbastanza grande, si può osservare che, tolti gli zeri finali, le varie cifre, compresi gli zeri intermedi, tendono ad eguagliarsi, per cui aggiungendo gli zeri finali (che aumentano al crescere del fattoriale), lo zero non può che prevalere.

Enrico Delfini
Forse sono stato scarso...
oltre ai due zeri ogni dieci gradini, mi pare se ne debba contare uno aggiuntivo ad ogni centinaio e un altro ad ogni migliaio.
Il problema è se è dimostrabile quanto dice Pasquale sulla equidistribuzione delle altre cifre: a occhio tendo a concordare, ma sarà vero?
La nullità (che di zero se ne deve intendere) dovrebbe spiegarci il suo ragionamento.

Eugenio
Non mi trovo con i calcoli che ha effettuato ED sul numero degli zeri finali di un fattoriale.
Infatti, secondo me :

La funzione che determina il numero degli zeri finali di un fattoriale e' la seguente

n° zeri di n! = somma( int(n)/5) reiterato fin quando il valore dell'intero della divisioni giunge a zero
Infatti per n=77777:

int(77.777/5) = 15.555
int(15.555/5) = 3.111
int(3.111/5) = 622
int(622/5) = 124
int(124/5) = 24
int (24/5) = 0
-------------
19.436

Giorgio Dendi
Già in un'altra pagina di Base5, che non sono riuscito a rintracciare, avevamo parlato delle ultime cifre di un numero fattoriale. In effetti per contare gli zeri finali, si fa come dici tu, Eugenio, e 77.777 dà 19.440 zeri finali (hai dimenticato di includere nella somma 24/5 = 4), ma questo risultato si può ottenere con una buona approssimazione dividendo 77.777 per 4. Infatti 1/5 + 1/25 + 1/125 + ... = 1/4.
Naturalmente, a causa degli scarti della parte non intera, non è proprio così, ma forse ci si può accontentare, e questo potrebbe bastare per dire che ci sono molti più 0 che altre cifre. Infatti 77.777/4 = 19.444 anziché 19.440.
Con l'approssimazione che suggerisco, la prima volta che si sbaglia di 1 è con il numero 4, la prima volta che si sbaglia di 2 è con il 24, la prima volta che si sbaglia di 3 è con il 124... e così via.

A numero uguale, lettera uguale (4=R):

5 1-5-4-7-2-8-5-6-2 3-9-7-10 11-1-12-2-4-13-3 8-5-6-2

Pasquale
Forse è più chiaro così (frase 1,9,4,7,4):

5
1 5 4 7 2 8 5 6 2
3 9 7 10
11 1 12 2 4 13 3
8 5 6 2

Giorgio Dendi
E' un po' tardi per dare la risposta, comunque... A CARNEVALE OGNI SCHERZO VALE!!!

Strano davvero è il comportamento di 76923 (per comodità lo scriveremo 076923).
Provate a moltiplicarlo per un qualsiasi numero fra 3-4-9-10-12
Ora provate a moltiplicarlo per un numero fra 2-5-6-7-8-11
Carino, vero?

Giorgio Dendi
Quel numero è il periodo di 1/13.
La stessa cosa capita anche con il numero 032258064516129, che stranamente è il numero del mio telefonino e per combinazione è anche il periodo di 1/31.
Se lo provi a moltiplicare per i vari interi da 2 a 30, o ottieni una ripetizione ciclica delle stesse cifre, oppure ottieni una ripetizione ciclica di 096774193548387... se non ho sbagliato a copiare.
In pratica, se dividi un numero per 13 o per 31, e la divisione non dà un quoziente intero, trovi uno dei due periodi citati.
E curioso notare che per 17, 19, 23 e per altri numeri, produce un solo tipo di periodo, mentre qui ne produce 2 distinti. Quale è la regola che dice quanti periodi diversi ci sono a partire da un dato intero???

Esiste un modo veloce per calcolare il quadrato di un numero che termina con 5: qual è? Perché?

Pasquale
Che io sappia, per fare il quadrato di un numero che termina con 5, si moltiplica il numero stesso senza il 5 finale per il successivo di tale numero monco ed al risultato si aggiunge 25.
Come dice lo scettico (blu?), se il numero è grande non esiste procedimento veloce, ma se è piccolo il procedimento descritto è comodo, più che per la velocità, per la possibilità di trovare il risultato a mente:
15^2 = 1*2 = 2 -> 225
25^2 = 2*3 = 6 -> 625
75^2 = 7*8 = 56 -> 5625
115^2 = 11*12 = 132 -> 13225
Può essere utile anche per qualche numero lungo particolare:
1000000000000000000005^2 = 1000000000000000000010000000000000000000025
E' sempre valido tale procedimento?
Posso indicare un generico numero che termina in 5 con:
10x+5
ed il quadrato di tale numero con:
(10x + 5)^2 = 100*x^2 + 100x + 25 = 100x(x+1) + 25 = x(x+1)*100 + 25
cioè il suddetto procedimento.

Giorgio Dendi
Io rispondo al quesito proposto, anche se mi sembra che ci sia stata un po' di confusione nell'inserire i problemi. Mi fa piacere comunque che ogni tanto venga fuori il problema dei quadrati in 5 che avevo già inserito nelle pagine della Bocconi alcuni anni fa.

Se da un numero togli 2, ottieni un multiplo di 2; se togli 3, un multiplo di 3; togliendo 4, ottieni un multiplo di 4; 5...un multiplo di 5; 6....di 6;...........;16...di 16.
Sono infiniti i numeri con questa proprietà, ma tu indica il più piccolo.

Ho letto che la somma dei numeri primi inferiori a 369.119 è 5.537.154.119 che è un numero divisibile per 369.119.
Non so a chi possa interessare, ma io ve lo dico.

Ho letto anche che 396.733 e 396.833 sono la prima coppia di primi consecutivi distanti esattamente 100.
Mi è venuto di chiedermi: dato un qualsiasi numero n, esisterà sempre una coppia di primi consecutivi distanti 2n? Basta considerare il fatto che i n.p. sono infiniti per rispondere sì, o ci vuole qualcosa di più?

Pasquale
A prima vista sembrerebbe una congettura e come tale non dimostrabile, nè confutabile.

Filippo
Quello che riferisci, per il numero 369119, è interessante e poco comune. Oltre che per i primi sino a 5 (somma = 10) e per quelli sino a 71 (somma=639, divisibile per 71), non ne ho trovato altri minori di 5.000.000 con questa caratteristica.
Per il secondo punto, ma è solo un mio parere, mi pare proprio che non sia sufficente basarsi sul fatto che i primi sono infiniti; seguendo questo criterio il problema dei primi gemelli sarebbe già dimostrato. La tua congettura, come tante altre sui primi, però rimane valida.

Dario Uri
Ho spinto la ricerca fino a 30.000.000 di primi trovando solo un'altra soluzione:
Somma dei primi da 2 a 415.074.643 = 4456255064711219 =
415.074.643 x 10736033.
Ci sono 22.096.548 addendi in questa somma.

In alcune curiosità indicate a Prontoadimparare, ho detto che: moltiplicando fra loro quattro interi consecutivi e aggiungendo 1, si ottiene un quadrato perfetto.

Perchè ?

Sprmnt21
Sia P4=(x-1)x(x+1)(x+2) il prodotto di quattro interi consecutivi. Raggruppando i due estremi e i due medi si ha

P4 = (x^2+x-2)(x^2+x) = (x^2+x-1 - 1)(x^2+x-1 + 1) = (x^2+x-1)^2 - 1 cioe' il quadrato di un numero intero meno uno.

A proposito del lotto, conoscete la vendetta di Frà Pacifico?

Roma, se santa sei,
perché crudel se' tanta?
Se dici che se' santa,
certo bugiarda sei!

Vincenzo ha suddiviso la sua collezione di monete in tre raccoglitori. Un quinto delle monete si trovano nel primo raccoglitore, 303 si trovano nel secondo e alcuni settimi del totale sono nel terzo raccoglitore. Quante monete possiede Vincenzo?

Si consideri una sinusoide y=sin(x).
Se ora l'asse x viene incurvato fino a richiudersi su se stesso, cioè formando una cironconferenza, in pratica otteniamo una sinusoide che segue una circonferenza e non più una retta...
Come si può esprimere l'equazione della curva che rappresenta quella specie di sinusoide che si avvolge attorno a una circonferenza?

Pasquale
Ti do un'equazione espressa con le variabili che individuano il luogo dei punti della strana figura con coordinate polari, dove "?" è la lunghezza del raggio rotante (variabile dipendente) ed "a" il rispettivo valore angolare espresso in frazioni di p (variabile indipendente).

Una sinusoide di particolare ampiezza e frequenza, in base ai valori attribuiti, si mette a cavallo di una circonferenza di raggio unitario.

? = 1 + sin(100a)/10

Il seguente programmino fornisce le cooordinate di 4000 punti per un eventuale disegno che si volesse effettuare:

let u=pi/2000
for a= 0 to 2*pi step u
let r= 1 + sin(100*a)/10
print "ro= ";r;" alfa= ";a
next a
end

Implementando ordini grafici, si potrebbe ottenere un disegno al computer.

Ciao

Ricordate il problema della tubatura nascosta sulla spiaggia nell'ambito di un'area circolare, che bisognava individuare con uno scavo da minimizzare?

Vorrei riproporre il problema, ponendo la tubatura in un rettangolo di lato 2x1, per vedere dove si va a parare: che percorso bisogna seguire, affinchè lo scavo sia minimo? Quanto misura tale percorso?

[> Re: La tubatura nascosta -- Marco, 11:07:07 12/30/03 Tue [1]

Le due diagonali : 4,46

[> Re: La tubatura nascosta -- Federico Felizzi, 11:51:40 12/30/03 Tue [1]

Due semidiagonali e la congiungente dal centro al lato opposto, in più due "ali", dai vertici da cui non partono le diagonali, dirette perpendicolarmente alla congiugente tra i vertici da cui partono le diagonali e l'intersezione dell'ulteriore congiungente con il lato opposto.

A seconda di come sono tracciate le semidiagonali (lato corto o lato lungo) le lughezze sono

radq(5)+1+1/radq(5)=3,683281573
radq(5)+radq(2)+0,5=4,15028154
rispettivamente

-------------
|\ ________/| semidiagonali da sinistra verso il centro.
|/.........\|
-------------

[> Re: La tubatura nascosta -- CEsarone, 13:02:10 12/30/03 Tue [1]

Posso avere il link al problema originale... perchè così non mio raccapezzolo... :))

[> Re: La tubatura nascosta -- Marco, 13:12:54 12/30/03 Tue [1]

federico non mi torna il tuo esempio.

riesci ad essere piu' chiaro?
magari con delle lettere.

Grazie.

Ciao!

[> [> [> Re: La tubatura nascosta -- Federico Felizzi, 14:48:50 12/30/03 Tue [1]

In effetti il testo è poco comprensibile. Siano i vertici del rettangolo ABCD di coordinate rispettivamente (0,0),(2,0), (2,1), (0,1), e K il centro (1,1/2). Orbene sono scavati i segmenti BK e AK. Detto inoltre M il punto medio del lato CD, è scavato anche il segmento KM. A questo punto manca un'area abbastanza vasta da coprire, intervengono dunque le ali di cui parlavo. Esse sono le altezze relative all'ipotenusa nei triangoli rettangoli BMC e ADM.
La misura complessiva è dunque
(radq(5)=AK+DK) + (0,5=KM) + (radq(2)=altezza *2)=4,15028154
Spero di non avere fatto errori di lettere.
La misura precedente di circa 3,68 derivava da un calcolo errato.

A proposito di questo nuovo gioco, qualcuno ricorda la soluzione minima pubblicata nell'analogo della macchia circolare?

Ve ne sarei infinitamente grato..

[> Re: La tubatura nascosta -- Marco, 15:11:23 12/30/03 Tue [1]

Ok era il 3,68 che mi stupiva.

io ho un semplice semplice 4 e uno minore anche...per ora vi espongo il 4.

dato il tuo rettangolo ABCD scavo lungo i due lati corti AD e CD e uno dei lunghi AB.
1+1+2=4

il minore di 4 e' circa 3,8.

Ciao!

[> Re: La tubatura nascosta -- Federico Felizzi, 18:57:29 12/30/03 Tue [1]

Già...
comunque, probabilmente perfezionando la tua idea sono a 3,732055363

[> Re: La tubatura nascosta -- Pasquale, 19:26:37 12/30/03 Tue [1]

Per Cesarone

Il problema originale è scomparso dall'archivio, perchè datato (mi sa che è comparso in un periodo di tua assenza, per cui giustamente non sai di cosa stiamo parlando).
Cerco quindi di essere più chiaro nel testo.

Disegnamo sul terreno un rettangolo di 2x1; immaginiamo che sotto terra, parallelamente al terreno,corra una tubazione (dritta e senza dimensioni, insomma una retta): almeno una parte di questa, anche un punto, nel suo percorso, capita nella superficie del rettangolo, o meglio della sua proiezione.
La direzione può essere qualsiasi e non è nota: potrebbe avere in comune con il rettangolo una diagonale, un lato, un vertice, etc.
Noi dobbiamo scavare per intercettare detto tubo: potremmo scavare lungo tutto il perimetro del rettangolo ed il tracciato sarebbe lungo 6, ma possono esistere altri percorsi che pur essendo più brevi sono egualmente utili per intercettare il tubo in modo certo.
Si vuole conoscere il percorso possibilmente minimo (lo scavo può essere anche discontinuo).

Per il momento Marco ha indicato in 4 il percorso più breve ed annuncia altra soluzione di misura inferiore.

Ciao

[> [> Re: La tubatura nascosta -- Pasquale, 20:31:04 12/30/03 Tue [1]

Indico con ABCD i vertici del rettangolo ( AB lato corto in basso e lettere in senso antiorario).
Sui due lati corti AB e CD indico rispettivamente con M ed N i punti medi di tali lati e traccio il segmento MN, sul quale individuo un punto P, nei pressi di M, ed un punto Q, nei pressi di N, tali che:

MP=NQ= sqr (3)/6

sarà :

AP=BP=CQ=DQ= sqr (1/4 + 1/12) = sqr (1/3) = sqr(3)/3

PQ= 2 - 2*MP = 2 - sqr (3)/3

Il percorso dello scavo è dato da:

AP+BP+CQ+DQ+PQ = 4*sqr (3)/3 + 2 - sqr (3)/3 = sqr (3) - 2 = 3,732

Ciao

[> Re: La tubatura nascosta -- Marco, 19:27:19 12/30/03 Tue [1]

si, si puo' perfezionare...pero' entrano in gioco calcoli complessi.
almeno per me.

Ciao!

[> Re: La tubatura nascosta -- Pasquale, 02:17:44 12/31/03 Wed [1]

Devo correggere un piccolo errore nei calcoli finali e precisare meglio il totale:

il -2 deve essere +2, perciò il percorso dello scavo è dato da:

AP+BP+CQ+DQ+PQ = 4*sqr (3)/3 + 2 - sqr (3)/3 = sqr (3) + 2 = 3.73205080756888

Il valore sqr(3)/6 di MP è stato ricavato con procedimento di minimizzazione, equagliando a zero la derivata prima della funzione 4*sqr(1/4+x^2)+ 2 - 2x.
Non è detto che non esista altro percorso migliore, ma questo mi pare abbastanza buono.
A voi l'ardua sentenza.

Ciao

3.73205080756888

[> [> Re: La tubatura nascosta -- Federico Felizzi, 10:43:03 12/31/03 Wed [1]

Avevo fatto alla stessa maniera, soltanto mi ero limitato a minimizzare con metodi numerici, quindi il risultato era 3,732055363, che è un po' più grande di
3.73205080756888

Sull'autostrada si è formato un incolonnamento per lavori in corso. La coda al casello d'uscita è già piuttosto lunga, e tende ad allungarsi perché arriva da dietro un veicolo ogni 20 secondi e in testa esce dal casello solo un'auto ogni minuto.
Alle ore 10,00 Carlo arriva con la sua auto e trova la coda. Sapendo che alle 9,30 la coda era già lunga 1 km e mezzo e che in media un autoveicolo occupa sei metri (compreso lo spazio tra un mezzo e l'altro), a che ora Carlo riuscirà a uscire dal casello?

Sprmnt21
Si potrebbe procedere cosi:

si osservi che l'espressione da scomporre e' uguale (a parte il valore x=1) a (x^5-1)/(x-1).
Quindi possiamo pensare di comporre le 4 radici-quinte dell'unita' (escludendo la x=1, appunto) in modo tale da avere dei valori reali.

Le radici di x^4+x^3+x^2+x+1 = 0 corrispondo a 4 dei vertici del pentagono con centro nell'origine degli assi e un vertice sull'asse x.

I numeri complessi corrispondenti a questi vertici in ordine antiorario, sono :

z1=x1+jy1, z2=x2+jy2, z2*=x2-jy2, z1*=x1-jy1.

Quindi x^4+x^3+x^2+x+1 = (x-z1)(x-z1*)(x-z2)(x-z2*)=
(x^2-(z1+z1*)x+|z1|^2)(x^2-(z2+z2*)x+|z2|^2)=
(x^2-2x1x+|z1|^2)(x^2-2x2x+|z2|^2).

E' possibile determinare esplicitamente i valori di z1 e z2, senza usare frmule trigonometriche, ragionare su opportuni traingoli isosceli [c'e' di mezzo il rapporto aureo]. Ma non so se vale la pena se questa e' la soluzione cercata.

Babbonatale
Ti riporto la soluzione così come l'ho trovata nel sacco dei regali natalizi (chissà come c'è finita).

Essendo uguali ad 1 il coefficiente di x^4 ed il termine noto, proviamo con due fattori del tipo (x^2 + ax + 1) e (x^2 + bx + 1).

(x^2+ax+1)(x^2+bx+1) = x^4+(a+b)x^3+(ab+2)x^2+(a+b)x+1

dovrà quindi essere

a+b=1
ab+2=1

Risolvendo il sistema

a= (1-sqr5)/2
b= (1+sqr5)/2

e

b= (1-sqr5)/2
a= (1+sqr5)/2

In definitiva

x^4+x^3+x^2+x+1= [x^2+x(1+sqr5)/2+1][ x^2+x(1-sqr5)/2+1]

Complimenti per il tuo originale approccio al problema....anche tu meriti un regalino: un fucilino col tappo di sughero che fa il botto.

Auguri per il prossimo anno 167*3*2*2

Col solo aiuto di una normale calcolatrice tascabile, calcolare 1234^1234 con 5 cifre significative

Infinito, Pasquale
Esempio con una calcolatrice da 8 cifre:
1,234 - moltiplicato - uguale per 10 volte - moltiplicato - uguale per 6 volte - diviso 10.000.000 - moltiplicato -
uguale per 15 volte - memoria più - 1234 - moltiplicato - uguale - moltiplicato - richiamo memoria - uguale.
Appare 4818334,9, che moltiplicato per 10^3808 equivale approssimativamente a 1234^1234.

Nota: moltiplicato, uguale, memoria più, richiamo memoria, sono ripettivamente i tasti x, =, M+, MR della calcolatrice, da premere i numeri indicati di volte.

Ecco come fare per sapere, con il programma BASIC giapponese, che la millesima cifra di 1234^1234 è il 6:

LET a=(1.234^77/10000000)^16*1234^2*10^1000
LET a$=str$(a)
LET lu=len(a$)
'print a
'print lu
print mid$(a$,1000,1)
END

Mediante due ruote dentate si vuole ridurre di un fattore sqr(3) la velocità angolare di un asse. Potendo realizzare ruote con al massimo 100 denti, qual è il numero ottimale di denti di ciascuna ruota?

Salve a tutti e fate i bravi

>>> Risposte & riflessioni

Marco
hem io userei un rapportino 71-41.
dite che il Tourmalet lo si scala?

Babbonatale
sqr(3)= 1.73205080756888
71/41 = 1.73170731707317
Sicuro che non si può fare di meglio?

Marco
Gia' non ho contato quelli appena sopra:)
97 e 56..
1,7321428...non Male!
PS vorrei tanto una automobilina!

Babbonatale
Quelle rosse col cavallino le ho terminate: m'è rimasto un camioncino a corda carico di buone caramelle, però devi fare il bravo.

Arrisentirci il prossimo anno

Provate questo:
G
---
1
Poi modificate il colore della "G" in rosso.
Sol 3, 6, 10. PS: anche questo l'ho visto su un vecchio Focus ma l'ho modificato perchè la soluzione non mi pareva corretta.

Titolo del gioco: rebus dell'avvenire.
Scrivete in Word:

verosimile

modificate l'altezza della sola lettera "r" raddoppiando il valore.
Il gioco consiste nel risolvere questa specie di rebus senza figure!

Paolo P.
Ho trovato Focus dal barbiere !!!!! E ho sbirciato la soluzione.
Secondo me c' è un vizio di fondo.
Attenderei i commenti dei VERI enigmisti, quelli che tempo fa proponevano (e risolvevano) crittografie, ma non mi sembra bello che nella soluzione ci sia (più o meno) la stessa parola del testo, con lo stesso significato.

F.
No, il genere è molto bello, ma per ora non sono ancora riuscita a risolverlo...
L'unica cosa che mi è venuta in mente è che la seconda parola potrebbe essere

in verosimile-> INVEROSIMILE

Per la prima ancora non sono arrivata a una soluzione... è importante che l'altezza sia proprio doppia? Avevo pensato a qualcosa tipo

alta R è in verosimile -> ALTARE INVEROSIMILE

ma non ha molto senso.... comunque ci penserò, promesso! ;)

F.
Un momento... e se fosse:

R è alta in verosimile -> REALTA' INVEROSIMILE

che dite, può essere? (Ha di sicuro più senso della soluzione di prima...)

Sul numero di febbraio di Focus, ho letto di una divertente richiesta di esenzione dal servizio militare dal titolo "Io sono mio nonno", che riprende il tema di una vecchia commedia napoletana di Giovanni Rescigno dal titolo "Perché papà è mio figlio", recitata anche dal grande Eduardo.

Riassumo brevemente, con qualche semplificazione:

Un giovane, orfano di madre, sposa una vedova che ha già una figlia, la quale a sua volta sposa il padre del giovane.
La figlia della vedova, che nel frattempo è divenuta figlia del giovane, ha un bambino che diventa il nipote del giovane, essendo figlio della figlia.
Il padre del giovane, che è padre del nipote del giovane, diventa figlio del giovane e quindi il giovane si ritrova nonno di sé stesso.

Dando per buoni tutti gli assunti e deduzioni, come si chiama il giovane in questione?

Ho una tubatura sotto la spiaggia che perde e crea una macchia perfettamente circolare di raggio un metro. Peró non so assolutamente la posizione della tubatura, nel senso che so solo che deve toccare per forza la macchia, ma non so se sia tangente, quale inclinazione abbia, se passi per il centro e quant'altro. Ovviamente é parallela al terreno. Adesso, se scavassi lungo la circonferenza riuscirei ad intercettare la tubatura, ma se volessi far prima esisterebbero degli scavi migliori. Considerando la circonferenza uno scavo del 100 %, sapreste trovare uno scavo migliore? Io sono arrivato al 79,2 %, chi di voi sa far meglio?

Pasquale
Ho trovato il programma di calcolo che avevo fatto a suo tempo in base alla soluzione di Sprmnt21, con il seguente risultato, che risultò il migliore su un percorso a forma di ombrello:

lunghezza totale: 4,81892653213272 di cui:

Arco di circonferenza (in radianti)= 2,51892898965000
Alette laterali = 1.49967835814548
Manico dell'ombrello = .80031918433724

Ciao

Pasquale
Il disegno era così:

Sul piano cartesiano tracciare una circonferenza di raggio 1 con centro nell'origine O degli assi.
Disegnare un raggio nel primo quadrante con angolo di circa 60° rispetto all'asse positivo delle ordinate: tale angolo è x. Nel punto P in cui tale raggio interseca la circonferenza, tracciare la tangente, sviluppandola in basso a destra.
Tracciare un altro raggio con angolo negativo rispetto all'asse positivo delle ascisse di circa 30°: l'angolo fra questo ed il precedente raggio è y e Q è il punto di intersezione con la suddetta tangente.
Da Q tracciare l'altra tangente alla circonferenza, che interseca l'asse negativo delle ordinate in K.
Da Q tracciare la parallela all'asse delle ascisse, che interseca l'asse delle ordinate in H.
Sia A il punto di intersezione della circonferenza con l'asse positivo delle ordinate.
Sviluppare la figura così ottenuta in modo simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.
Il percorso che intercetta la tubazione, da minimizzare, è dato dalla somma dell'arco AP, preso 2 volte, del segmento PQ, preso 2 volte, e del segmento HK.
Tale somma è rappresentata da una delle seguenti espressioni equivalenti:

2*x + 2*tan(y) + cos(x + y)/cos(y) - 1/cos(x + 2*y)
2*x + 2*tan(y) + cos(x +2 *y - pi/2)*(tan(y) + tan(pi - x - 2*y))

Facendo variare l'angolo x fino ad un massimo di pi/2 e facendo variare l'angolo y in corrispondenza ad ogni valore di x, in modo tale che la somma geometrica di x+y sia maggiore di pi/4 (altrimenti non si determina l'intersezione K), ma non superi 3*pi/4, si trova la somma minima per:

x= 1,259464494825
y=0,64339817545436

Detta somma è 4,81892653213272 e rappresenta il valore più piccolo possibile per la conformazione ad ombrello con 2 segmenti separati, ma non è detto che non esistano altre soluzioni migliori con un disegno diverso.
Infatti, sul n.57 di Rudy Mathematici, da cui Desmatron aveva importato il problema, è possibile trovare una soluzione a 3 segmenti che porta il totale del percorso a 4,7997..., nonchè la soluzione di ChiQua uguale a quella di Sprmnt21.

Ciao

Siano a>b>c>d interi positivi ed ac + bd = (b+d+a-c)(b+d-a+c)

Dimostrare che (ab + cd) non è un primo.

Gianfranco Bo
Questo non è propriamente un problema di matematica ricreativa, però bisogna risolverlo.
Il senso della sfida chiama soprattutto chi ama i numeri.

Primo punto: visto che il problema chiede qualcosa a riguardo di (ab + cd), la prima cosa da fare è ricavare proprio (ab + cd) dall'espressione data.
Gli strumenti da utilizzare sono quelli dell'algebra di prima liceo.

Ma da qui, ricavare (ab + cd) mi è sembrata dura.
Dopo aver sprecato alcuni fogli di quaderno in tentativi stupidi e inutili, sono arrivato a moltiplicare entrambi i membri per -(ac + bd).

E ora il colpo di coda del Matematico: ricordate l'uguaglianza 3)?
Me la gioco qui ed ora! Con una banale sostituzione

Confesso: ho ricavato (ab + cd) ma non sono riuscito a giungere ad alcuna conclusione (altre pagine di calcoli scemi).
Se bucando in un posto non trovi niente, A VOLTE è utile fare un buco in un altro posto.
Perciò ho ricavato (b² + d² + bd).

Per come si presenta il problema, la frazione deve essere un numero intero positivo.
Ora, per dimostrare che un numero NON è primo bisogna dimostrare che ha almeno un fattore diverso dall'unità e dal numero stesso.

In matematica spesso accade di esporre le cose in senso inverso rispetto a come si sono trovate.
Anticipo perciò alcuni risultati che ho dovuto trovare in seguito e che mi hanno fatto ingallinare.
Bisogna mettere in ordine i tre numeri interi:
(ab + cd), (ad + bc), (ac + bd)

Confrontiamo
(ab + cd), (ad + bc)
Per scoprire qual è il maggiore, sottraiamoli:
ab + cd - ad - bc = (b - d)(a - c) > 0 perché b>d e a>c
Dunque (ab + cd) > (ad + bc)

Confrontiamo
(ad + bc), (ac + bd)
Con lo stesso procedimento si dimostra che:
(ac + bd) > (ad + bc)

Confrontiamo
(ab + cd), (ac + bd)
Con lo stesso procedimento si dimostra che:
(ab + cd) > (ac + bd)

Tutte queste lettere mi fanno girare la testa.
Facciamo qualche sostituzione:
(b² + d² + bd) = M
(ab + cd) = P
(ad + bc) = Q
(ac + bd) = N

E dobbiamo dimostrare che P non è primo. Cioè che P ha almeno un fattore diverso dall'unità e da P stesso.

Ricordando che P>N, in entrambi i casi è dimostrato che P ha un divisore diverso dall'unità e da P stesso.

Ringrazio tutti gli amici di BASE Cinque per gli auguri che contraccambio di cuore.
Riporto qui sotto le bellissime (e laboriosissime) opere di ASCII-ARTE che ho ricevuto

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Pasquale

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Anonimo

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Anonimo

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Bosque

UN AUGURIO...BENDAZZIANO

Auguro a te per il principio d'anno
tutti i beni dall'uomo più bramati
ogni sollecitudine ed affanno
da casa tua sian sempre allontanati
una vita fra triboli penante
nemmeno immaginar possa il tuo core
auguro a te fino al supremo istante
pace felicità ricchezza onore
e dell'inferno nell'orrendo fuoco
giammai ti lasci penetrare il fato
ti si prepari fin d'adesso il loco
degli angeli nel regno alto e beato
e fame e sete e peste e caldo e gelo
trovi presso di te chiusa l'entrata
a larga mano ti conceda il cielo
ogni cosa da te desiderata
sia maledetto qual infame e muoia
chi non ti da sollievo nel dolore
chi alla tua vita apporterà una gioia
dall'uom sia benedetto e dal Signore
temano ognor l'ira fatal dei numi
color che cercheran farti del male
color che amici volgeranti i lumi
opra grande faranno ed immortale
che tu non abbia mai un sol momento
morbi discordie e ogni altra traversia
la salute l'onore ed il contento
ti facciano costante compagnia
fortuna e favorevole destino
si presentino presto alle tue porte
restino lungi ognor dal tuo cammino
le braccia spaventose della morte.

da "Bizzarrie Letterarie" di Don Anacleto Bendazzi, Ravenna 1951
---
N.B.
Fate attenzione!Non "manipolate" i suddetti versi,perchè Don Anacleto era un formidabile burlone!Infatti gli stessi opportunamente disposti diventano un terribile scherzo...da preti.

Mi associo alla buonanima di "Oca Lenta" (Analeto) e vi AUGURO un

FELICE, SERENO, PROSPERO ecc.ecc.

BUON 2004

Un saludo muy especial para Gianfranco que hace las veces de dueño de casa y que tiene la paciencia y la fuerza para mantener en vilo un sitio tan interesante y elástico como es este. Felicidades Gianfranco y que tengas junto a tus buenos, inteligentes, animosos cola(bo)radores un año próximo bueno-bueno-bueno...

Un saludo aparte para aquellos que veo aparecer a diario en este foro: Pasquale, Massimo, Marco, Infinito y a uno muy joven que ama la Matemática pero le cuesta. joven "adimparare".
Esperemos que este mundo siga siendo habitable y no se rompa en pedazos por la decisión de unos poderosos...

ciao a tutti

bosque