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Ricreazioni di Novembre 2002
290. Un'altra bizzarria
di Enrico Delfini
Scriviamo i numeri naturali in fila, così suddivisi:
1 2,3 4,5,6 7,8,9,10 ....
cancelliamo i gruppi composti da un numero pari di numeri.
La somma di n gruppi rimasti = n^4
Oppure:
1,2,3,4,5,6,7,8...
raggruppando i termini a gruppi di 1-3-9-27.., la somma dà:
1=3^0 2+3+4=3^2 5+6+7+8+9+10+11+12+13=3^4
C'è almeno un numero primo che,raddoppiato e aumentato di 1,
genera un altro numero primo,e che conserva questa proprietà
per 5 passaggi. Qual è?
>>> Risposte & riflessioni
CFB
2
5 = 2*2+1
11= 2*5+1
23= 2*11+1
47= 2*23+1
97= 2*47+1
Andro
No, 47*2+1=95 che non è primo.
CFB
ok.
un numero primo termina con 1, 3, 7, 9.
se il numero da cercare terminasse con 1 avrei come numeri
che indicano l'unità xxx1, xxx3, xxx7,xxx5 che non è primo
se terminasse per 3 o 7 sarebbe riconducibile al caso
precedente, implica che il numero deve finire per 9, infatti
2*xxx9+1=yyy9
da cui un numero è (se non ho fatto altri errori)
89
179
359
719
1439
2879
Ps ho controllato con la calcolatrice sembra che non abbia
fatto errori di calcolo.
Andro
E allora caro cfb, ora ti faccio i complimenti per il
ragionamento sulla cifra finale del numero primo in questione
e per la conseguente risoluzione del quesito.
Bravo davvero!
Francesco Veneziano
La proprietà si dimostra per induzione con passaggi tortuosi.
Caso iniziale:
la somma del primo gruppo è 1^4=1
Passo induttivo
Ipotizziamo che la proprietà valga per i primi n gruppi
dispari.
L'ennesimo gruppo contiene 2n-1 elementi, e il suo
ultimo elemento è n(2n-1).
Dopo vi è un gruppo pari, che contiene 2n elementi, il cui
ultimo elemento è n^2-n+2n=n^2+n
Quindi vi è un altro gruppo dispari (n+1-esimo)che contiene
2n+1 elementi, e il cui ultimo elemento è n^2+n+2n+1=n^2+3n+1
La somma degli elementi di quest'ultimo gruppo è data
dalla somma dei primi n^2+3n+1 numeri meno la somma dei primi
n^2+n numeri.
Dopo qualche passaggio questo valore è di 4n^3+6n^2+4n+1,
che, aggiungendo n^4 che è la somma di tutti i gruppi
dispari più piccoli, diventa (n+1)^4
QED
Enrico D.
Molto elegante il ragionamento di cfb.
Altre doti dell'89:
essendo (?!) l'undicesimo termine della serie di Fibonacci il
periodo di 1/89 è 0,112358..
Partendo da qualsiasi numero (mi pare) e facendo la somma dei
quadrati delle sue cifre, e reiterando questa procedura, i
casi sono due: o si arriva a 1 (13; 1+9;10;1) o ci si
incastra in un loop (giro della morte) che passa da 89.
Provare per credere, o per smentirmi.
289. I cinque pedoni
di Giorgio Dendi
In cinque caselle consecutive allineate si trovano
cinque pedoni, uno per casella. Trovare la loro posizione
sapendo che vi è un pedone nero posizionato fra due pedoni
bianchi; non vi sono pedoni bianchi consecutivi; due pedoni
estremi sono di colore diverso; il secondo pedone partendo da
sinistra è nero.
Questo problema è stato presentato a Parigi, alle gare di
matematica del 2001. Mi sembra che fosse uno dei primi, forse
proprio il primo, destinato ai più giovani, e in questi
giorni l'ho rivisto, mentre davo un'occhiata ai
problemi degli anni precedenti. C'è posto per scrivere
due soluzioni. Chi vuole scommettere un euro contro 10 miei?
Io dico che nessuno indovina la soluzione che ho trovato io.
>>> Risposte & riflessioni
Ivana
Sono arrivata alle seguenti due risoluzioni:
1) Bianco nero bianco nero nero
2) Nero nero bianco nero bianco
Coincidono con le tue?
Enrico D.
Si potrebbe aggiungere B-N-N-B-N , interpretando in modo
"allargato" la prima condizione: dove ci sono due
neri tra due bianchi, c'è anche "un nero".
Ivana
So che le tre risoluzioni proposte da Enrico e da me sono una
dipendente dall'altra, nel senso che la seconda e la
terza rappresentano le due possibili "rotazioni"
della prima, però non vedo altri "percorsi indipendenti",
rispettosi dei vincoli posti dall'enunciato, fattibili......
Giorgio Dendi
Chi risponde, tacitamente accetta la scommessa. I risultati
parziali sono: Ivana mi deve 2 euro; Enrico mi deve 1 euro.
Altri scommettitori?
Ivana
Mi sembra che tu, Giorgio, abbia indossato i "panni"
di un vero "signore feudale", rispolverando una
vecchia tassa: il pedagico (per il passaggio in una strada,
quindi .....per gli interventi nel tuo thread!);-))
Ti chiedo di considerare il forum come "allodio",
cioè una "proprietà" libera da ogni gravame
feudale.........;-))
Quanto sopra ha lo scopo di precisare che il mio secondo
intervento è stato puramente esplicativo delle risoluzioni
precedentemente fornite, per cui, per ora, ti devo al più
unicamente un euro, sempre che la strategia risolutiva da te
escogitata sia matematicamente ineccepibile e che non si
tratti soltanto di un simpatico scherzo, basato su un
particolare gioco di parole......;-)
288. Scambiare centesimi per euro e
viceversa
di Ivana Niccolai
Sono andata in banca, perchè mi venisse pagato un
assegno, l'unica cosa che io avessi dentro il portafoglio; il
cassiere , molto distratto, mi ha dato euro per la cifra dei
centesimi e centesimi per la cifra degli euro.
Dopo aver comprato in panificio un po' di focaccia, spendendo
73 centesimi, mi sono accorta di avere nel portafoglio
esattamente il doppio del mio assegno iniziale.
Qual era la cifra esatta del mio assegno, prima che il
cassiere facesse confusione?
>>> Risposte & riflessioni
Damiano
41.84
Ivana
Sì, bravissimo!
Enrico D.
Oppure 8 e 17. Lo so che resta un centesimo, ma lo diamo ad
Andro che cerca Castel del Monte!
Ivana
Per Damiano e per Enrico
Scusate Damiano ed Enrico, potete gentilmente spiegare le
vostre strategie risolutive?
Io ho soltanto inventato il problema, avendone letto (o,
forse, sentito raccontare!) uno simile, ma per risolverlo ho
proceduto esclusivamente per...tentativi...
Sono sicura che voi avete utilizzato procedure più...adeguate...
Grazie anticipatamente
Ivana
P.S. Se non potessi rispondervi per alcuni giorni, ritenetemi
assente giustificata, a causa della mia prevista
partecipazione a TED...
Enrico D.
Il mio metodo, assai artigianale, è stato più o meno questo:
per prima cosa ho appurato, agendo solo mentalmente, che non
poteva esserci soluzione in cui l'esborso di 73 cent non
comportasse lo scarto "in basso" del numero degli
euro. Il numero dei cent.(sbagliato) al momento della spesa
deve essere inferiore a 73. Dal momento che c'è un ribasso
nel numero degli euro, la quantità dei cent. (veri)
dell'assegno deve essere il doppio della quantità degli euro
+1 o +2.
A questo punto ho preso carta e penna e ho fatto due o tre
prove con coppie di numeri tipo 10-21 ; 11-23 ; 12-25
osservando lo scostamento dal risultato atteso (una specie di
derivata?!); estrapolando la serie nella direzione indicata
dall'incremento o decremento dell'errore, ho potuto prevedere
che 8-17 era "quasi rete", ma che con coppie del
tipo n-2n+1 non c'era niente da fare. Ho ripetuto due o tre
tentativi con coppie del tipo 35-72 ; 36-74 arrivando a
prevedere, e poi confermare la coppia vincente 41-84.
Temo di non essere stato molto chiaro, ma il fatto è che
effettivamente il ragionamento non è stato molto chiaro per
davvero....;-)
Damiano
Felice di accontentarti, Ivana.
Chiamando C il numero di centesimi ed E quello degli euro, ho
impostato l'equazione:
C+E/100-73/100 = 2(E+C/100)
che, sviluppando, diventa
98C=199E+73 .
A questo punto ho cercato di avere il secondo membro
divisibile per 98, notando che si può scrivere come
(98*2E)+(3E+73) .
In altre parole, deve essere 3E+73 multiplo di 98; dato che
98-73=25 (che non è multiplo di 3) mentre 2*98-73=123,
ricavo quindi che 3E=123 ossia E=41.
Di conseguenza C=(98*2E+3E+73)/98=2E+(196/98)=82+2=84 .
Et voilà...
CIAO ! D.
Sprmnt21
L'equazione risolvente il problema e' una diofantina lineare
in due incognite. Questo e' un tipo di equazioni diofantine
che e' sistematicamente risolvibile.
Le soluzioni, se esistono, sono infinite (quella
ingegnosamente trovata da Damiano e', in un certo senso, solo
la piu "piccola").
In giro per la rete si trova tanta roba sulle equazioni
diofantine.
All'indirizzo
http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/linear.html
si trova, ad esempio, un simpatico solutore automatico.
Damiano
Giusto, sprmnt!
La "mia" soluzione è la più piccola: ho
dimenticato di specificare le condizioni dettate dal problema
che C ed E siano entrambi compresi tra 0 e 99.
287. Gemelli identici sinceri e
bugiardi
di Paolo P.
Stavolta i sinceri/bugiardi sono due gemelli
identici.
Hanno però una strana particolarità. Quello che dice sempre
la verità è assolutamente corretto nelle sue convinzioni,
ossia tutto quello che crede vero è effettivamente vero e
tutto quello che crede falso è effettivamente falso, mentre
il suo gemello mentitore possiede solo convinzioni errate,
ossia tutto quello che pensa sia vero è invece falso e
viceversa.
Così pare che i gemelli debbano fornire la stessa risposta a
qualsiasi domanda che presupponga risposte del tipo si/no. Ad
esempio se chiederete loro se è vero che 2+2 fa 4, entrambi
risponderanno sì, uno perché lo ritiene vero e dice la
verità, l' altro perché lo ritiene falso e vuole
mentire.
E' comunque possibile distinguere i gemelli facendo loro
solo domande del tipo si/no?
Se è possibile, quali sono le domande da fare?
N.B. Anche questo l'ho pescato adesso adesso in rete. La
soluzione c' è, ma prima di guardarla voglio pensarci
anch'io, per cui, se alla fine sarà una bufala, non
mandatemi a quel paese.
>>> Risposte & riflessioni
Enrico D.
Cosa si intende per "convinzioni errate"?
Se si tratta di eventi esterni, come nell'esempio di 2+2, lo
si capisce bene, ma se la domanda è del tipo "In questo
momento hai gli occhiali?" è possibile avere
convinzione errata?
E se gli chiedo " Mi presti 10 euro?" e porgo la
mano, cosa devo aspettarmi?
Mi fuma la testa..
Enrico
Damiano
Secondo me c'è un paradosso.
Infatti il bugiardo non può possedere "solo convinzioni
errate" e contemporaneamente essere conscio di essere
bugiardo e voler mentire.
Faccio un esempio con una domanda trabocchetto: «Sei
bugiardo?»
Il sincero, ben sapendo di non essere bugiardo, risponde con
una certa indignazione «NO !».
Il bugiardo, invece, si troverebbe in difficoltà. La verità
è che lui è effettivamente bugiardo, ma in tal caso -
essendo errate tutte le sue convinzioni - egli dovrebbe
pensare di essere sincero, o perlomeno di dire la verità una
volta ogni tanto; d'altra parte egli dovrebbe sempre voler
mentire e quindi risponderebbe «SI' !».
Sembrerebbe un'ottima soluzione del problema, se non fosse
che una persona convinta di non mentire sempre non può voler
sempre mentire... o forse sì?
Mi sa che rischio di scatenare un dibattito filosofico.
Voi cosa ne pensate?
CIAO! D.
Ivana Niccolai
Sono d'accordo con Damiano!
Ciao
Ivana
Elle
Se ho capito bene il gioco credo che sia possibile. Per
esempio, se si chiede: "Tuo fratello e' sincero?"
Otterremo queste risposte:
Il gemello Sincero risponera' NO;
Il gemello Mentitore e' convinto che il fratello sia un
bugiardo ed essendo un mentitore rispondera' SI.
Ciao, L
286. Ore... quadrate
di Clelia
Quesito facile facile facile... (non ricordo di
averlo già visto in giro su base cinque).
Un orologio digitale indica le ore da 00.00 a 23.59. Quante
volte, durante la giornata, il numero che indica le ore e
quello che indica i minuti sono contemporaneamente quadrati
perfetti?
>>> Risposte & riflessioni
Riccardo
Infatti, considerando anche:
00:00
si avranno i seguenti orari:
00:00 00:01 00:04 00:09 00:16 00:25 00:36 00:49
01:00 01:01 01:04 01:09 01:16 01:25 01:36 01:49
04:00 04:01 04:04 04:09 04:16 04:25 04:36 04:49
09:00 09:01 09:04 09:09 09:16 09:25 09:36 09:49
16:00 16:01 16:04 16:09 16:16 16:25 16:36 16:49
per un totale di 40 volte.
285. Nei numeri c'è davvero di tutto
di Enrico Delfini
Questo divertissement (ammesso che sia
divertente) è più spettacolare con numeri abbastanza
lunghi, ma funziona anche con quelli più "normali".
Si prenda un numero qualsiasi (es.:384) e lo si moltiplichi
per un numero formato da n cifre uguali (n>=2) per es.:6666.
Il prodotto (2559744) lo dividiamo separando le n cifre di
destra (n=4, quindi 9744) e sommiamo a questo la parte
restante del prodotto. 9744+255= 999
Il risultato è sempre una sequenza di cifre uguali.
Per la serie: la matematica è utile nella vita, vi offro
anche questa, che si presta a spettacolari giochi di
premonizione.
Si sceglga un numero di quattro cifre, che non sia formato da
quattro cifre uguali. Si ri-ordinino le cifre dalla più alta
alla più bassa e viceversa, e si faccia la sottrazione tra i
due numeri così ottenuti. Ripetere l'operazione con il
risultato e continuare fino ad arrivare a....
Es. sia il numero scelto:7482;
8742-2478=6264
6642-2466=4176
7641-1467=6174
>>> Risposte & riflessioni
Enrico Delfini
Ne sparo un altro paio.
Una, del tipo demenziale, è questa:
Cosa hanno di speciale i numeri 40.311;40.312;40.313;40.314 e
40.315? Si tratta della più lunga sequenza di numeri interi
che.....
Più seria, e non so se già nota, questa:
Conoscete un modo, semplice o comunque più semplice del
procedimento normale, per saggiare la divisibilità di un
numero contemporaneamente per 7, per 11 e per 13?
Ovviamente il meccanismo è utile particolarmente se si
tratta di numeri "grossi", permettendo di agire con
numeri al massimo di tre cifre.
Buon lavoro a tutti
Per l'altra "stranezza" vi svelo che 40.311 e
soci sono la più lunga sequenza nota di interi consecutivi
che hanno lo stesso numero di divisori (8).
Come avete fatto a vivere fino ad ora senza saperlo?
284. Tre numeri primi
di Enrico Delfini
Mi rendo conto che si tratta di un'ennesima "follia"
e che non può essere considerato un quesito o una sfida,
perchè e praticamente impossibile, ma se qualcuno vuole
provarci...
5 ; 71 e 369119 sono tre numeri primi ( e sono i soli almeno
sotto i due milioni) che detengono una particolarità.
Lavorando con i primi due, a misura d'uomo, si può forse
scoprire qualcosa; controllare il sospetto con il terzo
potrebbe essere un po' più arduo. Provateci e "postate"
i vostri sospetti. Se sarete sulla strada giusta, vi darò un
"aiutino".
>>> Risposte & riflessioni
283. Facilino
di Birra alcolizzata
Lascio cadere una pallina per terra da l'altezza di 1m.
Sapendo che ogni volta che lpallina rimbalza torna ad 1/2
dell'altezza da cui è caduta. Quale distanza percorre in
totale la pallina?
>>> Risposte & riflessioni
Paolo P.
Mi sembra di averlo già visto, comunque 3 m.
Ivana Niccolai
Se volessimo seguire il ragionamento di Zenone?
1+1/2+1/4+1/8+1/16+ecc.
Si tratterebbe di una "serie geometrica convergente"
la cui somma vale due!
Dico, allora, 2m
Paolo P.
Giusto, più il metro iniziale = 3m. Ossia scende di
1m rimbalza e sale di 1/2 m e riscende di 1/2 m = 1 altro m
in tutto poi rimbalza e riscende di 1/ + 1/4 = 1/2 e così
via
In definitiva:
1 + (1/2 + 1/2)+ (1/4+1/4)+ (1/8+1/8)......=
= 1 + la serie 1+1/2+1/4+1/8+1/16......
282. Un caso per l'ispettore Holmes
di Ivana Niccolai
Ho tratto il seguente problema da un libro di M.L.Caldelli
L'ispettore Holmes deve risolvere un nuovo caso: in una
villa è stato commesso un furto di gioielli; tre sono le
persone sospettate: la contessa proprietaria della villa, il
suo maggiordomo e il noto ladro Arsenio Lupin.
Dagli interrogatori Holmes ha accertato che:
1) la contessa è colpevole o il maggiordomo sta mentendo o
Arsenio Lupin non era nella villa;
2) se la contessa non è colpevole allora o il maggiordomo
sta mentendo o A. Lupin era nella villa;
3) il maggiordomo non sta mentendo.
Chi ha commesso il furto di gioielli?
L'ispettore, buon logico, ha risolto il caso con una corretta
deduzione, quale?
>>> Risposte & riflessioni
Paolo P.
Senza addentrarsi nelle conessioni logiche, si vede
subito che, SE IL PROBLEMA AMMETTE UNA SOLUZIONE E SE C' E UN
COLPEVOLE, il colpevole non può essere che la contessa, in
quanto è l' unica candidata.
Infatti con qualsiasi ragionamento arriveremmo solo a
stabilire che Lupin era o non era nella villa ( o al limite
che il maggiordomo mente o non mente, qui già risolto al
punto 3), il che non significa necessariamente che sia
colpevole.
PS Posso sperare in un oblio pietoso per la poesia? In fondo
era tutta seria, a parte l' ultimo versaccio.
Ivana
Benissimo!
Pensa che io, per risolverlo , mi sono, faticosamente,
costruita la tavola di verità .
281. qualcosa di strano
di Clelia
Qualcosa di strano ha il discorso qui riportato.
A prima vista può darsi non appaia, ma studiandolo in
profondità si nota una sua particolarità. Lo so, non ci
sono sbagli, l'ortografia risulta giusta; il suo significato,
magari un po' strampalato, non origina molti dubbi. Tuttavia,
a guardar con sagacia, qualcosa di strano si nota. Ma cosa?
>>> Risposte & riflessioni
Alan V.
Mah... noto la mancanza di un simbolo grafico
primario in ogni discorso, quasi mai lontano da frasi comuni.
Clelia
Intendi lo stesso simbolo che manca nella tua frase?
Francesco Veneziano
E che dire del romanzo di Perec "La scomparsa",
scritto interamente senza e (che in francese è la lettera più
frequente)?
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