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Ricreazioni di Novembre 2001

174. Il problema di Felix
proposto da Julius
Scusate ma io un matematico non sono! E mi rivolgo a voi per la soluzione di un'enigma, probabilmente semplice, ma per me impossibile. Fatemi sapere gentilmente la risposta e in quanto tempo l'avete trovata!
Grazie.

Esempio: 2458(23)7321
Quesito: 3221(..)1964

Sembra che la risposta corretta sia 00020.

Perché?

>>> Risposte & riflessioni
Albi
Prova 11. Se non va bene, proviamo a trovare la soluzione forzando il tuo programma, E POI DIAMO UNA SPIEGAZIONE.

Julius
Albi a questo punto sono d'accordo con te!
Se mi dici come posso fare a forzare, lo facciamo! Ma pensa che ci sono 365 livelli da superare e il quesito che vi ho posto è il 35mo! Mica possiamo forzarli tutti??!!
E poi è un software in dos, che ormai è in disuso.
Il linguaggio del programma è RUSSO. Chi cavolo lo conosce il russo! E' accessibile per me perchè i quesiti sono matematici, e non linguistici!
Mi sa che dobbiamo trovare la soluzione giusta,per passare alla prossima!

Archimede
Non potrebbe essere la somma delle cifre dei due numeri invertendo decine con unità?

2458 (23) 7321 (2+4+5+8)+(7+3+2+1) = 32 girando 23

Julius
Quindi per quanto riguarda il quesito:

3+2+2+1 + 1+9+6+4=28 invertito 82

Tommaso Grassi
Dato: 2458(23)7321
trovare: 3221(..)1964

1) Prendendo la tabella così costruita:
+ .2 .4 .5 .8 .Somma righe
7 .9 11 12 15 .47
3 .5 .7 .8 11 .31
2 .4 .6 .7 10 .27
1 .3 .5 .6 .9 .23
..............128

Notiamo che 23 (in rosso) è il minimo della colonna delle somme quindi per l'altra coppia di numeri, [3221(..)1964], costruiamo la tabella:

...3 .2 .2 .1 .Somma righe
1 .4 .3 .3 .2 .12
9 12 11 11 10 .44
6 .9 .8 .8 .7 .32
4 .7 .6 .6 .5 .24
...............112

Questa volta il minimo è 12 (in rosso). Abbiamo quindi 3221(12)1964.

2) Facendo riferimento alle medesime tabelle la somma delle somme delle righe è rispettivamente uguale a 128 e a 112. Il primo numero diviso 16 dà 8. Notiamo che il numero 8 (in blu) si trova in posizione (2,3). Il (23) esprimerebbe quindi questa posizione. Se procediamo con un ragionamento analogo nella seconda tabella abbiamo 112/16=7; il primo 7 (in blu) che incontriamo si trova in posizione (3,4). In questo caso abbiamo dunque 3221(34)1964.

3) La somma delle cifre della prima coppia di numeri (2+4+5+8+7+3+2+1) è 32 cioè 23 con le cifre invertite. Ne deduciamo che, dato che la somma delle cifre della seconda coppia di numeri è 28, il numero da mettere nella parentesi è 82 ottenendo così 3221(82)1964.

Enrico Delfini
Riguardo il quesito di Felix: credo che due "items" siano sempre pochi per definire in modo univoco una relazione.
Nel caso in esame forse c'è più di una "regola" per ottenere 20 alla seconda riga.
Secondo me la più semplice è fare la somma delle singole cifre dei due gruppi di quattro cifre. Nella prima riga si ottiene 19 a sin e 13 a dx. Sommando al totale di destra la cifra il numero di decine della somma di sinistra: 13+1 decina = 23.
Nella seconda riga si ottengono 8 e 20; non ci sono decine a sin: 20 + nessuna decina = 20.

173. Triangolo ottusangolo
proposto da Dino
Se qualcuno non conosce ancora questo bel problema di Gardner......
Dato un qualsiasi triangolo ottusangolo, dividerlo in tanti triangoli tutti acutangoli o dimostrare l'impossibilità.
Buon divertimento.

>>> Risposte & riflessioni
Dino

172. Formula di Pick
proposto da Riccardo
Il lato del quadratino della superficie quadrettata (su cui è disegnato il poligono) misura 1 cm.

Trovare l'area del poligono.
A disposizione ci sono solo i quattro segni operatori: + (più), - (meno), * (per), e / (diviso); ognuno si può usare una sola volta, ma non necessariamente tutti.

>>> Risposte & riflessioni
Gianfranco Bo
La formula a cui ti riferisci probabilmente deriva dal Teorema di Pick. Siccome è molto interessante gli dedicherò una pagina sul sito.

Se disegnamo in un foglio quadrettato un poligono che abbia tutti i vertici nelle intersezioni delle linee di quadrettatura (lattice piano), l'area del poligono si può trovare con la formula di Pick.

La formula di Pick è:

Area = B/2 + I -1

(chiamo "punto" l'intersezione di due linee di quadrettatura)

Dove:
I è il numero dei "punti" interni al poligono
B è il numero dei "punti" che si trovano sul perimetro del poligono, compresi i vertici.

Nel tuo poligono:
I = 9
B = 20
Perciò l'area è 20/2 + 9 - 1 = 18 quadretti.

Salvo errori & omissioni.

171. Il numero e
proposto da Giovanbattista
Qualcuno sa dirmi dove trovare la dimostrazione che:

>>> Risposte & riflessioni
Gianfranco Bo
Andando a ripassare i miei antichi studi, provo tracciare la dimostrazione.

1) Si considera la grandezza variabile:

dove n assume valori interi e positivi.
Si dimostra che per n->oo, la variabile ha un limite compreso tra 2 e 3.

2) Si definisce numero e il limite della variabile per n->oo.

3) Sulla base della dimostrazione precedente si dimostra quindi che:

dove x assume valori reali.

Le dimostrazioni si possono trovare in un qualunque testo universitario di Calcolo differenziale e integrale o di Analisi matematica.

Non ho la forza di scrivere la dimostrazione in Html.

170. Che cos'é?
proposto da Riccardo

>>> Risposte & riflessioni

Una poteosi! Un plebiscito! Un suffragio un'iversale
Tutti hanno risposto (più o meno):

"Le estrazioni dell'otto"

Una raffinatezza da Sprmnt21
Direi il gioco dell'8!
Un altro modo per avere la stessa risposta e' una tabellina quadrata 3X3 con una casella bianca e le altre con dei numeri.

169. Cento maghi
proposto da Tommaso Grassi
Nell'isola di (qualsiasi nome va bene) ogni anno si tiene il simposio dei maghi dove, da una apposita commissione, vengono testate le abilità della comunità mondiale delle arti occulte.

Quest'anno, ai 100 maghi presenti, viene proposto il seguente problema: si devono disporre in fila lungo una retta. Sono tutti orientati dalla stessa parte e non possono ruotare la testa in nessun modo ne tanto meno sollevarla. Ognuno di essi ha in testa un cappello di un determinato colore (di tre varietà: rosso, verde e blu) disposti in quantità e in ordine totalmente casuale (per intendersi: è possibile, ad esempio che vi siano 100 cappelli rossi come nessuno).

Esempio:

RVBRBRVRBRBRVRBRVRVR
VVRBRVRBRVRVRVRRRRRB
RVRBBVBRVRBVRBVRVRBR
VRBBRRVRBRBRBVRRBRBV
RBRVRRVRVRRBRRBRVRBR

Lo scopo del gioco è il seguente: indovinare il colore del proprio cappello (senza, ovviamente, levarselo dalla testa e guardarlo).
Ogni mago può dire una sola parola e questa deve essere naturalmente il proprio colore.
In ordine, partendo dal primo, ad ognuno viene chiesto il colore.
Se risponde in modo scorretto muore altrimenti sopravvive.
Per fortuna si possono mettere previamente d'accordo su una strategia da adottare al momento della verifica.
Il tuo scopo, o lettore, è di suggerire ai maghi una strategia che ne salvi il maggior numero possibile.

Prima di rispondere in modo banale leggi qui:

1) Siamo in uno spazio euclideo quindi soluzioni iperboliche e simili non sono ammesse
2) I maghi sono disposti su un piano lungo una linea retta
3) Non sono ammessi specchi o altri simili espedienti
4) Non si può ricorrere a soluzioni che utilizzano fattori ambientali (del tipo: se sono sotto il sole il cappello blu si scalda più degli altri)
5) I maghi non possono usare particolari intonazioni della voce o simili espedienti
6) Non si conosce a priori il colore dei cappelli
7) Anche se sono maghi non possono ricorrere ad arti magiche di nessun genere (cioè: si potrebbe fare lo stesso gioco con chiunque disponga di una testa per mettere un cappello e sia capace di parlare)
8) I maghi possono interagire tra di loro solo tramite la voce
9) Siamo sulla terra (Niente lenti gravitazionali o stratagemmi di tale stampo)
10) I maghi non possono ricevere suggerimenti da altri individui
11) Niente telepatia!
12) Niente statistica, stocastica e scienze affini
13) Non mi vengono in mente altre restrizioni

Adesso che hai letto tutto questo e stai per rispondere "75!" ti dico che devi salvarne almeno 99.
Buona fortuna!

Sicuro di volere leggere la soluzione ora? (questo ti priverà di notti insonni, ore e ore perse a pensare ai maghetti, frustrazione...)

>>> Risposte & riflessioni
I maghi assegnano un numero ad ogni colore.
Ad esempio: blu = 0, rosso = 1 e verde = 2. Il primo mago (quello che riesce a vederli tutti) dice il colore corrispondente alla somma in base tre di tutti quelli che ha davanti a sé il secondo sottrae la somma di tutti quelli che ha davanti a sé venendo così a sapere il proprio colore e così via.
E' chiaro che il primo ha una possibilità su tre di morire.
Esempio for dummies: con quattro maghi nel seguente ordine:
rosso, verde, rosso, blu -> 1, 2, 1, 0 la cui somma è 2+1+0 = 3 che espressa in base tre è 0. Il primo mago (rosso) dice quindi "blu" perché corrisponde a 0.
Il secondo sommando 1 + 0 = 1 capisce che 3 - 1 = 2 = verde.
Il terzo vede zero di fronte a sé e capisce che, in base ai precedenti 3 - 2 = 1 = rosso.
L'ultimo non avendo niente di fronte fa 3 - (2 + 1) = 0 = blu.

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