Ricreazioni di Maggio 2001

87. Mega-sistema
proposto da Gianvittorio Righi
Sapendo che A B C D E sono numeri da 1 a 10 e che ogni lettera corrisponde ad un numero diverso trovare a cosa corrisponde A, B, C, D, E, sulla base delle seguenti informazioni:

>>> Risposte & riflessioni
Ivan D'avanzo
Vi dimostrerò che il quesito non ammette soluzione.
Come primo passo, cerchiamo la relazione d'ordine tra i numeri.
Dato che E>B e D>E possiamo dire che B<E<D.
Vediamo dove collocare A: sapendo che A=D+E-B =====> A=D+(E-B), ma dato che E>B la quantità in parentesi è >0 quindi A>D.
Allora possiamo dire che B<E<D<A.

Dove mettiamo C? In realtà sappiamo che D>C, C<A, C>B. Questo crea ambiguità, perchè le possibili relazioni diventano:
1) B<C<E<D<A
2) B<E<C<D<A
Prendiamo in esame la 1) :
B<C<E<D<A

Ora, per facilitare i calcoli, sfruttiamo un po' di proprietà della parità dei numeri naturali:
Sapendo che D=C-E+C =====> C= (D+E) /2 quindi, per poter dividere un numero per due e restare nel campo N è necessario
che (D+E) sia pari, cioè somma di due numeri entrambi pari, o entrambi dispari.
Mettiamo in tabella le possibili combinazioni di parità dei numeri
Indichiamo pari con p e dispari con d

Ora, essendo B=D-E sarà in entrambi i casi (PP e DD) pari perchè sottrazione di numeri entrambi pari (o dispari)
Allora la tabella sarà:

Essendo A=D+E-B si ha o P+P-P=P o D+D-P=P quindi A sarà anch'esso sempre pari.
In tabella

Notiamo che la prima combinazione non è possibile perchè 5 numeri pari compresi da 1 a 10 in senso crescente possono essere solo B=2 C=4 E=6 D=8 A=10 ma dato che C=A-B-E si avrebbe 4=10-2-6 che non è vero.

Allora la combinazione è univoca, cioè
B(pari) < C(dispari) < E(dispari) < D(dispari) < A(pari) e i numeri vanno da 1 a 10,

Allora, sicuramente B(pari)=2 perchè se fosse 4 si avrebbe che C(dispari) dovrebbe valere almeno 5 e che E (dispari) dovrebbe valere almeno 7, ma dato che C=A-B-E =====> A=C+B+E si avrebbe A=5+4+7= 16 e non è possibile.
Allora se B=2, C(dispari) deve valere sicuramente 3 per lo stesso motivo.
Allora se B=2 e C=3 , E varrà sicuramente 5 per lo stesso motivo.
Dato che A= C+B+E======> A= 2+3+5=10(pari) e dato che E=D-B ====> D=E+B=5+2=7
L'unica combinazione possibile sarebbe A=10 B=2 C=3 D=7 E=5
Ma, come si può verificare la condzione D=C-E+C (7=3-5+3) non è soddisfatta.
Allora non esistono combinazioni relative alla relazione 1).

Considerando invece la 2) basta invertire C ed E ottenendo la tabella

Come abbiamo fatto prima, scartiamo l'ipotesi che i numeri siano tutti pari per lo stesso motivo.
Cioè abbiamo che B(pari) < E(dispari) <C(dispari) < D(dispari) < A(pari) e i numeri vanno da 1 a 10.
Analogamente , sicuramente B(pari)=2 perchè se fosse 4 si avrebbe che E(dispari) dovrebbe valere almeno 5 e che C (dispari) dovrebbe valere almeno 7, ma dato che C=A-B-E =====> A=C+B+E si avrebbe A=7+4+5= 16 e non è possibile.
Allora se B=2, E(dispari) deve valere sicuramente 3 per lo stesso motivo.
Allora se B=2 e E=3 , C varrà sicuramente 5 per lo stesso motivo.
Dato che A= C+B+E======> A= 5+2+3=10(pari) e dato che E=D-B ====> D=E+B=3+2=5
L'unica combinazione possibile sarebbe A=10 B=2 C=5 D=5 E=3
E non è possibile in quanto C=D.

Ma allora, perchè porsi il problema quando la soluzione non c'è?

Paolo Hägler
Prendiamo le equazioni del testo e numeriamole:
1) C = A-B-E
2) D = C-E+C
3) B = D-E
4) A = D+E-B
5) E = D-B

Ora 1) <=> A=B+C+E
Quindi con 4) si trova B+C+E=A=D+E-B e semplificando B+C=D-B<=>D=2B+C
Poi 3) <=> D=B+E
Uguagliando B+E=D=2B+C <=> E=B+C
Infine 2) <=> E=2C-D
Qundi B+C=E=2C-D <=> B=C-D
Ma per ipotesi B>0 (deve essere un numero tra 1 e 10) e C<D (terza disequazione del sistema), quindi C-D<0, ed il sistema è impossibile!

Una tabella strana, ora dovete dirmi cosa va scritto al posto di "??".

Un aiuto: si possono scrivere numeri ma anche spazi bianchi.

1	2	12	3
9	7	4	11
16	15	5	14
8	10	13	6

Dalla prima casella 1 si conta una casella e si scrive il numero 2; dal numero 2 si contano 2 caselle e si scrive 3 e così via. Così si ottiene la tabella completa."

85. Le cifre di pi greco
proposto da Gianvittorio Righi
A scuola si studia che "pi greco" è 3,1415..., ma per calcolare le cifre decimali successive esiste qualche alogoritmo?
Fino a quale cifra decimale è arrivata la conoscenza umana?

>>> Risposte & riflessioni
Paolo Hägler
Questo non è propriamente un gioco, e non so quante cifre di pigreco siano state calcolate sinora, ma posso elencare alcuni metodi utilizzabili per calcolarlo, essi si basano sulle seguenti uguaglianze:

Con la formula (e la serie per arctan) seguente Guillot et Boyer hanno calcolato 1'000'000 di cifre di pigreco nel 1973:

84. La somma dei primi n numeri dispari
proposto da Luigi
Ho un problema: devo dimostrare che la somma dei primi n numeri dispari è uguale a n al quadrato.

>>> Risposte & riflessioni
Gianfranco Bo
Ricordi come si calcola la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica?

S = (a1 + an)*n

dove:
a1 è il primo termine
an è l'ennesimo termine
n è il numero dei termini

La serie dei primi n numeri dispari è proprio una progressione aritmetica.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2n-1)

Come puoi facilmente verificare l'n-esimo termine di questa progressione è 2n-1

Perciò la somma dei primi n termini è:

S = [(1 + 2n -1)*n]/2 = (2n^2)/2 = n^2

Questo teorema si può dimostrare anche per induzione.
Come?

Francesco V.
La dimostrazione per induzione è semplice e molto utile in matematica.
Il primo passo è dimostrare che la formula è valida per n=1, molto facile perchè 1=1^2
Il secondo passo, detto passo induttivo, è dimostrare che se è valida per n, è valida anche per n+1.

Dimostriamo che se è valida per n allora è valida per n+1:
S(n+1) = 1+3+5+..(2n-1)+(2n+1)
S(n+1) = S(n)+2n+1 = n^2+2n+1 = (n+1)^2

Q.E.D.

Giorgio Dendi
Vediamo se ti piace la mia dimostrazione.
N.B. I disegni sono realizzati con tabelle per cui potrebbero non apparire nelle proporzioni corrette. Si tratta di reticoli quadrati.

1	2	3
		4
		5

1	2	3	4
			5
			6
			7

1	2	3	4	5
				6
				7
				8
				9

1	2	3	4	5	6
					7
					8
					9
					10
					11

Guarda i disegni che ho fatto: ogni volta aggiungo una striscia al disegno precedente, cingendolo su due lati (consideriamo che all’inizio ho il disegno nullo e che gli aggiungo un quadrato), e la striscia nuova è quella con le caselle numerate.
Ogni volta parto da un quadrato: ad es., nell’ultimo ho un quadrato di 5 di lato, gli devo aggiungere 5 caselle sopra (quelle da 1 a 5), 5 a destra (dal 7 all’11) e una in alto a destra (la 6), cioè al quadrato di lato 5 aggiungo 2*5+1 ed ottengo il quadrato di lato 6.
In generale, ad un quadrato di lato n aggiungo 2n+1 caselle e ottengo il quadrato di lato n+1, cioè n^2 + (2n + 1) = (n+1)^2.
Ecco dimostrato come si passa da un quadrato al successivo, quello di misura strettamente superiore.
E’ palese dal disegno che ogni volta che vado fino ad un qualunque numero dispari n ho aggiunto strati su strati, ma ho sempre un quadrato, e per trovare il suo lato aggiungo 1 a questo numero n e faccio la metà (infatti se ho messo l’ultimo strato di 11 caselle, per es., ho raggiunto un quadrato di 6 per 6, poiché i quadratini sono divisi equamente fra orizzontali in alto e verticali a destra meno quello d’angolo che va contato una volta sola e non due.

83. Quanto pesa un sacco di sabbia?
proposto da Lorenzo Navari
Quanto pesa un sacco di sabbia che pesa 12 kg più un terzo del suo contenuto ?

Un'altra sentita al bar chiedeva : quanto pesa un mattone che pesa 1 kg più mezzo mattone ?

>>> Risposte & riflessioni
Ivan D'Avanzo
Il peso del sacco di sabbia è 18 kg.
Si può ricavare tramite una semplicissima equazione:
X = X/3 + 12 da cui X=18

Invece il peso del mattone è 2 kg
X=1+X/2 da cui x=2

Gennaro Cangiano
Mi chiedo quanto pesa il sacco a vuoto!nei 12 kg è compreso contenuto e contenitore?

82. Come fai a fermarti?
proposto da Lorenzo Navari
Sei su un'auto ad energia atomica senza freni e viaggi a velocità costante.
Davanti a te un maiale gigante, notevolmente più grande di te cavalca alla tua stessa velocità
Alla tua destra un carro dei pompieri strombazzante con l'autista che ti guarda fisso negli occhi senza superarti.
Dietro di te un elicottero vola raso terra e ti sfiora con le sue pale.
Alla tua sinistra il baratro.

Come fai a fermarti ?

>>> Risposte & riflessioni
Aspetti che il tempo sia scaduto e... scendi dalla giostra.
Ma... in quale senso gira questa giostra: orario o antiorario?

Ivan D'Avanzo
Sicuramente in senso orario, dato che hai altri "veicoli" alla tua destra ed il baratro alla sinistra.

81. Criptoperazioni
proposto da Ivan D.
Avrei un nuovo simpatico quesito di criptoaritmetica da proporre:

80. Un orologio con tre micce
proposto da Ivan D.
Hai 3 micce che bruciano esattamente per 1 ora quando vengono accese ad un estremo. Però, attenzione, esse non sono omogenee perciò non si consumano con regolarità mentre bruciano. Di conseguenza non si può assumere che la lunghezza di miccia consumata sia direttamente proporzionale al tempo trascorso.

>>> Risposte & riflessioni
Marina Daniele
Accendiamo le tre micce contemporaneamente, in particolare ne accendiamo una ad entrambe le estremità.
Appena quest'ultima è terminata sappiamo che è passata mezz'ora; a tal punto lasciamo bruciarne una e spegnamo l'altra.
Quando la miccia è bruciata tutta sarà passata un'alta mezz'ora (complessivamente un'ora) e accendendo la restante parte della terza miccia ad ambo le estremità, quando questa avrà finito di bruciare, saranno passati altri 15 minuti.

Pietro Vitelli
Prima di esaminare tutti i tempi misurabili con le 3 micce credo sia doverosa una precisazione sulla risposta di Marina Daniele; infatti, l'affermazione, corretta, che, se accendiamo una miccia ad entrambe le estremità, questa si consuma in 30 minuti, merita un'adeguata dimostrazione, per evitare un'astrazione mentale di non immediata comprensione.

DIMOSTRAZIONE

Sia L la lunghezza della miccia e T il tempo impiegato per consumarla.
Abbiamo che T= 1 ora.
La velocità media Vm (la velocità, nel nostro caso, varia da punto a punto per cui c'è bisogno della velocità media) con cui si muove la fiammella, o, se preferite, con cui si brucia la miccia, ci è data da:

Vm=spazio/tempo cioè Vm=L / T

esprimendo la velocità in metri/secondo, dato che T=1 ora, si ha:

T=1 ora=3600 secondi da cui

Vm=L /3600 (metri/secondo)

Ora indichiamo con A e B le due fiammelle che consumano la miccia.
Indichiamo con La la lunghezza della parte di miccia consumata da A, con Vam la velocità media con cui A ha consumato la parte di miccia lunga La, e con Ta il tempo impiegato da A per consumare la parte di miccia lunga La con velocità Vam.
Per quanto riguarda la fiammella B, avremo, allo stesso modo, Lb, Vbm, Tb.

Notiamo che Ta=Tb perchè quando la miccia sarà totalmente consumata, sarà trascorso un tempo Tab che sarà uguale al tempo impiegato da A per consumare la parte di miccia lunga La, e al tempo impiegato da B per consumare la parte di miccia lunga Lb, dato che le due fiammelle A e B si spegneranno quando tutta la miccia sarà consumata.
Quindi Tab=Ta=Tb è il tempo che impiega una miccia, accesa alle sue due estremità, per consumarsi, ed è quello che noi dobbiamo trovare (Verificare!).
Calcoliamo Vam e Vbm:

Vam=spazio/tempo=La/Ta=La/Tab

Vbm=spazio/tempo=Lb/Tb=Lb/Tab

Ora, dato che la velocità media totale Vm altro non è che la media di tutte le diverse velocità che si hanno lungo tutta la miccia, può essere espressa come media delle velocità medie Vam e Vbm, cioè:

Vm=(Vam+Vbm)/2

Abbiamo visto in precedenza che:

Vm=L/3600; Vam=La/Tab; Vbm=Lb/Tab per cui, sostituendo si ottiene:

Vm=(Vam+Vbm)/2 ==> L/3600=((La/Tab)+(Lb/Tab))/2 ==> L/1800=(La/Tab)+(Lb/Tab) ==>

==> L/1800=(La+Lb)/Tab

notiamo che La+Lb=L; sostituendo si ha:

L/1800=(La+Lb)/Tab ==> L/1800=L/Tab quindi

Tab=1800 secondi=30 minuti.

TEMPI MISURABILI

I tempi misurabili con le tre micce, oltre ad 1 ora e 15 minuti, sono:

A) 1 ora (ottenibile minimo con una miccia)
B) 2 ore (ottenibile minimo con due micce)
C) 3 ore (ottenibile minimo con tre micce)
D) 30 min.(ottenibile minimo con una miccia)
E) 1 ora e 30 min.(ottenibile minimo con due micce)
F) 2 ore e 30 min.(ottenibile minimo con tre micce)
G) 45 min.(ottenibile minimo con due micce)
H) 52 min. e 30 sec.(ottenibile minimo con tre micce)
I) 1 ora e 45 min.(ottenibile minimo con tre micce)

Tralascio i casi A,B,C che sono banali ed i casi D,E,F, deducibili facilmente dalla risposta di Marina Daniele e dalla mia dimostrazione.
Restando nei termini previsti dalla domanda tralascio anche il caso G, ottenibile senza utilizzare necessariamente tutte e tre le micce.
Detto ciò:

Caso H) 52 min. e 30 sec. (interessante!)

Accendiamo le tre micce contemporaneamente, ed, in particolare, ne accendiamo una ad entrambe le estremità;
appena quest'ultima sarà consumata totalmente, sarà trascorsa mezz'ora (vedi dimostrazione).
A questo punto accendiamo una delle due micce che restano e che stanno bruciando anche all'altra estremità;
appena quest'ultima sarà consumata, saranno trascorsi 15 minuti (la dimostrazione è identica a quella valida per 30 minuti, solo che in questo caso T=30 minuti e non 1 ora).
Quindi in totale saranno trascorsi 30+15=45 minuti.
A tal punto accendiamo la restante miccia, che sta bruciando, anche all' altra estremità;
appena essa sarà consumata, saranno trascorsi altri 7 minuti e 30 secondi.
Per cui il tempo totale trascorso sarà 30 minuti+15 minuti+7minuti e 30 secondi=52 minuti e 30 secondi.

Caso I) 1ora e 45 minuti

Accendiamo una delle tre micce ad una estremità; quando questa sarà consumata totalmente sarà trascorsa 1 ora.
A questo punto accendiamo le due restanti micce, ed in particolare, una ad entrambe le estremità;
quando questa sarà consumata saranno trascorsi altri 30 minuti per un totale di 1 ora e 30 minuti.
A questo punto accendiamo la restante miccia, che sta bruciando, anche all'altra estremità;
quando essa sarà consumata saranno trascorsi altri 15 minuti per un totale di 1 ora e 45 minuti.

Ugo Dell'Arciprete
Volevo segnalare un ulteriore tempo misurabile con le tre micce.
Esiste una combinazione che permette di misurare 67 minuti e 30 secondi, agendo così :

79. 2 + 2 = 5
proposto da ...
Caro Gianfranco, sono un bambino che tu ben conosci e ti vorrei porre questo quesito:

In attesa di una tua risposta ti saluto, come vedi anche i bambini visitano il tuo sito :-)))

>>> Risposte & riflessioni
Sei un bambino molto in gamba se fai queste domande.
Credo però che questo problema abbia una risposta negativa e provo a spiegarti il perché.
Vediamo.
Intanto bisogna dire che la base deve essere maggiore di 5, altrimenti non si potrebbe scrivere il simbolo 5.
Ora prova a rispondere.
In qualunque base >5:

La somma di due numeri pari, perciò, non può dare mai come risultato un numero dispari. Questo è un teorema che riguarda tutti i numeri naturali, indipendentemente dalla base in cui sono scritti.

Naturalmente non bisogna farsi ingannare dalla scrittura dei numeri: il numero 13, se viene inteso in base 5, è un numero pari!

78. Sequenza di numeri
proposto da Gianvittorio Righi
21 ======> 2
39 ======> 8
76 ======> 2
70 ======> 0
68 ======> ?

Cosa devo scrivere al posto di "?" e perché?

>>> Risposte & riflessioni
Ivan D'Avanzo
La regola è: moltiplicare il numero per 2 e riportare l'ultima cifra.
Infatti:

Gianvittorio Righi
La soluzione di Ivan D. è corretta ma non è l'unica giusta, ce n'è un'altra molto somigliante e posso dire che... oggi ho mangiato e mi hanno dato il resto.

Pietro Vitelli
Oltre alla soluzione proposta da Ivan D. ne ho trovate altre due:

1) La regola è: moltiplicare le cifre del numero tra loro; se il risultato del prodotto é un numero pari, riportare l'ultima cifra di esso; se il risultato del prodotto è un numero dispari, aggiungiamo una unità e riportiamo l'ultima cifra del risultato così ottenuto.

21 => 2x1=2 è pari, quindi =============> 2
39 => 3x9=27 è dispari quindi 27+1=28 ====> 8
76 => 7x6=42 è pari quindi =============> 2
70 => 7x0=0 è pari quindi ==============> 0

Quindi 68 => 6x8=48 è pari quindi ========> 8

2) La regola è: addizionare le cifre del numero tra loro, moltiplicare il risultato ottenuto per quattro e riportare l'ultima cifra del risultato finale così ottenuto.

21 => 2+1=3 ==> 3x4=12 =============> 2
39 => 3+9=12 => 12x4=48 =============> 8
76 => 7+6=13 => 13x4=>52 ============> 2
70 => 7+0=0 ==> 0x4=0 ==============> 0

Quindi 68 => 6+8=14 => 14x4=56 ========> 6

77. Stratagemma per predire il passato
proposto da Marco
Esefole e Mifro giocavano a Capo e Croce.
Esefole lancia per 10 volte consecutive la monetina ottenendo il seguente risultato:
1° Lancio: Capo
2°   "         Croce
3°   "         Capo
4°   "         Capo
5°   "         Capo
6°   "         Croce
7°   "         Capo
8°   "         Croce
9°   "         Croce
10°   "       Capo

Arriva AVICENNA...il filosofo! e Mifro -matematico- lo SFIDA.
"Caro Avicenna,........ Esefole ha fatto 10 lanci con la monetina e l'ultimo ha dato per risultato CAPO... sapresti tu Avicenna ricostruire in ordine inverso gli altri nove risultati?"
Avicenna gran filosofo non si scompone; aveva gia' risolto il caso della "Vipera" che affermava che chi l'avesse vista sarebbe morto.
E risolve il problema trovando una regola valida anche per tutti le combinazioni dei possibili lanci ottenibili con 10 tentativi.

Si premette che posto cosi' il problema e' insormontabile poiche' conoscendo solo l'ultimo risultato e' come dire se e' Capo, il penultimo puo' essere Capo o Croce al 50% e quindi sarebbe Predizione e non altro.
Ma Avicenna "nel suo famoso libro sugli animali" asseri' :passeranno x Lune e il mistero del predire sara' svelato?
E' l'ora propizia?
Il giocatore, (per facilitarlo), puo' servirsi anche dei risultati indicati nei 9 lanci ma deve descrivere la procedura esatta applicata.
Attenzione: e' quesito Difficilissimo.
Buona Fortuna.

76. Tagli facili
proposto da Gianfranco Bo
Il problema 6. Tagliare il cubo, proposto da Pier Luigi Zezza e risolto da Paolo Hägler mi ha dato l'idea per un problemino facile facile.
Lo propongo come relax, visto che ultimamente stiamo affrontando problemi un po' impegnativi, direi.

Vogliamo dividere un oggetto in un certo numero di parti, secondo un certo criterio.
Da quel che ho capito, esiste una certa relazione fra il minimo numero di tagli da fare e il numero di dimensioni dell'oggetto da tagliare.
Non azzardo di più, e pongo i seguenti quesiti.

Abbiamo un pezzo di spago lungo 90 cm e un paio di forbici. Vogliamo tagliare lo spago in 3 pezzi uguali, da 30 cm ciascuno.
E' possibile farlo con un solo taglio, cioé con una sola forbiciata?

Abbiamo un foglio di carta da 90x90 cm e un paio di forbici. Vogliamo tagliare la carta in 9 quadretti da 30x30 cm.
E' possibile farlo con due soli tagli, cioè due forbiciate?

Abbiamo un cubo di "gomma ideale" che misura 90x90x90 cm e una lama affilatissima. Vogliamo tagliare il cubo in 27 cubetti da 30x30x30 cm.
E' possibile farlo con tre soli tagli? (senza ricorrere alla quarta dimensione)

>>> Risposte & riflessioni
Gianvittorio Righi
Per i tagli della fune e del foglio ci si riesce piegando opportunamente sia la fune che il foglio.
Ora ti chiedo: possiamo piegare il cubo?
O meglio, ci dai la possibilità in modo astratto di farlo?

Alan Viezzoli
È sicuramente possibile tagliare una corda in tre pezzi con un solo taglio: basta piegare a metà la corda e tagliare a L/3 delle estremità (dove L è la lunghezza della corda).
È altresì posssibile tagliare un foglio di carta in 9 parti con due soli tagli: basta piegare a metà il foglio e fare il primo taglio a L/3 dal lato più lungo, poi si sovrappongano i tre pezzi di carta così ottenuti, si pieghino a metà e si tagli a L/3 dal lato corto (L è ovviamente la lunghezza
del lato del quadrato).
Non credo sia possibile tagliare un cubo in 27 cubetti con tre soli tagli.
Basti pensare che per tagliare la corda (...in senso letterale, non per sfuggire al gioco) che possiamo ritenere di una dimensione (lunghezza) siamo passati a una seconda dimensione (ripiegamento su se stessa) e per il foglio di carta (due dimensioni) siamo passati alla terza dimensione (sovrapposizione). Per tagliare il cubo dovremmo passare alla quarta dimensione, ma noi non siamo in grado di farlo.

75. Un orologio con due micce
proposto da Gianfranco Bo
Questo problema, del quale non conosco l'origine, compare nella sezione "Pensiero laterale logico-matematico", ma siccome ha destato l'interesse di diversi visitatori, lo ripropongo anche qui.
A dire il vero, c'é già qualche soluzione, ma aspetterò qualche altro intervento prima di inserirla.
Ed ecco il problema.
Hai 2 micce che bruciano esattamente per 1 ora quando vengono accese ad un estremo. Però, attenzione, esse non sono omogenee perciò non si consumano con regolarità mentre bruciano. Perciò non si può assumere che la lunghezza di miccia consumata sia direttamente proporzionale al tempo trascorso.
Come si possono utilizzare queste due micce per misurare esattamente 45 minuti?
Informazioni addizionali:

>>> Risposte & riflessioni
Marco Fiorini
Accendo una delle due micce da entrambe le estremità e l'altra da un estremità sola.
Quando la prima è completamente bruciata è passata mezz'ora
A questo punto accendo anche la seconda estremità della seconda corda.
Quando anche questa è bruciata completamente saranno passati tre quarti d'ora dall'inizio del giochino!

74. Acqua e vino
inviato da Gennaro Cangiano
Un noto problema di Martin Gardner è il seguente: si abbiano a disposizione due recipienti (di pari capacità), uno pieno di vino e l'altro di acqua.
Con un bicchiere si prelevi una quantità di vino e la si versi nel recipiente contenente acqua.
Dopo un po' si prelevi un bicchiere di miscela da questo recipiente e la si versi in quello del vino.
A questo punto entrambi hanno lo stesso volume di liquido, ma c'è più vino in acqua o più acqua in vino?
La risposta è ormai risaputa è che le percentuali sono pari.
Ma io aggiungo: se i travasi tra un recipiente e l'altro andassero all'infinito, come starebbero tra loro le quantità di vino e acqua in ciascun recipiente?
Cioè detto V quello contenente inizialmente vino e A quello contenente inizialmente acqua, dopo infiniti travasi, in quali rapporti staranno acqua e vino sia in V sia in A?

>>> Risposte & riflessioni
Paolo Hägler
Si avrà in V x/2 di vino, e x/2 di acqua (e così anche in A).

Vediamo perché.
Supponiamo che i due liquidi si mescolino uniformemente dopo ogni travaso, e siano x la quantità iniziale di ogni recipiente (quindi sia di acqua che
di vino) ed y la capacità del bicchiere (la quantità travasata ogni volta).

Dopo il primo prelievo di vino abbiamo (x-y) di vino (V) nel recipiente dove c'era vino, ed x di acqua e y di vino in quello dove c'era acqua (A).

Consideriamo la quantità di vino nel recipiente V, e denotiamola n0 all'inizio, n1/2 dopo il primo prelievo, n1 dopo il primo versamento (quindi dopo un ciclo completo).
Si ricostruiscono facilmente le equazioni:

Dalle quali si ricava n1=(x-y)/(x+y)n0+xy/(x+y), che è la formula ricorsviva della successione dove ni indica la quantità di vino in V (quindi anche quella di acqua in A) dopo i cicli.

Procedendo all'infinito questa operazione si giungerà al risultato che è soluzione dell'equazione (in z):

Ossia zx+zy=zx-zy+xy <=> 2zy=xy <=> z=x/2
Quindi si avrà in V x/2 di vino, e x/2 di acqua (e così anche in A).

73. Uccelli sull'albero
inviato da Gennaro Cangiano
In una campagna vi è un gran numero di uccelli (non importa quanti, ma molti) appartenenti a tre specie diverse.
Devono sistemarsi su un albero che conta in tutto 8 rami.
Sapendo che ogni ramo può essere occupato da un solo uccello, quante combinazioni di specie di uccelli si possono avere sull'albero, tenendo anche presente che sull'albero devono esserci almeno due specie diverse?

>>> Risposte & riflessioni
Gianfranco Bo
Nota: la formulazione di questo problema non mi è del tutto chiara. Tant'è vero che ho ricevuto 3 risposte diverse, ciascuna delle quali è basata evidentemente su una diversa interpretazione del testo. Per il momento le pubblico tutte e tre, nell'ordine in cui le ho ricevute.

Paolo Hägler
Il numero di combinazioni totali è 140.
Vediamo perché.
Il numero di uccelli viene supposto essere almeno 24, dei quali almeno 8 per specie.
Consideriamo il caso che sull'albero ci siano esattamente n (1<=n<=8) rami occupati.
Ciò significa che possono esserci p (0<=p<=n (escludiamo di seguito il caso in cui tutti gli uccelli siano della stessa specie)) uccelli della prima specie sull'albero, s (0<=s<=n-p) della seconda e t (=n-p-s) della terza.

Di conseguenza abbiamo 1+2+...+(n+1)= (n+1)(n+2)/2 possibili combinazioni di specie di uccelli, 1 se p=n, 2 se p=n-1, etc.

Tra queste figurano le 3 combinazioni (n,0,0), (0,n,0), (0,0,n) con tutti gli uccelli della stessa specie; quindi le combinazioni restanti sono
(n+1)(n+2)/2-3.

Ora il numero totale di combinazioni è dato dalla somma di (n+1)(n+2)/2-3 per n che varia tra 1 e 8.
Ossia dai numeri 0, 3, 7, 12, 18, 25, 33, 42.
Il numero di combinazioni totali è quindi 140.

Ivan D.
Possono trovarsi 4 possibili combinazioni di specie. Ovvero chiamate le varie specie A,B e C si possono verificare le seguenti combinazioni: ABC AB BC AC
Dato che le specie differenti devono essere ALMENO due.

Gennaro Cangiano
Il risultato per me è molto più grande ed è pari a: 6.558 (dal tutto elimino quel che non serve)
Che esplicitando le combinazioni diventa:
1. accoppiati a due a due, (762 sequenze, con ab,ac,bc prodotte da 21 combinazioni di numeri di uccelli per specie esclusivamente a due a due)
2. associati tutti e tre (5.796 sequenze, con abc prodotte da 21 combinazioni di numeri di uccelli di tutte e tre le specie sempre presenti).

Dove è evidente che 762+5.796= 6.558

P.S. quando m'imbattei in questo problema prima lo risolsi in modo "meccanico" vale a dire eliminando le tre combinazioni non volute (stesse specie) dalle totali, poi al solito mio mi complicai la vita e le calcolai TUTTE una per una (invero mi divertii) arrivando appunto alla somma dei parziali. Come vedi i risultati coincidono e questo mi conforta della esattezza della risoluzione.Gennaro Cangiano.

72. La divisione delle uova
inviato da Ivan D.
Vi propongo un simpatico quesito:
Attorno ad una tavola vi sono 12 ragazzi. Al centro della tavola c'è un cestino con 12 uova. Ogni ragazzo prende un uovo. Alla fine nel cestino ne resta ancora uno.

>>> Risposte & riflessioni
Paolo Hägler
Al tavolo ci sono 11 ragazzi (maschi) ed una ragazza.
Quindi 12 ragazzi in totale (il gioco sta qui, nel plurale di un gruppo misto per il quale in italiano si usa sempre il maschile).
Ogni ragazzo prende 1 uovo, quindi 11 uova in totale sono prese, e nel cesto ne resta uno perché non viene detto che la ragazza ne prende uno anche lei.

Ivan D. rilancia la sfida
Esiste anche un'altra soluzione, senza giochi di parole, chi sa dirmi qual è?

Lorenzo Navari
Sulla tavola c'è un cestino con 12 uova... può significare che le 12 uova sono fuori dal cestino.
Non è stato detto che anche nel cestino c'è un uovo il quale ovviamente non viene preso ed alla fine resta nel cestino.

Alan Viezzoli
Ogni ragazzo prende un uovo e l'ultimo prende anche il cestino così un uovo è ancora dentro il cestino.