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Ricreazioni luglio-dicembre 2004

I problemi più rapidi discussi al Forum di BASE Cinque
o inviati per posta elettronica

Giunti alla 401-esima ricreazione, ho deciso di terminare la manutenzione di queste pagine.
D'ora in poi tutti i problemi saranno discussi nel Forum e i più significativi diventeranno pagine del sito o saranno inseriti in pagine già presenti sul sito.
Come ultimo enigma ho scelto quello di Enrico Delfini perché mi che stia bene in fondo e nello stesso tempo in testa a tutti gli altri.
Probabilmente non avrà risposta, almeno nell'ambito della nostra civiltà.
Naturalmente 401 è un numero primo.

401. Perchè?
di Enrico Delfini

Date Posted: 10/08/04 18:47
Author: ED
Subject: perchè?

1234567891 è primo
1234567891234567891234567891 è primo
12345678901234567891 è primo (sì, con uno zero in mezzo).
E basta....
non vi pare strana una simile occasione sprecata!
Perchè, perchè, perchè i numeri primi fanno sempre quello che vogliono loro e non si piegano mai al nostro modo di pensare?
Forse (sicuramente) anche in ciò sta il loro perverso fascino.

>>> Risposte & riflessioni

E come penultimo enigma ne ho scelto uno sulla probabilità, che ha avuto una discussione lunghissima.

400. Estrazioni
di Stel

Una domanda forse sciocca per molti ma che va apparentemente contro il senso comune (basta guardare il film 'rosencrantz e guildestern sono morti' per rendersene conto):
la possibilita' che esca testa o croce e' del 50% ad ogni lancio. Ma la possibilità che dopo un milione di lanci in cui e' uscita testa, esca ancora testa non è inferiore?
Immagino che la risposta sia negativa (la probabilità resta al 50%) ma allora mi chiedo: quando si gioca al lotto, puntare sui numeri ritardatari che vantaggio ha? In fondo la possibilità che siano estratti e' sempre la stessa...

>>> Risposte & riflessioni

Riporto tutta la discussione Replies: [> Re: etrazioni -- Massimo, 6/08/04 18:50 [1] Esatto, è solo un modo che certa gente truffaldina spaccia combinazioni apparentemente più vantaggiose di altre. Penso che se si organizzi una sorta di lotto virtuale quì sul forum con tutte le combinazioni che ti dicono di giocare almeno un ambetto lo facciamo [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: etrazioni -- Pasquale, 7/08/04 0:42 [1] C'è stato un periodo in cui studiavo queste cose per pura curiosità. Una volta ho osservato che la distribuzione dei ritardi segue un pochino la campana di Gauss, nel senso che è più raro che un numero appena sortito venga nuovamente estratto subito, meno raro se passa qualche settimana, nuovamente raro se passano molte settimane, ancora più raro se le settimane sono moltissime e sempre più raro per ritardi ancora maggiori: però, in teoria, non c'è un limite al ritardo ed una cosa è il calcolo delle probabilità di alcuni eventi, altra l'osservazione statistica che si riferisce a dati poco rappresentativi per la verifica della teoria. Quando un numero ritarda, non si sa per quanto tempo lo farà, per cui giocare un numero ritardatario è più rischioso di altro gioco: se il numero ritarda, può darsi che sia canditato a divenire un super-ritardatario; può darsi che questa volta ce la fa a ritardare 1000 settimane, o 2000 (non è mai accaduto finora, ma non vuol dire nulla). Meglio differenziare il rischio, giocando più di un numero, tutti scelti a caso: meglio ancora non giocare affatto per vincere quello che non si perde, dal momento che il gioco è sfavorevole per gli scarsi rendimenti;la vincita non viene pagata in proporzione al rischio e quindi l'ambata viene pagata 11 volte invece di 18, l'ambo 250 volte invece di 4005, etc. A questa conclusione (non doversi giocare) addivenni dopo aver tanto studiato (dico tanto, perché come spesso avviene, nonostante l'evidenza, cercavo una soluzione inesistente): alfine mi convinsi che non bisognava farsi turlupinare, anche se in fondo il lotto (dopo la roulette) è il gioco meno disonesto, perché se guardiamo al superenalotto, i numeri in gioco sono tali che non vince mai nessuno (il fortunato che ogni tanto vince rappresenta una percentuale così bassa rispetto al totale, che è assimilabile allo zero); si dirà che tuttavia esiste e su questo gioca la propaganda, ma viene mai detto quanti sono quelli che non vincono un tubo? Se continuate ad intestardirvi, allora vi suggerisco di giocare per due settimane 4 numeri a caso per ambo su tutte, quindi cambiare i numeri e andare avanti per altre due settimane: aumentare la puntata ogni volta di 1/3 rispetto alla puntata precedente. Puntare comunque poco,o giocare per finta, perché c'è sempre la ritardata vincita, la serie nera che ti frega (ho osservato anche 16/20 settimane): questo tipo di gioco dà il 25% di probabilità di vincita sulle 2 settimane (calcolata a priori) e rende 4 volte la puntata. Chi al lotto vuole divertirsi, può farlo, ma deve accontentarsi di poco. Per esempio, si possono giocare, puntando il minimo, 10 numeri per ambo su tutte le ruote: si vince 0,53 volte la puntata, ma se si azzeccano due ambi si recupera la puntata e si vince 0,6 volte la puntata (con la puntata di un euro 60 centesimi, che bisogna pretendere, così il tabaccaio s'incavola pure). Se vinci un solo ambo, in vece di perdere 1 euro intero, recuperi 53 centesimi (meglio che niente): se non fai niente, hai perso 1 euro e ti sei divertito lo stesso. Tanto il gioco non ha mai fatto ricco nessuno: anche quelli che hanno fatto grosse vincite, risulta che abbiano fatto una brutta fine. Ciao Ciao [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: etrazioni -- Infinito, 7/08/04 3:22 [1] Ciao Stel, 1°) Condivido quanto detto da Pasquale sulla convenienza di non giocare. 2°) Non condivido quanto detto per vincere (poco) sulla grande distanza: il gioco del lotto (o della roulotte, della lotteria, ecc.) permette di perdere poco " quasi" sicuramente, ma con la possibilità molto remota di vincere tanto, invece il metodo di Pasquale permettere di vincere poco "quasi" sicuramente, ma con la possibilità molto remota di perdere moltissimo. Consiglio quindi molta attenzione. 3°) Il quesito mi fa venire in mente uno dei pochissimi problemi a cui persone diverse danno risposte diverse, e parlo anche, se non soprattutto, di insegnanti di matematica! Non so le lo ho già postato, ma nel dubbio lo ripropongo. «Tizio lancia 100 volte una moneta e 100 volte gli viene testa. Qual è la "VERA " probabilità che gli venga testa al 101° lancio?» Io resto allibito quando altri colleghi rispondono diversamente e non "capiscono" le mie argomentazioni, ma devo dire che sono più dell?80% (dico 80% per sicurezza, ma penso che siano molti di più) ... . Prima di rispondere però consiglio di riguardarsi "le" definizioni di probabilità. Infinito. [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: etrazioni -- Alex, 7/08/04 16:32 [1] Risposta: Se lanciando 100 volte la moneta, è sempre caduta dallo stesso lato, occorre considerare la possibilità che la moneta non abbia una distribuzione uniforme del peso; e pertanto pesando maggiormente dal lato croce, tenda a cadere con il lato testa rivolto verso l'alto. Se invece siamo sicuri che la moneta non è truccata, allora la probabilità che venga testa è sempre del 50%, in quanto ogni lancio risulta indipendente dai lanci precedenti. Ciao [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: etrazioni -- Infinito, 8/08/04 2:31 [1] Scusa, ma non credo che sia pignoleria: alla domanda che ho fatto non hai risposto (o almeno non ho capito la risposta). [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: etrazioni -- Alex, 8/08/04 19:21 [1] La mia risposta è che se non conosciamo a priori che ogni lancio ha probabilità del 50%, allora dobbiamo ritenere che: 1) o la moneta è truccata 2) o Tizio bara volontariamente 3) o Tizio non sa lanciare e quindi bara involontariamente Per cui se non siamo certi a priori che il lancio sia onesto, la probabilità che venga testa anche al 101 lancio è molto vicina al 100% Ciao [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: etrazioni -- Alex, 8/08/04 20:13 [1] Siccome so che non mi so esprimere in modo chiaro, cerco di spiegarmi ancora meglio: Siccome nel problema non c'è alcun vincolo che mi dica che il lancio debba essere onesto, devo ritenere che possa anche non esserlo; pertanto la probabilità che venga testa anche al 101 lancio risulta essere vicina al 100% Ciao P.S. So di avere delle difficoltà nel comunicare agli altri quanto ho in mente, questo problema di comunicazione mi ha creato dei problemi anche negli esami universitari. Risento di questo mio problema anche nelle discussioni sul Forum, ad esempio: non sono riuscito ad interessare nessuno ad approfondire il problema delle "caramelle", nonostante le proprietà interessanti da me trovate ed inserite nella discussione "Bambini e caramelle"; la proprietà più interessante l'ho inserita l'altro ieri. L'unico che ha partecipato alla discussione è stato Gianfranco Bo per darmi una risposta di cui lo ringrazio; ma io speravo che qualcuno mi aiutasse ad approfondire lo studio del problema, purtroppo nonostante la bellezza del problema che ho a disposizione non riesco ad interessare nessuno. Ciao [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: etrazioni -- Gianfranco Bo, 9/08/04 0:46 [1] Ciao Stel, Massimo, Pasquale, Infinito, Alex,... Sono perfettamente d'accordo con quanto detto da Pasquale e da Infinito. Vorrei aggiungere che molto tempo fa, per pura curiosità avevo fatto un programma di simulazione delle estrazioni del lotto, con tanto di giocate, totale spese e totale vincite. Avevo inserito le più svariate strategie di gioco: un macello! Si va sempre in ROVINA!!! Ve lo garantisco. Qualunque strategia equivale a giocare a caso. Però, c'era una teoria che convinceva la mia mente giovane e offuscata: la puntata incrementale sul numero singolo. Punto 10 per incassare 100 (10 volte la puntata) Se perdo, la prossima volta punto 11, così incasso 110, rifacendomi della puntata precedente. E così via, ogni volta punto il 10% in più della puntata precedente così quando uscirà il numero mi rifarò di tutte le puntate precedenti e in più incasserò 100. E' una ROVINA TOTALE! A parte il fatto che il computer in pochi secondi simula le estrazioni di 1000 anni, l'incremento sembra piccolo, ma è esponenziale e arriva facilmente a cifre impossibili che nessuno ha, per vincite che il lotto non paga. A volte persino il computer andava in OVERFLOW! E se qualcuno avesse quelle cifre non giocherebbe al lotto per guadagnare 100. Conclusione: se PROPRIO vi piace il GIOCO del lotto giocatevi i numeri ricavati da un sogno, giocatevi la vostra data di nascita, giocate il minimo della puntata su un terno secco, una quaterna, una cinquina. Queste giocate hanno la stessa probabilità di quelle dei "METODI SCIENTIFICI", anzi, SE nel cosmo esistessero veramente delle energie informative paranormali, la probabilità potrebbe anche essere maggiore. Non si sa mai... Una delle affermazioni più demenziali (e forse più vere) che ho sentito dire in TV da un ESPERTO DI METODI per il lotto è la seguente: "Con il mio METODO non vi porto a giocare sui numeri ritardatari, come fanno tutti gli altri. Se un numero è RITARDATARIO, come dice la parola stessa, chissà quando uscirà!" -------- A proposito di TESTA e CROCE, recentemente ha fatto molto rumore una ricerca di PERSI DIACONIS secondo la quale, lanciando una moneta NON TRUCCATA, la probabiltà che caschi dallo stesso lato dal quale è stata lanciata è leggermente superiore al 50% Se vi interessa cercate "persi diaconis" coin flip con Google. ------------ Per Alex Per quel che mi riguarda posso dirti che sai comunicare e che ho apprezzato molto le tue ulteriori domande sul problema delle caramelle. Se nessuno ha risposto probabilmente è perché le domande che hai postosono veramente difficili e richiedono molto tempo, molto studio e forse nessuno ha ancora trovato le risposte. Francesco Veneziano comunque mi ha inviato una bella dimostrazione del primo problema, che ho inserito nel sito. Mi sembra giusto precisare che questo è il 4° problema dell'APMO 1991 1991 Asian Pacific Mathematical Olympiad 4. During a break, n children at school sit in a circle around their teacher to play a game. The teacher walks clockwise close to the children and hands out candies to some of them according to the following rule. He selects one child and gives him a candy, then he skips the next child and gives a candy to the next one, then he skips 2 and gives a candy to the next one, then he skips 3, and so on. Determine the values of n for which eventually, perhaps after many rounds, all children will have at least one candy each. Gianfranco Bo [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: etrazioni -- Tino, 9/08/04 2:13 [1] Avete trovato la persona giusta! Non ho mai giocato numeri in vita mia, forse in rispetto alla mia indole matematica, perché dentro di me c'è una parte che crede nello studio delle probabilità e che mi dice, per esempio, che se un numero è ritardatario non vuol dire niente. Certo, questa parte non è a livello conscio, perché in genere fatico a capire e risolvere i problemi di probabilità.. Confermo il fatto che il problema delle caramelle è molto interessante ma non facile (almeno per me), e il motivo principale è che non riesco a trovare un ragionamento lineare che mi includa tutti i casi. Ovviamente però non mi arrendo.. Ciao. [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: etrazioni -- Infinito, 9/08/04 4:48 [1] Intanto ringrazio Alex per la risposta al problema della moneta. per ora è stato l'unico che vi ha risposto. Ho detto che è un problema a cui la maggioranza dei colleghi da una risposta diversa dalla mia (e, generalmente, non è interessata a discuterne ...), per cui prima di commentare la sua risposta aspetto di vedere se ce ne sono altre. Comunque per ora la sua risposta alla domanda è chiara: la probabilità è vicina ad 1 (cioè al 100%). Anche a me pare di non vedere problemi di chiarezza (se sei dacordo che la prima volta davvero non avevi risposto). Riguardo il problema delle caramelle può darsi che tu non sia riuscito ad interessarmi, ma questo genere di problemi in genere non mi affascina e li leggo superficialmente. Comunque credo di sapere bene che cosa significa postare argomenti ingtertessantissimi ed avere pochissime risposte. L'anno scorso ho discusso accoratamente sulla potenza "0°" e sul modo di trovare numeri "grandissimi": nonostante a me ed anche ai ragazzi a cui ne ho parlato direttamente) siano sembrati argomenti davvero interessanti pochissimi nel forum vi hanno partecipato. Infinito. [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: etrazioni -- Cesarone, 9/08/04 11:37 [1] Do la mia risposta, al quesito. «Tizio lancia 100 volte una moneta e 100 volte gli viene testa. Qual è la "VERA " probabilità che gli venga testa al 101° lancio?» La prima frase è un dato inutile, perchè: 1) la moneta non ha memoria 2) non posso determinare la maggior facilità che ha la moneta a cadere dal lato croce, da un dato statistico La seconda frase non è chiara, perchè il concetto di VERA probabilità non è definito. L'unica cosa che si può dire a riguardo è che al 101° lancio la probabilità che venga CROCE non è del 100%. Ovvero che la moneta non è truccata in modo tale da far venire sempre croce, perchè almeno una volta è venuta TESTA. [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> [> Re: etrazioni -- Marco, 9/08/04 12:24 [1] Secondo me sempre del 50%. Ciao Marco [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: etrazioni -- Gianfranco Bo, 9/08/04 13:39 [1] Ciao Infinito, Se la tua domanda era questa: «Tizio lancia 100 volte una moneta e 100 volte gli viene testa. Qual è la "VERA " probabilità che gli venga testa al 101° lancio?» io credo di avere un po' risposto, facendo un rimando alle ricerche di Persi Diaconis. Comunque aggiungo qualcosa. a) Non so qual è la "VERA" probabilità perché non so quale significato attribuire alla parola "VERA". E anche perché ci sono diverse definizioni di probabilità. b) Se prendiamo la definizione "classica": P=(n. casi favorevoli)/(n. casi possibili) stabiliti A PRIORI allora la probabilità è 1/2. c) Se prendiamo la definizione "statistica" di probabilità: P=(n. eventi favorevoli)/(n. prove effettivamente fatte) allora la probabilità è 1. d)Se prendiamo la definizione "soggettiva" di probabilità: P=grado di certezza dell'osservatore allora la probabilità tende a 1 (Ho preso queste 3 definizioni dal testo B.V.Gnedenko, Teoria della probabilità, Edizioni Mir, Moskow, 1979) e) Se consideriamo le ricerche di Persi Diaconis, allora la probabilità non dipende solo dalla moneta ma come minimo da tutto il sistema LANCIATORE+MONETA+SUPERFICIE SU CUI CADE LA MONETA. In questo caso, la definizione classica, mi sembra, non è applicabile perché è troppo difficile (e forse impossibile) stabilire A PRIORI il numero dei casi favorevoli e di quelli possibili. E' applicabile invece la definizione statistica. In conclusione, la mia risposta alla domanda è: la probabilità è vicina a 1. Bisognerebbe aggiungere un test di attendibilità (chi quadro, Student, o altro) ma su questo argomento so ben poco. Aggiungo ancora una riflessione: FORSE la definizione "classica" di probabilità è applicabile solo in casi tipo "estrazione di una pallina da un'urna" "estrazione di una carta da gioco". Gianfranco [ Post a Reply to This Message ][Edit] [>  Re: estrazioni -- Massimo, 9/08/04 20:17 [1] Volevo chiedere una cosa a Gianfranco: ma la definizione classica non nasce dalla definizione statistica? Mi spiego meglio: il numero di eventi favorevoli rispetto al numero di eventi possibili è una definizione piuttosto irrealistica in quanto una moneta anche se "onesta" avrà come già accennato un peso da una parte maggiore, o altre imperfezioni. Fatto sta che, per me, la vera giusta probabilità è quella statistica (tra l'altro coincidente con la definizione "e"...). Che una moneta dia testa al 50% è forse da considerarsi come un'approssimazione, anzi dato che non si conosce se la "variabile incertezza" penderà dalla parte della testa o della croce (ad es si potrebbe aver vome valori 51% e 49% rispettivamente oppure 49% e 51%...), allora non ci si pone nemmeno molta preoccupazione sulla questione dato che la "variabile incertezza" è solitamente incognita. Detto questo se dopo 1.000.000 di lanci la moneta cade sempre sullo stesso lato le cose sono 2: a)è tutta una coincidenza (2^-1.000.000 di probabilità che riproponiate un'evento simile!). In realtà la moneta è cmq "relativamente equilibrata" (ossia non ci aspetteremo 50% e 50%, ma il dato ad essa relativo sarà poco discosto da questo). Allora il dato ottenuto sull'1.000.000 di eventi già effettuati vi ha tradito! Il limite di n° di eventi che tende ad infinito "non s'è accontentato" di 1.000.000 di casi per riprodurre la reale probabilità della moneta. b)le indagini parlano chiaro 1.000.000 di eventi tutti favorevoli su 1.000.000 di eventi possibili dimostra che il sistema "lanciatore, tavolo da gioco, moneta" per un motivo o per l'altro fornisce sempre la stessa faccia della moneta. Come fare per capire se il disequilibrio è da imputare alla moneta? Basterà cambiare gli elementi in gioco del sistema. [...] Ciao [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: etrazioni -- Alex, 9/08/04 23:00 [1] Ringrazio Gianfranco Bo, Tino ed Infinito per la comprensione dimostratami. Ed ora aspettiamo il “fuso orario” di Infinito, affinché ci dia la sua risposta al quesito che ci ha proposto. Ciao a tutti. [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: etrazioni -- Gianfranco Bo, 9/08/04 23:59 [1] Ciao Massimo, Rispondo ad una delle tue domande, ma prima ti dico che sono d'accordo con te, quando dici: "la vera giusta probabilità è quella statistica" NEL SENSO che questa definizione ha un gran numero di applicazioni pratiche, reali e utili. "Volevo chiedere una cosa a Gianfranco: ma la definizione classica non nasce dalla definizione statistica?" Dal punto di vista matematico, le due definizioni di probabilità, "classica" e "statistica" mi sembrano molto diverse, anche se c'è qualche analogia. E comunque la prima non deriva dalla seconda, casomai è il contrario. Anche storicamente si sono sviluppate in contesti diversi. Cerco di spiegarmi. La definizione classica si può applicare SOLO a quei casi in cui posso determinare A PRIORI (cioè prima di aver fatto delle prove e senza farne) quanti sono i casi favorevoli e quanti sono quelli possibili. Questo si applica a molti giochi d'azzardo ad esempio estrazioni di bussolotti, distribuzione di carte da gioco, etc. Si applica anche a certe situazioni in cui intervengono delle leggi fisiche ma si suppone la simmetria degli oggetti in gioco. Ad esempio lancio della moneta, lancio del dado. In tutti questi casi ovviamente il pressupposto è che non ci siano trucchi di nessun tipo e che gli oggetti siano perfettamente simmetrici. Se queste condizioni sono rispettate, i risultati della probabilità statistica tendono a quelli della probabilità classica. La teoria della probabilità classica sembra essere per l'appunto nata per trovare strategie ottimali nei giochi d'azzardo. Se usciamo appena fuori da questi semplici problemi, la probabilità classica non ci è più di aiuto. Dottore, l'operazione riuscirà? Sarò eletto? Quanti italiani scaricheranno la suoneria "Nando in Congo"? In questi casi NON si può stabilire A PRIORI quanti sono i casi possibili e quanti sono quelli favorevoli. Si devono acquisire dei dati e si può applicare la definizione statistica o empirica di probabilità. Eccoti una definizione che ho preso dalla rete. La definizione di probabilità empirica è dovuta largamente a R. Von Mises ed è la definizione sperimentale di probabilità come limite della frequenza misurabile in una serie di esperimenti. Essa ricalca lo schema della definizione classica, introducendo però un'importante variazione: sostituisce al rapporto numero casi favorevoli / numero di casi possibili il rapporto numero di esperimenti effettuati con esito favorevole / numero complessivo di esperimenti effettuati. Il vantaggio di questa modifica è che questa definizione si applica senza difficoltà anche ai casi in cui la densità di probabilità non è uniforme, ovvero - per quanto rigurda esperimenti con risultati discreti - non è necessario specificare che i risultati debbano essere ugualmente possibili e mutuamente escludentesi. Vediamo allora come viene definita la probabilità empirica: la probabilità di un evento è il limite cui tende la frequenza relativa di successo all'aumentare del numero di prove. In pratica, se abbiamo un esperimento ripetuto m volte ed un certo risultato A che accade n volte, la probabilità di A è data dal limite della frequenza (n/m) quando m tende all'infinito Gianfranco [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: estrazioni -- Infinito, 10/08/04 4:27 [1] (Ho provato a spedire questo messaggio diverse volte, ma senza successo, ora provo ad inviarlo a rate. 1ª rata) Ciao, visto anche i solleciti e che il fuso orario è favorevole comincio a rispondere. Faccio presente (mi scuso?) che non ho letto quanto suggerito su «Persi Diaconis», anche perché non vi ho trovato quello che cercavo (e facendo cercare «"persi diaconis" coin flip» su google mi è arrivato un sito di magia ...). 1ª) Premetto che secondo me la complessità del concetto "probabilità" non è molto diversa da quella di "casuale", quindi, per chiarire meglio il concetto, evidenzierò molte inesattezze che avrei potuto lasciar perdere; (Tutto questo discorso in realtà serve per giustificare il mio dar torto a tutti: così ora posso essere implacabile.) 2ª) Sopra la definizione della probabilità classica è stata enunciata in modo incompleto: «P=(n. casi favorevoli)/(n. casi possibili) stabiliti A PRIORI». La definizione corretta (almeno secondo me, ma spesso quando ho assimilato bene un concetto, non riesco più a distinguere bene ciò che è ufficiale e ciò che ho interpretato io) per un evento a cui tale definizione si può applicare (cioè per gli eventi "finiti"), è invece: «La probabilità classica di un evento "e", scelto un insieme finito "P" di eventi possibili TUTTI UGUALMENTE POSSIBILI, E PER OGNUNO DEI QUALI SI POSSA DIRE SE È O NO FAVOREVOLE AD "e", è il rapporto "f/n ", dove "n" è il la cardinalità di P e f è il numero degli eventi di P favorevoli ad e». In realtà comunemente la enuncio nella classica forma «La probabilità classica di un evento "e", è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli ad "e" ed il numero di quelli possibili, supposti tutti ugualmente possibili» 3ª) La differenza è evidente: se eliminiamo il riferimento a «tutti ugualmente possibili» sia ha, per esempio, che la probabilità che «lanciando un dato si ottiene un "6"» è 2, infatti i casi possibili sono «che esca il "6"» e «che non esca il "6"». Allora nel nostro caso non è obbligatorio supporre che i casi possibili, cioè «esca testa» e «esca croce», siano ugualmente possibili. Anzi, non è mai automatico (salvo esplicita dichiarazione contraria, o se c?è un unico caso possibile), ma in questo caso, visto l?esito dei 100 lanci, il buon senso (e molto di più le altre definizioni di probabilità date sotto) consigliano di fare in modo ben diverso! Concludo questa analisi dicendo che non è affatto vero che «Se prendiamo la definizione "classica" ... allora la probabilità è 1/2», anzi: anche la teoria della probabilità classica è coerente con le altre definizioni che analizzo di seguito. 4ª) Anche la definizione della probabilità frequentista è stata enunciata in modo inesatto: «(n. eventi favorevoli)/(n. prove effettivamente fatte)» non è la probabilità, ma la frequenza. Secondo la teoria frequentista la probabilità di un evento è il limite della frequenza quando il numero delle prove fatte tende all?infinito. Io penso che "allegata" a questa definizione ci sia un assioma sulla "REALTA?", cioè una legge "fisica" che solitamente viene spacciata per "matematica" (e quindi che si può dare per scontata, senza bisogno di verifiche), cioè la legge dei grandi numeri: «Al tendere all?infinito del numero delle prove di un evento si ha che la sua frequenza tende alla probabilità frequentista dell?evento». Effettivamente sembra che sia una tautologia, ma si dà per scontato che tale limite esista, mentre non ne vedo motivi. Questo mi pare il problema più grave anche per la definizione della probabilità frequentista (niente mi garantisce che esista), ma secondo me il darlo per scontato genera anche uno stato di "smarrimento" nel filo logico delle intuizioni. Tale "assioma" resta comunque una legge fisica di notevolissimo interesse e ci permette di applicare le teorie della probabilità in moltissimi contesti. 5ª) Condivido il concetto che questa definizione "convince di più", e per la ragione detta sopra (alla 3ª risposta: supporre ugualmente possibili alcuni casi è molto soggettivo), ma questa definizione ha degli ovvi problemi (che chiarisco sotto), per cui sicuramente è sbagliato dire «la vera giusta probabilità è quella statistica». Dal punto di vista matematico (e quindi: "è vero che") se non si possono eseguire infinite prove (e plausibilmente neppure in questo caso, se ne mancano comunque infinite) sul valore effettivo del limite non si può dire quasi nulla (se non qualcosa di simile a quello che ha detto Cesarone). Valutare una frequenza particolare come "la probabilità dell?evento" è ovviamente completamente sbagliato. Valutare una frequenza calcolata su un grande numero di eventi come "sicuramente vicina" alla "probabilità dell?evento" è comunque insostenibile matematicamente, perché altrimenti potrei lanciare una volta una moneta e dire che la probabilità che venga testa è "vicina a 0" (oppure che è "vicina ad 1"): posso considerare che "1" sia un numero "grande", infatti che cosa significa che "un numero è grande"? Di fatto si possono fare molte affermazioni riguardo la probabilità frequentista, ma tutte in senso probabilistico (per esempio:«dalla teoria frequentista segue che la probabilità che la probabilità di "e" sia compresa fra 0,634 e 0,642 è maggiore di 0,97». Comunque in questo caso (100 lanci di una moneta) la probabilità che la probabilità di fare testa sia 0,5 (cioè del 50%) è davvero bassa: una sequenza "analoga" si ha ogni 2¹°° sequenze di 100 lanci. Quindi mi pare evidente che anche la teoria frequentista suggerisce che la VERA probabilità non sia 0,5, ma (se esiste) sia un numero vicino (o uguale?) ad "1". 6ª) Ma esiste davvero la "vera" probabilità? Beh, sicuramente la probabilità dipende da molti fattori e quella di uno non è necessariamente quella di un altro (esempio: due persone lanciano una moneta, poi uno dei due la guarda e l?altro no; ovviamente per uno la probabilità o è "0" o è "1", mentre per l?altro può non esserlo). Inoltre varia anche col tempo (stesso esempio: la probabilità prima di guardare e dopo aver guardato generalmente è diversa). Allora mi chiedo «possiamo parlare di "vera probabilità per una persona in un certo momento"?» Beh, mi accorgo che tale domanda suona molto stupida, ma oggettivamente credo che non lo sia. Intanto non vedo più contraddizioni evidenti; inoltre il significato dovrebbe essere del tipo «la probabilità più probabile dal punto di vista matematico (per esempio secondo le teorie classica e frequentista) con tutti i dati che ho a disposizione». Certo le cose non sono così semplici come forse ci piacerebbe, ma in questo contesto non mi pare il concetto meno chiaro. Comunque non mi sogno di difendere l?esistenza della «VERA probabilità», la parola "vera" serviva solo per evitare di rispondere in maniera automatica (e quindi palesemente falsa) «la probabilità è il 50%, perché lo dice la teoria classica; potrebbe venire anche 100000 volte a filo "testa", ma questo non significa nulla.» [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: estrazioni -- Infinito, 10/08/04 4:28 [1] (Seconda rata) 7ª) Ribadendo quanto ho scritto all?inizio della 5ª risposta, io considero che la definizione di probabilità che rispecchia meglio la realtà e che può applicarsi in situazioni più ampie possibili sia quella della teoria soggettiva: «La probabilità di un evento "e" è il grado di fiducia (cioè un numero p tale che 0 <= p <= 1) che un individuo coerente (cioè che conosce e sa applicare le teorie della probabilità) assegna al verificarsi di "e"». (È stato anche scritto che la probabilità soggettiva «tende a 1». Anche questo è inesatto: la probabilità È un numero, non "tende".) 8ª) A questo punto su questa definizione mi pare che ci sia poco da aggiungere: è così soggettiva che si trovano con difficoltà cose possibili contraddizioni. D'altronde è vero che ognuno pensa quello che ritiene lo convinca, e sulla base delle conoscenze che ha (matematiche e dati oggettivi). Faccio presente che per chiarire tale concetto (nel commento a questo problema) ho chiesto ai ragazzi su che cosa avrebbero scommesso per il 101° lancio nel caso che avessero visto Tizio che ha ottenuto 100 teste consecutive. Molti di loro continuavano a dire che era indifferente. Però tutti o quasi hanno iniziato a dire che "forse" avrebbero scommesso su "testa" quando ho chiesto di immaginarsi "davvero" la situazione, e che avrebbero dovuto scommettere qualcosa (senza che Tizio, mentre lanciava la moneta le sue 101 volte, lo sapesse) dopo aver visto le 100 teste. Per me è u segno evidente di come per i ragazzi quello che dicono Matematica e Fisica siano solo concetti che non hanno niente a che fare con la realtà, e che a questa si applicano altri "ragionamenti? (superstizioni, analogie, "speranze", furbizie, ecc.). 9ª) Torniamo alla definizione soggettiva. Ognuno di noi si fa una idea della probabilità "vera", e questo sulla base dei dati che si hanno, cioè le teorie della probabilità che si conoscono e la serie di 100 teste. Plausibilmente per la teoria frequentista siamo tentati di supporre che la probabilità di "testa" sia prossima ad "1", ma siamo abituati a lavorare con probabilità del 50% per la "testa" dei problemi di matematica. È ben vero che il problema non è concettuale, ma di abitudine: infatti si parla spesso di monete truccate, della non simmetria delle monete reali, di fenomeni aleatori sempre presenti, ecc., ma di fatto la nostra esperienza matematica si è fatta solo con «"testa" al 50%», e questo frega anche la stragrande maggioranza dei colleghi. A conferma di questo pensate se e quanto siete stati titubanti nello scrivere che la probabilità è prossima ad "1": se, nonostante le premesse che io ho scritto, nonostante si sia su un sito dove il pensiero laterale è sempre caldamente richiesto, nonostante il clima goliardico complessivo vi siete o meno sentiti in dovere di dire che «comunque il 50% si può supporre vero» o «comunque non ha senso parlare di "VERA" probabilità», e, cosa più importante di tutte, se nonostante tutto continuate a pensare che «Sì, il ragionamento è corretto e "convincente", ed nei problemi di matematica posso anche considerare che sia vero, ma IN PRATICA NELLA VITA REALE conta solo la teoria classica e la probabilità è del 50%». 10ª) È stato anche detto che è la probabilità soggettiva che risponde alle domande «Dottore, l'operazione riuscirà?», «Sarò eletto?» e «Quanti italiani scaricheranno la suoneria "Nando in Congo"?». Invece non può affatto farlo, mentre può farlo la probabilità soggettiva. 11ª) Quindi l?unica teoria che sembra non si possa applicare (nota bene: non è in contraddizione, solo non si può applicare) è quella classica. Però è banale estenderla al caso di un numero finito di eventi possibili di cui se ne conosce la probabilità: basta fare i calcoli "pesando" le varie probabilità, cioè (la definizione me la sono inventata io, ma OVVIAMENTE la definizione è banale): «La probabilità classica di un evento ("finito") "e", è il rapporto fra la somma delle probabilità dei casi favorevoli ad "e" e la somma delle probabilità di quelli possibili» che si semplifica in «La probabilità classica di un evento ("finito") "e" è la somma delle probabilità dei casi favorevoli ad "e"». A questo punto anche la teoria classica è applicabile e risulta del tutto coerente con le altre due. 12ª) Per completezza dovrei forse almeno accennare alla teoria astratta della probabilità, ma è appunto "astratta" e si concretizza in altre teorie (per esempio nelle tre viste sopra), per cui il tutto resta coerente. 13ª) Il problema de "l?onestà di Tizio" e della possibilità che bari. Il problema è diverso, cioè che per Tizio tutti i lanci siano analoghi, o meglio: «che Tizio non abbia una strategia che prevede che "per me" il 101° lancio sia IL caso della vincita o della perdita». Provo a spiegarmi meglio, anche se per farlo sarebbe auspicabile che non ci fossero 100 "teste", ma, per esempio, 70 teste e 30 croci, e che i lanci continuassero senza che ci fossero un blocco di 100 lanci seguito da un altro blocco di altri lanci. Allora Tizio può anche avere il suo modo di procedere (per esempio 3 croci e 7 teste alternate, o qualsiasi altro modo), ma la probabilità del 101° lancio (in assenza di ulteriori informazioni) non cambia sia che la moneta sia truccata, sia che Tizio bari, sia che ci siano eventi aleatori che determinano una situazione di vantaggio per "testa". 14ª) Allora per le vostre risposte? Beh, secondo me la risposta di Alex «se non siamo certi a priori che il lancio sia onesto, la probabilità che venga testa anche al 101 lancio è molto vicina al 100%» è convincente (anche se ha una premessa che non lo è, perché la serie delle teste potrebbe essere stata solo un "caso"). 15ª) Come ho scritto all?inizio e in altri post: ho criticato tutto e tutti, ma spero di non essere stato offensivo o "cattivo". Se ho affermato cose sbagliate o non convincenti mi fa piacere essere aiutato a capire meglio. 16ª) Se non vi ho disgustato con la mia prolissità e se vi interessa la probabilità ho anche un?altra domanda che è "semplice" (la domanda) ma davvero difficile (la risposta). Infinito. [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: etrazioni -- Marco, 10/08/04 11:40 [1] A me interessa tantissimo, anche se devo ammettere che ho capito poco di tutto il tuo discorso. o consideriamo che il lancio sia veramente a 'caso' cioe' paragonabile a 'un semaforo e' prima verde poi rosso per lo stesso periodo di tempo che possibilita' ho di prenderlo verde arrivando ad un momento x'? e percio' se prendo 100 volte il rosso e' un caso e ,secondo me, la volta dopo ha ancora 1/2. oppure cosa probabile non e' un caso percio' uscira ancora testa, cioe' se devo analizzare quel sistema a me sconosciuto lo guardo calcolo la frequenza degli eventi e dico esce sempre testa. fine. come il gioco delle tre carte che si vede a volte a Milano, so benissimo che anche senza guardare e puntando a caso su una delle tre non vincero' mai. pero' questo non e' il classico sistema della moneta onesta, e' il sistema della moneta truccata piu' tutti gli altri fattori. Ciao! Marco [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: etrazioni -- Cesarone, 10/08/04 13:14 [1] Sono d'accordo con Marco... tutto questo discorso che hai fatto va bene... ma alla fine il problema che hai posto, così come l'hai posto (soprattutto) non dà molte possibilità! Non possiamo determinare se testa o croce sono equiprobabili dall'enunciato del problema... quindi? Quindi, continuo a dire che non si può dire altro che essendo venuto 100 volte testa, può ancora venire testa. Si può anche aggiungere che una moneta reale, visto che di problema reale stiamo parlando, non può mai essere effettivamente perfettamente bilanciata, che il lancio non sarà sempre perfetto, che la moneta urterà particolari molecole di gas durante il lancio... e così via... e tutto ciò ci dà la possibilità di dire che NON ABBIAMO LA CERTEZZA che la probabilità sia del 50%, ovvero abbiamo la certezza che non si tratta a priori di eventi equiprobabili. Insomma possiamo solo dire quello che NON è e non quello che è... Quanto siamo sbilanciati verso la testa non possiamo affermarlo, possiamo solo affermare, nel caso di problema reale, che esiste uno sbilanciamento... ma tale sbilanciamanto potrebbe essere anche a favore della croce, anche se in 100 lanci non è mai uscita. [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: etrazioni -- Gianfranco Bo, 10/08/04 16:17 [1] Ciao a tutti, per Infinito: probabilmente il tuo post non andava perché il numero massimo di linee per post è (circa) 300. Ho scaricato la discussione e leggerò il tuo testo con calma e attenzione. Comunque ho già dato una scorsa e posso dire che concordo con le tue precisazioni. Desidero precisare che quando ho scritto all'inizio tre definizioni di probabilità NON intendevo scrivere un trattato di teoria della probabilità ma soltanto EVOCARE tre definizioni con tre brevi frasi significative, per poi giungere alla mia risposta. Ero perfettamente consapevole dei loro limiti. Tant'è vero che ho subito fatto un rimando ad un testo scientifico. Per di più, IN APPENDICE al mio intervento ho anche fatto un copia e incolla della definizione con la quale simpatizzavo. Gianfranco [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: etrazioni -- Infinito, 11/08/04 2:54 [1] Per Marco. Se non hai capito bene ti invito a far attenzione alle virgolette, ed a considerarle a mo? di parentesi; in particolare quelle così: «...» che uso per le frasi complete o per quelle riportate. Ti informo anche che (per errori miei o del mio computer) alcuni apostrofi sono stati trasformati in punti interrogativi. Poi ti riassumo lo schema del mio discorso (così puoi seguire anche solo una parte che ti interessa). Nelle risposte 2ª, 4ª e 7ª introduco e do la definizione (correggendo quelle date precedentemente) di probabilità classica, frequentista e soggettiva; nelle risposte immediatamente seguenti commento tali definizioni e le applico al problema posto. Con la 11ª estendo la probabilità classica in modo da poterla applicare anche al problema posto. Tutte le teorie applicabili concordano col suggerire una probabilità prossima ad 1. Con la 9ª motivo perché (secondo me) molti si lasciano ingannare da "quello che si studia a scuola": invito anche te a leggerla con particolare attenzione. Nella 10ª, 13ª e 14° commento le vostre risposte. La 1ª, la 12ª e la 15ª le puoi tranquillamente saltare. La 6ª invece, che mi sembra la più ostica, va riletta ogni tanto, in particolare alla fine, perché tenta di spiegare come e quanto è reale la teoria della probabilità, e si spinge fino ad accettare la domanda sulla «"VERA" probabilità». Il "giochino" della 16ª te lo posto nel successivo messaggio. A quello che hai detto rispondono già la 9ª e la 6ª (nell?ordine, mi raccomando). Il gioco delle tre carte non lo ho mai seguito, ma credo che forse non vincerai mai se cerchi di indovinare, se invece punti «a caso» credo che dovresti vincere una volta su tre (forse una volta su due se punti a caso su una delle due carte che non sceglieresti). Per Cesarone. È vero: non puoi determinare «Qual è la ... probabilità che gli venga testa al 101° lancio», però non è vero che non si può dire niente. Infatti come tu hai trovato che sicuramente la probabilità di "testa" è positiva così si può dire qualcosa di analogo a: «dalla teoria frequentista segue che la probabilità che la probabilità di "testa" sia maggiore di 0,97 è maggiore di 0,99», il che si interpreta come: «dalla teoria frequentista segue che quasi sicuramente la probabilità di "testa" è prossima ad 1» (vedi seconda metà della 5ª risposta del mio precedente post); ho dato dei valori stimati, ma facendo i calcoli si trovano quelli corretti. Quello che continua a stupirmi è l?attaccamento quasi "morboso" all?idea del 50%: ma perché, se quando si introduce il concetto di probabilità si parla "sempre" di monete truccate, non si è in grado di poterle riconoscere (o tentare di farlo) quando se ne ha l?occasione? Per Gianfranco. Intanto ti ringrazio per l?interessamento, ma non credo che il problema stia (solo) nella lunghezza, sia perché ho fatto una stima del numero di righe del messaggio, sia perché ho avuto lo stesso problema anche in «Re: combinatorica -- Infinito, 8/08/04 2:34 », con un messaggio di 35 righe. Anch?io «desidero precisare che ... NON intendevo scrivere un trattato di teoria della probabilità», ma (come mi è già successo in altri messaggi) a volte mi trovo a dover controbattere su concetti ormai acquisiti e che credo sia quasi impossibile lasciar evolvere, per cui (per timore di dover ripetere all?infinito le stesse argomentazioni mai affrontate completamente) mi viene spontaneo postare le argomentazioni complete. L?ho già fatto, per esempio, con "0°", ma non mi pare che abbia funzionato bene. Ora qui ci ho riprovato, ... vedremo. Quando capita così, però, mi sorge il dubbio di aver sbagliato sito: non so quanti si dilettano a meditare le definizioni di matematica (cioè a valutare che cosa c?è di vero in esse e come è possibile riassumere la realtà (sia delle cose concrete (Fisica) sia di quelle astratte (Matematica)) con corte sequenze di simboli o di pensieri, in una sorta di DNA dell?Universo). Infinito. [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: estrazioni -- Infinito, 11/08/04 3:17 [1] Problema (credo) tratto da un libro di Martin Gardner (è leggermente rielaborato ? nel testo non c?era la soluzione). Tizio e Caio si incontrano ed entrambi sono contenti per aver fatto un ottimo affare: hanno comprato un vestito ad un prezzo molto basso. Ognuno è convinto di aver speso meno dell?altro, così valutano una possibile scommessa: «Chi ha speso di più perde, per questo pagherà all?altro una somma pari al valore della propria cravatta.» Ognuno pensa: 1°) Il gioco è ovviamente simmetrico. 2°) Quindi la probabilità che io vinca è uguale a quella che io perda. 3°) Conosco il valore V della mia cravatta. 4°) Se perdo devo pagare V 5°) Se vinco ricevo una somma maggiore di V. 6°) Questo gioco per me è vantaggioso. 7°) Quindi questo gioco è vantaggioso per entrambi. 8°) Quindi gioco. La domanda è: «Motiva perché è possibile che sia vantaggioso per entrambi, oppure perché il ragionamento è sbagliato» Infinito. [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: etrazioni -- Marco, 11/08/04 9:10 [1] Perche' se vinci ricevi un valore maggiore della cravatta? chi lo dice che la tua cravatta vale meno di quella dell'altro? e se la tua cravatta vale di piu' probabilmente hai gia' perso, perche' sei uno abituato a spendere tanto per una cosa assolutamente inutile! :) Ciao Marco. [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: etrazioni -- Cesarone, 11/08/04 9:52 [1] Ritorno un attimo al problema precedente... credo di aver capito solo ora cosa intendi... Ad esempio (mi rifaccio ai miei studi), è come se io dovessi produrre dei pezzi meccanici di una determinata lunghezza. Ovviamente nessuno sarà preciso, ma avrà una certa tolleranza. Allora estraggo casualmente un certo numero di campioni e con le misure prese posso costruire una certa distribuzione. A questo punto, data la distribuzione (che deriva quindi da misure effettuate in precedenza, un po' come i 100 tiri di moneta) NON POSSO GARANTIRE che non ci saranno pezzi oltre la tolleranza consentita, ma POSSO GARANTIRE che, ad esempio, con la probabilità del 99% non ci saranno pezzi oltre le tolleranze consentite. Allo stesso modo si sfruttano i 100 lanci di moneta, un po' come campioni... non posso garantire che ho la probabilità del 99% che venga ancora testa, ma posso garantire che la probabilità che la probabilità che esca testa sia del 99% è di un certo valore, molto vicino al 100%. Ti trovi? (poi toglimi una curiosità... ma sei veramente all'estero e stai continuando anche di là col forum???) [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: estrazioni -- Infinito, 11/08/04 12:21 [1] Ci ho ripensato: vista la lunghezza di questo messaggio riporto il problema su uno nuovo dal titolo «Paradosso statistico». La discussione la faremo là. Per Marco. Rileggi bene il problema e potrai facilmente risponderti da solo. Però puoi uoi dirmi che cosa ne pensi ora del primo problema (probabilità di "testa")? Per Cesarone. Quello che dici è corretto ed è quello che si fa a scuola, ma come applicare (o costruirsi) le teorie nei casi concreti è lasciato alla interpretazione personale. Quindi non voglio sapere se la mia interpretazione ha un supporto matematico, ma ti chiedo: «Secondo TE (non secondo le varie teorie) qual è la risposta al primo problema»? Sii LIBERO da tutti i condizionamenti, anche (e soprattutto) matematici. Ti riscrivo il testo: «Tizio lancia 100 volte una moneta e 100 volte gli viene testa. Qual è la "VERA " probabilità che gli venga testa al 101° lancio?» Anche se per voi Roma è il centro del mondo e se credete che in già in provincia siamo all?estero io penso che Lucca non lo sia affatto (fuso orario di 8 minuti). No, sono solo nottambulo (spessissimo faccio "la sera? quello che non riesco a fare il giorno,ed alla fine vado a vedere Base cinque. Considera che sono lentissimo a postare (forse, ma non solo, anche per la pignoleria), che i miei post non sono fra i più corti, che ho dei problemi con la gestione del tempo e puoi capire perché (in certi periodi) non faccio le ore piccole. Infinito. [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: etrazioni -- ED, 11/08/04 12:21 [1] se il testo del problema è "Tizio lancia una moneta e esce 100 volte su 100 testa..." la prima cosa che mi viene da pensare è che si tratti di una moneta con due teste. Se invece la moneta è stata controllata, quello che posso dire è che si è verificata una combinazione rarissima di eventi. Resta da stabilire quale controllo è stato fatto, o quale tipo di controllo sia possibile fare. Un esame solo ispettivo potrà dirmi che le due facce sono diverse, ma potrebbe esserci una abnorme distribuzione del peso che favorisce un risultato. Per riconoscerla occorre...fare cento lanci casuali!!!! In pratica se so già che la moneta è buona dovrei stupirmi della sequenza , ma continuare a credere nel 50%/50% Se i lanci erano stati fatti per sapere se la moneta era buona, è ragionevole pensare che non lo sia e scommettere sulla continuazione della sequenza. ED [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: estrazioni -- Infinito, 11/08/04 12:49 [1] Ciao ED. Mi stupisce che anche tu sia così ancorato alla idea che per le facce delle monete "debbano" valere le probabilità del 50%. Comunque (non so se hai letto la mia risposta al problema che sta sopra a « estrazioni -- Infinito, 10/08/04 4:27 ») ho visto che, con la premessa dei 100 lanci, non lo dai affatto per scontato, anzi! Secondo me il testo chiede proprio di non limitarsi ad applicare le formule, ma di cercare la probabilità «VERA», e mi pare che evidenzi benissimo come per noi il mondo che vediamo sia più quello virtuale (delle nostre rappresentazioni PRECOSTITUITE) che quello "reale" (il concetto è espresso i nmodo sbagliato, ma credo che tu abbia capito). Mi pare buona la tua idea delle "due teste", perché non ho specificato «una moneta da 1 euro» (o qualcosa di analogo), e questo spiegherebbe in maniera semplice ed efficacissima come sia possibile la sequenza. Infatti cercare di interpretare il testo è la parte principale del problema (espressa anche dalla parola «VERA»). Potrebbero anche esistere monete particolari che ammettino la stessa sequenza (per esempio penso a conchiglie quasi completamente vuote con una massa dalla parte più stabile). Infinito. [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: etrazioni -- Cesarone, 11/08/04 13:42 [1] Credo di aver più o meno già risposto... cmq questa è la mia risposta definitiva: Siamo alle prese con un problema REALE, quindi non ha senso considerare la moneta come IDEALE. Si pone il problema di quantificare la probabilità che venga testa e la probabilità che venga croce, ma con solo dati statistici alla mano, non siamo in grado di farlo. O meglio, siamo in grado di farlo con una sicurezza non totale. Cioè possiamo dire che ho una determinata probabilità (dipendente dal numero di lanci fatti) che la probabilità che venga testa sia del X% (..."probabilità che la probabilità" non è un errore di battitura!!!). Dato che su 100 lanci ho sempre avuto testa, credo di poter dire che ho una probabilità pari a [1 - 1/(2^100)] che la probabilità che venga testa al 101° lancio sia del 100%. ....ma non ne sono così sicuro! [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: etrazioni -- Marco, 11/08/04 13:53 [1] MA la cravatta fa parte del vestito comprato? mica e' specificato, e poi potrebbe avere un valore a se stante che non influisce sul prezzo totale del vestito. e anche se tutto fosse, V e' gia' prestabilito e' il vaolre della cravatta piu costosa. diciamo 50 euro, percio' si puo sostituire a V 50 euro chi perde paga 50 euro. percio' se A ha la cravatta da 50 euro sa che piu' di quello non puo' perdere mentre B sa che piu' 40 euro non puo' perdere. l'unico che puo' fare questa scommessa e pensare che ci guadagnera' e' un tizio che dopo una lunga trattativa se la fa regalare la cravatta. per la prima domanda, se dovessi pensare di vedere per strada un tizio che lancia la moneta e 10 persone attorno che scommettono sulla croce ed esce sempre testa stai pur certo che io scommetterei testa(o meglio il contrario di quello che punta la maggior parte della gente ;) ) queste sono le possibilita' reali o vere, cioe' quelle della vita reale, come gia' detto la possibilita' di vincere alle tre carte per strada e' zero. ma i turisti giapponesi si fidano ancora della matematica. Ciao Marco. [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: etrazioni -- Infinito, 12/08/04 3:02 [1] Per Cesarone. Vedo che alla fine qui siamo d'accordo. Il calcolo invece è sbagliato. Infatti non credo che la tua formula derivi da una applicabile con successo al caso "50 teste e 50 croci" e al caso "50 croci". Ma soprattutto se la probabilità di "testa" fosse 0,99 allora quella di "100 teste" sarebbe 0,37 (quindi un evento realmente possibile), e se la probabilità di "testa" fosse 0,999 allora quella di "100 teste" sarebbe 0,90, molto probabile. Per Marco ? prima domanda. Dici «... se dovessi pensare di vedere per strada un tizio che lancia la moneta e 10 persone attorno che scommettono sulla croce ...», ma nessuno ha detto che le 10 persone scommettono croce. Il problema è semplicemente questo: «Tizio lancia 100 volte una moneta e 100 volte gli viene testa. Qual è la "VERA " probabilità che gli venga testa al 101° lancio?» Tutte le altre cose sulle monete, sulle persone, sulla malafede, sul sapere che tanto non vinco mai, ecc. sono frutto di modi di pensare da "riflessi condizionati", che sono veramente fuori posto quando uno si chiede il vero significato di ciò che accade. Infinito. [ Post a Reply to This Message ][Edit] [> Re: etrazioni -- CEsarone, 12/08/04 11:42 [1] Infinito, illuminami sui numeri che hai scritto, perchè non ho capito da dove vengono fuori...

DEC 25 = 25 dicembre = Natale
OCT 31 = 31 ottobre = Halloween

DEC = sistema decimale, in base 10
OCT = sistema ottale, in base 8

Se prendi la calcolatrice di windows, quella "scientifica" non quella "standard" e scrivi 25 (in base DEC), poi clicchi sul radio-button OCT vedrai che il 25 si trasforma in 31.

In altre parole:
25 in base 10 = 31 in base 8

C'è stata una schiarita?

Comunque abbiamo ancora alcuni Re di Roma che possono rispondere.

398. Enigmi
di Marco

Date Posted: 10/08/04 18:04
Author: Marco
Subject: Enigmi

Bisogna ottenere 10 allineamenti di 3 alberi piantando 9 alberi, come possiamo fare?
(problema attribuito ad Isaac Newton)

>>> Risposte & riflessioni
Enrico Delfini
Tre in fila orizzontale in alto, abbastanza larghi
Tre in fila orizzontale in basso, idem (come sul perimetro di un quadrato
Gli altri tre sulla mediana orizzontale al 25-50-75%
Per cui alle tre linee orizzontali e a quella verticale di mezzo si aggiungono le due diagonali del quadrato e le quattro diagonali dei due rettangoli "verticali".
Spero di essermi spiegato
Forse è più chiaro così: scacchiera 9x9 ; caselle numerate da 1 a 9 la prima riga , poi da 11 a 19 ; da 21, a 29 ecc.
Gli alberi si piantano nelle caselle
1-5-9-43-45-47-91-95-99

397. La chiave "logica"
di Ronfo

Date Posted: 27/07/04 9:25
Author: Ronfo
Subject: La chiave "logica"

La chiave d'accesso per entrare nel castello dove è prigioniera la vostra bella è nascosta dietro questa serie numerica
5 ; 10 ; 2 ; 9 ; 8 ; 4 ; 6 ; 7 ; 3 ; 1 .
Se scoprite in quale ordine logico sono stati scritti i numeri , entrerete nel castello e vivrete felici e contenti

>>> Risposte & riflessioni
Massimo
Segue l'ordine alfabetico.
Ciao
PS: Saluto tutti, era da tanto che non ritornavo sul forum!

396. Combinatorica
di Tino

Date Posted: 4/08/04 14:29
Author: Tino
Subject: combinatorica

Ciao
Ho trovato un po' di interessanti problemini di combinatorica:

1) Quanti sono i numeri di n cifre (nella notazione decimale) divisibili per 5?

2) Quanti sono i numeri di n cifre (nella notazione decimale), ognuna non nulla, tale che ogni cifra sia non minore della seguente?

3) Quanti sono i numeri di 9 cifre (nella notazione decimale) contenenti tre volte la cifra 1, due volte ciascuna le cifre 3, 5, 7?

4) Quanti sono i numeri dispari di tre cifre distinte (nella notazione decimale)? E di quattro? E di n?

>>> Risposte & riflessioni
Pasquale
Salvo cappelle:

1) 18*10^(n-2), per n >= 2
3) C(9_3)*C(6_2)*C(4_2) = 7560
4) 40*8!/(10-n)!, per 2<= n <= 10

Per il 2) non ho avuto tempo: mi sembra più tosto.

Infinito
Giusta solo la 3) (che però non ho capito).
(Per la 4 si osserva che non regge n=1, che invece dovrebbe essere accettabile)
Non te la prendere: anche i migliori sbagliano!

Tino
Allora devo introdurmi con il canonico: "giuro! questa è solo la mia opinione!"

Superbo!
Riguardo la 1 e la 3 non ci sono dubbi che sia giusto.

Invece analizzando la tua risposta alla 4, diversa dalla mia, che pensavo essere giusta, mi sono reso conto che quest'ultima era... sbagliata! Inizialmente infatti pensavo (dall'alto della mia presunzione) di poter liquidare l'argomento facendo il seguente ragionamento:

Trovo tutti i numeri di n cifre distinte: ho 9 scelte per la prima cifra (non posso metterci 0, ed è questo il problema più grosso), e poi devo disporre le altre 9 cifre in n-1 posizioni, ottenendo (9!)/[9-(n-1)!]. In tutto dunque (9*9!)/(10-n)!. Ora, mi sono detto, è ragionevole pensare che qua dentro ci stiano tanti numeri pari quanti numeri dispari, così per trovare i dispari ho diviso per due e ho archiviato il caso.

Invece ci sono dei problemi che provengono dal fatto che non avendo potuto scegliere 0 come prima cifra, ho posto delle restrizioni al numero scelto, e la mia dimezzazione 'nasale' non può essere accettata a cuor leggero. Infatti poi (un'oretta fa) ho provato a contare i
dispari per n = 3, ottenendo 320, diverso da 324 che si otterrebbe con la mia formula. Con quella da te proposta invece ottenevo 320.

Allora ho iniziato a riflettere.. e ho ottenuto un procedimento soddisfacente, immagino analogo al tuo, per correggere il tiro:
fisso una cifra dispari da mettere come finale. Scelgo la cifra iniziale: 8 scelte (10 meno lo 0 e la cifra finale fissata). Scelgo le altre n-2 (implicando dunque giustamente che la formula finale vale solo per2<=n<=10) disponendo le 8 cifre rimanenti, e ottengo (8!)/[8-(n-2)]! scelte. Siccome il procedimento va fatto per tutte e 5 le cifre dispari, le scelte possibili sono:
5*8*(8!)/(10-n)! = 40(8!)/(10-n)!.

Ho scritto tutto questo per condividere quello che penso.

Comunque la 2 è evidentemente la più difficile, anch'io ci sto ancora ragionando su, e avrei anche trovato un modo per risolvere la cosa, ma prevede così tanti conti che è meglio deviare su qualcosa di più semplice.. non può essere cosi difficile! credo...

395. Codice segreto
di Massimo

Date Posted: 5/08/04 9:04
Author: Massimo
Subject: Codice segreto

q10 q4 q9 z4 a1 q5 q3
a1
a3 q3 z3 q8 a4 q4 a1 q4 q3
q1 q7 q3 a2 q5 a1
a4 q4 a1 a2 q3

Ciao

>>> Risposte & riflessioni
Gianfranco Bo
Brancolo nel buio.
Potresti darci qualche indicazione in più?

Massimo
z4 a1
z5 q3 z6 q3
!

Gianfranco Bo
z3 a1 q10 q8 q5 q9 !

Tino
a9 q3
a9 q3 q5 q5 q3 q4 q3
a2 q3 a5 q7 q9 z6 q9
a9'q9 q4 a3 q8 z6 q3
a3 q3 a9 a9 a1
q5 a1 a2 q5 q8 q3 q4 a1 ?

Massimo
q3 a2 a1 q5 q5 q9!

Pi Greco
z7 q8 q5 q8 z3 qo!!!!

Alex
z3 q8 a1 q9
Z7 a1 a2 a2 q8 z7 q9

q8
q5 q7 q9 q8
q8 z6 a3 q9 z4 q8 z6 q3 a9 a9 q8
a2 q9 z6 q9
a2 q3 z7 q10 q4 q3
z7 q9 a9 q5 q9
z5 q3 a9 a9 q8 !

z6 q3
a6 a1 q8
a1 a9 q5 q4 q8 ?

a5 q4 a1 z1 q8 q3

Massimo
q10 q4 q3 a5 q9.

a1 a3 q3 a2 a2 q9
z6 q3
q10 q9 a2 q5 q3 q4 q9'
a1 a9 q5 q4 q8!

Pasquale
Aoh! Ma che state a dì ?

qqqq!!!!!!!

Massimo
z3 q8 a1 q9
q10 a1 a2 q1 q7 a1 a9 q3!

Gianfranco Bo
Ciao Pasquale,

a1 = A
q3 = E
q8 = I
q9 = O
q7 = U

Gianfranco

Eccetera, eccetera...

394. Numeri periodici
di Alex

Date Posted: 8/08/04 19:22
Author: Alex
Subject: Numeri periodici

Mi è venuto in mente un esercizio divertente:

1) sapreste trovare un numero periodico avente periodo di 10 cifre e tale che scritto sotto forma di frazione abbia a numeratore 1 e al denominatore un numero primo?
( In pratica deve essere il reciproco di un numero primo).
A quanto mi risulta esiste una sola possibilità. Trovatelo anche voi.
2) e se il periodo dovesse essere di 20 cifre?
Dovrebbero essere 2 i risultati possibili. Li sapete trovare?
3) e se il periodo dovesse essere di 30 cifre?
A me vengono 3 risultati possibili. E a voi?
Ciao


P.S.
Per un numero maggiore di cifre, non sono riuscito a compiere verifiche, ma non credo proprio che esista una regola per cui il rapporto tra cifre del periodo e numero dei risultati sia sempre uguale a 10.

>>> Risposte & riflessioni
Gianfranco
La frazione generatrice di un numero periodico ha al denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell'antiperiodo.

Se voglio che la frazione sia del tipo 1/N con N primo (diverso da 2 e da 5) allora:

a) il numeratore sarà il numero P costituito dalle cifre del periodo (il periodo infatti è preceduto da una sequenza di 0)

b) il denominatore sarà del tipo 999...000...

c) per ottenere 1 al numeratore, il numero 999...9 deve essere divisibile per P

d) inoltre 999...9/P = N (numero primo


Per trovare cotali N basta scomporre in fattori primi i numeri 9, 99, 999, ...

In particolare dovrò scomporre i numeri costituiti da 10, 20, 30, ... 9.

Esempi di frazioni 1/N con N primo e k cifre nel periodo.

k=1
fattori primi di 9: 3-3-
frazione: 1/3 = 0,6

k=2
fattori primi di 99: 3-3-11-
frazione: 1/11 = 0,09

k=3
fattori primi di 999: 3-3-3-37-
frazione: 1/37 = 0,027

k=4
fattori primi di 9999: 3-3-11-101-
frazione: 1/101 = 0,0099

k=5
fattori primi di 99999: 3-3-41-271-
frazione: 1/41 = 0,02439
frazione: 1/271 = 0,00369

k=10
fattori primi di 9999999999: 3-3-11-41-271-9091
frazione: 1/9091 = 0,0001099989

k=20
fattori primi di 99999999999999999999: 3-3-11-41-101-271-3541-9091-27961
frazione:1/3541 = 0,00028240609997175939
frazione:1/27961 = 0,00003576409999642359

k=30
fattori primi di 999999999999999999999999999999: 3-3-3-7-11-13-31-37-41-211-241-271-2161-9091-2906161
frazione: 1/211 = 0,004739336492890995260663507109
frazione: 1/241 = 0,004149377593360995850622406639
frazione: 1/2161 = 0,000462748727440999537251272559

k=40
fattori primi di 9999999999999999999999999999999999999999: 3-3-11-41-73-101-137-271-3541-9091-27961-1676321-5964848081
frazione: 1/1676321 = 0,0000005965444565808099999940345554341919
frazione: 1/5964848081 = 0,0000000001676488632099999999983235113679

393. Potenze di 2
di Atlante

Date Posted: 5/08/04 23:23
Author: Atlante
Subject: Potenze di 2

Dimostare che (36a+b)(a+36b) non è mai potenza di 2 per qualsiasi a,b interi positivi.

>>> Risposte & riflessioni
Tino
Dico un'idea, spero di averci azzeccato... al max correggetemi :D

Il numero (36a+b)(a+36b) è una potenza di due se e solo se lo sono i due fattori separatamente (non appena un fattore è divisibile per k diverso da 2 il totale non è più una potenza di 2). Prendo un fattore e faccio ragionamenti su a che valgono anche per b e viceversa, data la simmetria del problema.

Se (36a+b) è potenza di 2 devo poter raccogliere almeno un 2, ovvero b dev'essere pari, e di conseguenza anche a (per simmetria):

36a+b = 2(18a+b/2).

Ora, o 18a+b/2 vale 1, oppure è anch'esso una potenza di 2. Se vale 1, dev'essere a=0, ma in tal caso si ottiene il numero 36(b^2) che non può essere potenza di 2 per nessun b intero, perché o è nullo o è divisibile per 3. Di conseguenza nemmeno b può valere 0. Allora dev'essere una potenza di 2, cioè in particolare divisibile per 2, ovvero b (e di conseguenza a) dev'essere divisibile per 4:

36a+b = 2(18a+b/2) = 4(9a+b/4).

il fattore 9a+b/4 non può valere 1, dunque è una potenza di 2, ovvero a e b sono divisibili per 8:

36a+b = 2(18a+b/2) = 4(9a+b/4) = 8(9a/2+b/8). E così via...

In generale, se otteniamo (2^n){9a/[2^(n-2)]+b/(2^n)}, a e b devono essere divisibili per 2^n, ovvero a = p(2^n) e b = q(2^n) per qualche p e q interi positivi non nulli. Ottengo:

(2^n){36p+q}.

Di nuovo, il fattore 36p+q non può valere 1 dunque è una potenza di 2. Ovvero in particolare q (e dunque p) dev'essere pari.

Cioè, se a è divisibile per 2^n, perché l'espressione iniziale sia una potenza di due a dev'essere divisibile anche per 2^(n+1), ovvero procedendo per induzione, a dev'essere divisibile per tutte le potenze di 2. E anche b, per simmetria.

L'unico numero che soddisfa questo requisito è 0, ma se sostituisco ottengo 0, che non è una potenza di 2.

Dunque l'espressione iniziale non può essere una potenza di 2 per nessun a e b interi positivi.

Pasquale
Pongo:

2^n = 2^j*2^k

e:

36a + b = 2^j
a + 36b = 2^k

Risolvo il sistema in funzione di a:

b = 2^j – 36a
a = (36*2^j – 2^k)/(5*7*37)

--Se j = k , a = 2^j / 37 (non intero, contrariamente all’ipotesi del testo)

--Se j < k ,

1) a = 2^j*[36 – 2^(k-j)]/(5*7*37) ed in tale caso,

se k-j > 5 , “a” è negativo, contrariamente all’ipotesi

se k-j <= 5 , posto che 2^j non è divisibile per nessuno dei fattori al denominatore della 1), il fattore in parentesi quadra non sarà mai divisibile per l’intero denominatore di cui è minore, per cui “a” non è intero, contrariamente all’ipotesi

--Se j > k , risolvendo il sistema in funzione di b, sarà:

b = 2^k*[36 – 2^(j-k)]/(5*7*37), da cui si deduce, come sopra, che b o è negativo o non è intero.

In sostanza, il sistema non è verificato per nessun valore intero e positivo di “a” e “b” , per cui ritengo dimostrato quanto richiesto.

392. Enterprise: seconda missione
di Pithecus

Date Posted: 4/08/04 23:49
Author: Pithecus
Subject: Enterprise: seconda missione

Utang!

Visto che siete molto bravi vi propongo un altro enigma estivo.
Spero di non irritare ingegni insofferenti con questi semplici indovinelli.

Il Capitano Chirco, il fedele Spocchio e il dottor Maccoi, sul pedalò ENTERPRAIS, raggiunsero la curvatura 8. In verità il Capitano voleva andare dritto ma Spocchio, seduto sul bordo dell'astrobarca, si ostinava a tenere i piedi nell'acqua.

Giunsero così su un pianeta posto alla periferia di una galassia a manubrio.
Gli abitanti erano fisicamente uguali ai terrestri ma mentalmente molto più prevedibili.

-Quelli con i capelli neri mentivano il lunedì pomeriggio.
-Quelli con i capelli castani mentivano il martedì mattina.
-Quelli con i capelli rossi mentivano il mercoledì dalle 8 alle 12.
-Quelli con i capelli biondi mentivano il giovedì tutto il giorno.
-Quelli con le targhe pari mentivano il venerdì anche se non erano in macchina.
-Quelli che portavano il 42 di scarpe mentivano sabato, anche mentre facevano il bagno.

Chirco poteva porre una e una sola domanda al primo abitante che avesse incontrato.
Doveva scoprire quanti erano gli abitanti del pianeta.

Finalmente incontrarono un abitante.
Era calvo, andava piedi ed era scalzo.

Chirco, leggermente innervosito, chiese a Spocchio: "Che giorno è oggi?"
Spocchio consultò il computer che aveva nella punta dell'orecchio sinistro e rispose: "Domenica".

Chirco chiese all'abitante: "In quanti siete su questo pianeta?"
L'abitante rispose: "Potete star certi che ci sono almeno tre persone con lo stesso numero di capelli in testa. Se fossimo uno di meno non avremmo questo privilegio."

Chirco stava per sferrare un pugno all'abitante ma Maccoi fu più veloce e gli iniettò una dose di SOMA.
Prima di cadere in trance il Capitano trovò la forza di dire: "Spocchio, mi sostituisca ai pedali."
Fu così che tornarono a casa senza raggiungere nessuna curvatura.

Mentre pedalava, Spocchio ebbe il tempo di calcolare quanti potevano essere come minimo gli abitanti del pianeta.
Per farlo utilizzò la famosa costante di Peano: 123875 = numero massimo di capelli che una persona può avere in testa.

Quanti erano gli abitanti del pianeta?


Utang!

Pithecus


P.S. Sappiate che "curvatura 8" è stata per un certo periodo la traduzione italiana del termine "Warp 8" che corrisponde a 1,024 volte la velocità della luce.
"Warp 1" invece corrisponde alla velocità della luce.

>>> Risposte & riflessioni
Tino
Quindi è sufficiente rifare il ragionamento con la vera costante di Peano, ottenendo 2(123875)+3 = 247753.
Giusto? In questo mondo non si è mai sicuri di niente... Tutti quei dati iniziali servivano solo per far capire che l'abitante diceva la verità?
Penso che il problema, tenendo conto della costante di Peano, sia di determinare il numero minimo di persone sul pianeta, in modo tale che si sia sicuri al 100% che ci siano tre persone con uno stesso numero di capelli in testa.

Siccome ogni abitante deve avere un numero di capelli compreso tra 0 e 123875, il numero minimo, come precedentemente dimostrato da Spocchio usando 5 come costante, dev'essere
2*(123875+1)+1 (tenendo conto anche dei pelati)

Se fossero tutti pelati ce ne sarebbero comunque 3 con un numero uguale di capelli in testa, cioè 0.

Anzi vorrei aggiungere, sperando di non sbagliare, che quando l'abitante dice "se fossimo uno di meno, non avremmo questo privilegio" intende come 'privilegio' quello di essere sicuri, senza contare i capelli a ciascuno, che ce ne siano 3 con un numero uguale di capelli in testa.
Siccome 2*(123875+1)+1 è il numero minimo di abitanti per cui succede questo, bisogna concludere che tale è il numero esatto degli abitanti, poiché se togliamo un abitante non possiamo dire con certezza che ce ne siano 3 con un numero uguale di capelli.

391. L'ultima destinazione dell'Enterprise
di Pithecus

Date Posted: 4/08/04 14:01
Author: Pithecus
Subject: L'ultima destinazione dell'Enterprise

Il Capitano Chirco, a bordo del pedalò a noleggio ENTERPRAIS, giunse finalmente alla sua ultima destinazione.

Trovò la fine di tutte le fini ma anche l'inizio di tutti gli inizi.
Scoprì cosa c'è all'inizio dell'infinito e al termine di tutti i tempi e di tutti gli spazi.
Descrisse in una lettera l'inizio di quell'isola che avrebbe potuto essere anche una penisola.

Disse a Spocchio: "Smetti di pedalare, siamo giunti in un posto in cui non si può dire dove siamo e non si può chiedere che ora è."

Commentò Spocchio: "Tutto ciò non è logico, è stupido."

Che cosa trovò il Capitano Chirco?


Utang!

Phitecus

>>> Risposte & riflessioni
Ivo Ivi
Sono d'accordo con Spocchio, indubbiamente insistere in idiozie inimmaginabili indica incomunicabilità, indebolisce idee, irrita ingegni insofferenti.
Iahoooooo

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