Ricreazioni di Settembre 2001

162. Un problema di geometria
proposto da Sprmnt21
In un sito di cui adesso non ricordo(*) l'indirizzo e' stato proposto e, al momento, e' rimasto aperto il seguente problema:

dato un generico triangolo ABC, determinare sulla circonferenza circoscritta un (**) punto P tale che (1) PA+PB=PC. Del problema ho trovato una soluzione elementare (con riga e' compasso cioe').
Chi ci vuole provare?

Ciao
Sprmnt21

(*) appena posso recupero l'URL e il nome del propositore e li posto.

(**) sono da discutere le condizioni per cui ci sia uno, nessuno o piu' punti che soddisfano la relazione (1).

161. Elena o Elda?
proposto da Gennaro Cangiano
Salve, ecco un bel rompicapo! "siete in vacanza, è una bella mattinata piena di sole siete sulla terrazza del vostro hotel, v'accorgete di una bella ragazza conosciuta la sera prima; ma non ricordate se si chiama Elena o Elda.
La ragazza è affascinante, sdraiata al sole come si suol dire pigramente rilassata.
Vi avvicinate e le chiedete il nome.
Lei vi guarda e ammiccando risponde "Elena".

>>> Risposte & riflessioni
Lorenzo Navari
Prima soluzione :

Supponiamo che la ragazza voglia imbrogliarmi... come fa a sapere che io sono in dubbio tra i nomi Elena ed Elda? Quindi Elena è il suo vero nome.

Seconda soluzione:
'Giusto' è il mio nome
quindi 'Elena e (congiunzione) Giusto'............

Terza Soluzione:
Considerando che la tua ipotesi su dove sono io e su cosa stia pensando/facendo sia racchiusa tra apicini (") ti rispondo:
Sbagliato: non sono in vacanza e non sto vivendo quanto dici.

Lorenzo Navari
Intanto provo a rispiegarti le soluzioni 2 e 3 dove veramente la terza credo sia quella buona.

La seconda soluzione gioca sulle parole:
se invece di chiamarmi Giusto mi fossi chiamato Lorenzo avrei risposto Lorenzo ?

La terza soluzione è la risposta ad una affermazione del tipo:

Tu sei ringiovanito di circa quaranta anni ed oggi è il tuo compleanno, dato che ti piace il gelato ne stai mangiando uno insieme ad un tuo amico.
Il suo è alla crema. Giusto?
La conferma di esattezza non si riferisce al gusto del gelato (ultima parte della frase) ma è tutta l'affermazione che vorrebbe essere confermata.
Quindi potresti dire : Sbagliato: Non sono ringiovanito, Non è il mio compleanno, Non sto mangiando alcun gelato con nessun amico etc.etc.

Gennaro Cangiano
Rispondo a Lorenzo Navari, intanto mi dispiace che tu non stia in vacanza e non stia vivendo un felice incontro. La ragazza si chiama Elda, perchè?
Ciao. Gennaro

Lorenzo Navari
Da quanto dice Gennaro la ragazza si chiama Elda.
Da ciò deduco che i miei sforzi per voler dare comunque una risposta non sono stati sufficienti.
Però poiche questo è il mio modo di fare voglio tentare ancora di dare comunque una risposta a questa seconda domanda.

Domanda: La ragazza si chiama Elda, perchè?
Risposta: Perchè quello è il nome che le hanno dato quando è nata.

Intanto mi prendo un po' di tempo per ripensare al quesito in principale.

Gianfranco Bo
Onestamente io credo che la primissima soluzione di Navari sia acuta e soddisfacente.
Però... Cangiano ci ha detto che la ragazza si chiama Elda.
Perché?
Forse perché ha "ammiccato". Se uno ti dice il suo vero nome, non ammicca.
Ma ho voluto fare di più e mi sono chiesto: "Mi è mai capitato che una ragazza che conoscevo da poco, ammiccando, mi abbia dato un nome falso?"
Mi è capitato qualche volta con ragazze gemelle che, per scherzo, si sono scambiate i nomi.
Dunque la storia è questa: io e il mio gemello abbiamo conosciuto Elena e Elda che sono due gemelle.
A me piace Elda ma a Elda piace il mio gemello, perciò, per la proprietà transitiva, a me piace il mio gemello, ma questa è un'altra storia.
Al mio gemello purtroppo piace Elena perciò, Elda, avendomi scambiato per il mio gemello, dice di chiamarsi Elena sperando così di ottenere almeno "Un gelato al limon".
A questo punto io, che ho capito che è Elda, fingo di essere il mio gemello che si chiama Giusto e le offro il gelato.
Scusate,... com'era la domanda?

Gennaro Cangiano
Eh sì, amici. La ragazza si chiama Elda: è un gioco di parole, la chiave di lettura sta nell'avverbio "pigramente" che va letto in due tempi "pigra...mente", la ragazza "mente" quando dice di chiamarsi Elena...L'originale è in lingua inglese, laddove giacere si pronuncia come mentire, in italiano il gioco si è spostato sull'avverbio.
Gennaro.

160. I soliti bugiardi sinceri
proposto da Damiano Salvi
Abbiamo a disposizione le nostre solite due tribù di sinceri-che-non-mentono-proprio-mai e di bugiardi-che-non-direbbero-la-verità-nemmeno-sotto-tortura su cui fare i nostri sadici esperimenti di logica.
Un'équipe di crudeli scienziati ha rinchiuso per oscuri motivi 32 persone in una stanza scegliendole fra queste due tribù.
Ognuno di essi può fare un'affermazione e, dopo aver parlato, deve immediatamente uscire dalla stanza (e nessun altro può parlare finché non è uscito) dove riceve un numero progressivo: 1 se è stato il primo ad uscire, 2 se è stato il secondo, eccetera.
Gli scienziati registrano meticolosamente sui taccuini le affermazioni dei poveretti, che ascoltano attraverso un microfono nascosto.
Quando tutti sono usciti dalla stanza - il che accade nel giro di mezz'ora - confrontano i loro appunti e constatano con stupore che le affermazioni che sono state fatte sono solo dei due tipi "In questa stanza sono tutti sinceri" oppure "In questa stanza sono tutti bugiardi".
A questo punto, essi fanno entrare nella stanza ormai vuota 32 volontari che hanno deciso di collaborare al test, con numeri di pettorale da 1 a 32.
Costoro non appartengono a nessuna delle due tribù ma sono normalissime persone appassionate di logica.
A ciascuno viene consegnato un foglio su cui è riportata l'affermazione della persona che ha ricevuto il numero scritto sul suo pettorale.
Sapendo che ad essi sono state spiegate le modalità con cui è stato condotto l'esperimento ed è stato loro detto quali tipi di affermazioni sono state fatte, che non possono in alcun modo comunicare fra di loro (quindi l'unica informazione che ognuno possiede è quella scritta sul foglio ricevuto) e che almeno uno di loro indovina chi era sincero e chi bugiardo, stabilire:
- chi riesce a indovinarlo
- cosa c'è scritto sul suo/loro foglio
- chi era sincero e chi bugiardo.

>>> Risposte & riflessioni
Giovanni Macchia
Mi sembra di capire dalla traccia che vi sono solo due tribù: quella che dice sempre il vero (V) e quella che dice sempre il falso (F) e le uniche risposte che hanno ricevuto sono "In questa stanza sono tutti sinceri" (Risposta A) oppure "In questa stanza sono tutti bugiardi"
(risposta B). Assumo pertanto che esiste almeno una risposta delle
precedenti.

La A è falsa. Se fosse vera la A, allora non dovrebbe esistere neanche una risposta B sia che essa sia falsa o vera. Chiediamoci quando è vera la B. Se vi fossero solo persone della tribù F, non avrebbero risposto B, altrimenti avrebbero detto il vero.
Pertanto deve esistere almeno un appartenente alla tribù V. Ma un appartenente alla tribù V
avrebbe risposto "In questa stanza vi sono alcuni bugiardi" e , nel caso in cui fosse da solo, allora avrebbe risposto "In questa stanza tutti gli altri sono bugiardi".
Pertanto, ho dei dubbi sulle risposte.
Assumerò che (in un momento di panico) abbia sottinteso tutti gli altri (anche per fare un dispetto ai sadici logici).

E' evidente, da quanto detto precedentemente, che vi è un solo appartenente alla tribù V e 31 membri della tribù F. V risponde con B ed F risponde con A. Pertanto tutti dovrebbero indovinare chi dice il vero: basta scrivere sul foglio di chiedere agli indigeni se hanno riposto A o B. Infatti , i membri di F risponderanno in maniera opposta a quanto detto precedentemente (diranno che hanno risposto B) e quindi saranno subito individuati. Il membro di V risponderà B, dicendo il vero, e sarà individuato.

Alberta Sestito
Analizzo prima i casi limite, poi gli altri.

Se i 32 sono tutti sinceri, diranno tutti "in questa stanza siamo tutti sinceri".
Ma se sono tutti bugiardi, potrebbero dire la stessa frase. Anche, se ci fossero n bugiardi, e fossero i primi a parlare, si avrebbe la stessa situazione.

Quindi se le frasi fossero tutte uguali a "in questa stanza siamo tutti sinceri", non si potrebbe dedurre niente.
Il caso in cui tutti dicano "in questa stanza siamo tutti bugiardi" non è possibile.
Infatti, se fossero veramente tutti bugiardi, la frase sarebbe vera, se ci fosse un sincero nel gruppo, non potrebbe dire una bugia.

Quindi le frasi devono essere pronunciate tutte e due.

Se nella stanza sono presenti sia sinceri che bugiardi:
- i bugiardi possono dire quello che vogliono
- i sinceri non possono dire nessuna delle due frasi

Ma, poichè sono state dette solo queste frasi, i sinceri, se ci sono, devono essere gli ultimi a parlare, in modo che possano dire "in questa stanza siamo tutti sinceri".

L'ultimo a parlare (il numero 32) dirà "in questa stanza siamo tutti sinceri".
Se è possibile capire qualcosa del gruppo, qualcuno deve aver detto l'altra frase.
Mettiamo che sia uno solo, e che sia il numero 31.
La sua frase "siamo tutti bugiardi" significa "sia 31 che 32 sono bugiardi".
Ma un sincero non puo' aver detto questa cosa, quindi 31 è bugiardo, poichè afferma che sia 31 che 32 lo sono, 32 deve essere sincero.

Quindi se la frase 31 è "siamo tutti bugiardi", allora 32 è sincero.

Se a dire la frase "siamo tutti bugiardi", non è il 31, ma il 30 la situazione cambia parzialmente.

Infatti, se il 31 dice "siamo tutti sinceri" può essere sincero o bugiardo, ma il 32 deve essere sincero, perchè dalla frase del 30 si deduce che almeno un sincero ci deve essere.

Riassumendo:

- i sinceri stanno tutti in fondo, e non sono intervallati da bugiardi.

- quelli che dicono "siamo tutti bugiardi", sono tutti bugiardi.

- l'ultimo è sincero.

Non si può dire niente di quelli che stanno tra l'ultimo bugiardo individuato, e l'unico sincero individuabile.

Ma i volontari conoscono SOLO una risposta, per cui il 32 non può sapere se qualcuno ha detto "siamo tutti bugiardi".
Quindi indovinano tutti e soli quelli che hanno la risposta "siamo tutti bugiardi", e dicono che il proprio è bugiardo e anche che il 32 è sincero.

159. Ma come crescono bene!
proposto da Damiano
No, non stiamo parlando dei commenti meravigliati dell'affettuosa zia di due gemellini paffutelli. Quelli che crescono piuttosto velocemente sono i numeri di questa sequenza:
1
100
1101110111101111001000001110111111110111011
10000...0000 (gli zeri sono 2^513: veniva "un po' lungo" scriverli tutti)

>>> Risposte & riflessioni
Damiano Salvi
Un piccolo aiuto per tutti:
la serie è costruita in BASE a DUE criteri, e dato che ormai uno ve l'ho detto rimane da scoprire solo l'altro, che è anche il più interessante (quello che vi ho detto mi serviva solo per rendere più leggibile l'ultimo dei termini che ho riportato).

158. Combinazioni possibili?
proposto da V. Lombardo
Giulio, un matematico, va a trovare Paolo, un suo amico fisico che ama i giochi d'intelligenza (anche i meno convenzionali), per vedere la finale di coppa della loro squadra del cuore.
Giulio è la prima volta che va a casa di Paolo; appena entrato si trova in uno spazioso ingresso.
Paolo chiude la porta di casa (tutte le altre porte che danno sull'ingresso erano già chiuse all'arrivo dell'amico) e gli fa vedere 5 interruttori della luce; sono in fila e su ognuno di essi in ordine da sinistra a destra ci sono scritti i numeri 9, 38, 59, 84 e sull'ultimo non c'e scritto nulla.
Paolo aggiunge che solo uno di questi è l'interruttore della sala dove si trova l'unico televisore della casa.
Per stuzzicare l'amico gli chiede allora di scoprire quale sia l'interruttore della sala; mostrando galanteria concede a Giulio di compiere tutte le operazioni che vuole sugli interruttori ma gli vieta di aprire qualsiasi porta prima di aver dato la soluzione.
Per la cronaca dirò che la partita è già iniziata, speriamo che questa volta il satellite non dia problemi!!!

157. Il silenzio è d'oro
proposto da Marco Albano
N.d.R. Appena inizierete a leggere questo problema, forse vi verrà in mente il famoso Problema Impossibile. Ma questo è diverso.

A due logici, S e P, seduti uno di fronte all’altro, vengono consegnate due buste sigillate contenenti due numeri:

Entrambi i logici sanno che x>0 e y>2.
S sa che P conosce il prodotto e P sa che S conosce la somma.
Dopo alcuni minuti di riflessione, evidentemente nessuno dei due riesce a capire quali sono i due numeri, P dice: “Il prodotto è pari”
Dopo alcuni altri minuti di riflessione P afferma “Ora conosco i due numeri!”
E finalmente anche S parla: “Anche io so i due numeri!”

>>> Risposte & riflessioni
Alberta Sestito
Le combinazioni che si possono immediatamente eliminare sono tutte quelle in cui il prodotto è un numero primo, e quella in cui il prodotto è 4. Infatti uno dei due numeri deve essere maggiore di due, quindi se il prodotto è 4, deve essere formato da 4 e 1.

Si può eliminare dopo qualche secondo anche quella in cui il signor S ha il numero 5. Infatti, la somma 5 si potrebbe ottenere o da 3+2, o da 4+1, ma 4+1 è da scartare, quindi resterebbe solo 3+2.
A questo punto, il signor P dice che il prodotto è pari. Quindi si eliminano tutte le combinazioni nelle quali P è dispari. Se S avesse il numero 6, indovinerebbe subito la combinazione 2+4, perché l'alternativa sarebbe 5+1, che da prodotto dispari.
Quindi, se S non indovina, non ha il numero 6.
A questo punto indovina P, i numeri sono 1 e 8, lui aveva il prodotto 8, ma non sapeva se era formato da 8*1 o da 4*2. Se S non è in grado di indovinare, significa che la somma non è 6, ma 9.

Gianfranco Bo
Nel frattempo ho ricevuto una risposta di Alberta Sestito, che mi sembra esatta: i numeri sono x=1 , y=8 per cui:
S=9
P=8
Pensavo che ci fossero anche altre soluzioni ma non ne ho trovato.

La mia spiegazione è questa.

Dato che x>=1 e y >=3
Si ha che P >= 3

P dunque non può essere né 3 né 4 né 5 perché potrebbe essere subito "smascherato".

Inoltre, data la prima affermazione del signor Prodotto, P non può essere nessun numero dispari.

------------------------------------------------
Non può essere 6 perché:
P = 6 = 1*6 = 2*3
A questo prodotto "corrispondono" due somme possibili:
1+6=7
2+3=5

Dunque il signor Somma potrebbe avere:
S1=7
oppure
S2=5
Se avesse 7 sarebbe indeciso fra:
7=1+6=2+5=3+4
a cui corrispondono i prodotti: 6, 10, 12, tutti pari.
Se avesse 5 sarebbe indeciso fra:
5=1+4=2+3
a cui corrispondono i prodotti: 4, 6, tutti pari.

Quindi io credo che se il signor Prodotto avesse 6 se ne starebbe zitto in quanto l'informazione che il prodotto è pari sarebbe inutile al signor Somma.
Perciò non è 6.

---------------------------------------------
P=8 va bene perché:
8 = 1*8=2*4
A questo prodotto "corrispondono" due somme possibili:
1+8=9
2+4=6

Dunque il signor Somma potrebbe avere:
S1=6
oppure
S2=9
Se avesse 6 sarebbe indeciso fra:
6=1+5=2+4=3+3
a cui corrispondono i prodotti: 5, 8, 9, uno pari e due dispari.
Ma in questo caso l'indecisione verrebbe eliminata nel momento in cui si sapesse che il prodotto è pari.

Se avesse 9 sarebbe indeciso fra:
9=1+8=2+7=3+6=4+5
a cui corrispondono i prodotti: 8, 14, 18, 20, tutti pari.
In questo caso l'indecisione non verrebbe eliminata quando si sapesse che P è pari.
----------------------
A questo punto il signor Prodotto parla e dice che P è pari perchè ha 8 e avendo fatto il ragionamento precedente sa che tale informazione è determinante.

Siccome il signor Somma rimane nell'indecisione allora il signor Prodotto capisce che S non è 6 ma 9.

Di conseguenza trova i due numeri.

--------------------------
Come fa anche il signor Somma a trovare i due numeri?
Egli sa che S=9=1+8=2+7=3+6=4+5 a cui corrispondono i prodotti: 8, 14, 18, 20, tutti pari.
Siccome anche lui ha fatto tutto il ragionamento di cui sopra sa che solo P=8 rende sensato il dialogo.

Infatti se:
P=14 allora S=15 oppure 9 che danno luogo solo a prodotti pari.

P=18 allora S=19 oppure 11 oppure 9 che ancora danno luogo solo a prodotti pari

P=20 allora S=21 oppure 11 oppure 9 etc.

In nessuno di questi casi l'informazione che P è pari avrebbe eliminato l'indecisione.

E' questa una soluzione corretta?
Mah!

156. Smith, Ortega e Rossi
proposto da Alan Viezzoli
Interno scuola. Ai tre studenti John Smith, Ramon Ortega e Mario Rossi
viene chiesto di scrivere le dieci cifre in un certo ordine. Dopo qualche
minuto John consegna questa serie:

8 - 5 - 4 - 9 - 1 - 7 - 6 - 3 - 2 - 0

dicendo: "As easy as pie!",
Ramon consegna questa serie:

0 - 5 - 4 - 2 - 9 - 8 - 6 - 7 - 3 - 1

e sotto ad essa scrive, più in piccolo: "(O 5-2-9-4-7-6-3-1-8-0)"
e Mario consegna questa serie:

2 - 4 - 5 - 9 - 0 - 8 - 7 - 6 - 3 - 1

con l'aria di chi sa di aver fatto un buon lavoro in poco tempo.

>>> Risposte & riflessioni
Gaia
John Smith ha messo i numeri in ordine alfabetico.
Gli altri due non saprei!!

Shylock
Ramon Ortega ha messo i numeri in ordine alfabetico in lingua spagnola, poi per non urtare la suscettibilità di alcuni suoi compatrioti ha aggiunto la stessa serie in Catalano.

Alan Viezzoli
Voglio aiutare tutti i fruitori di Base Cinque a risolvere il problema 156 "Smith, Ortega e Rossi".
In effetti John Smith ha messo i numeri in ordine alfabetico quindi è inglese o americano, o, comunque, di madre lingua inglese; ma si può dire qualcos'altro su di lui. Anche gli altri due hanno messo le cifre in ordine alfabetico, ma...

Lo so, è molto difficile ma provate a rileggere "Serie e sequenze di numeri" nella "Collezione".

Alan Viezzoli
Ho letto gli aggiornamenti e devo dire che Shylock ha detto giusto, e il fatto che Ortega sia Catalano (e quindi scriva due serie, in spagnolo e in catalano) è tutto quello che si può dire per Ortega.
Restano ancora due cose da dire su Smith e una su Rossi.

155. Con riga e compasso
proposto da Sprmnt21
Costruire (con riga e compasso) un triangolo di cui sono dati l'altezza e la mediana relative ad un lato ed il raggio del cerchio circoscritto.

Siano h,m e R le misure rispettivamente di altezza, mediana e raggio.
1) Traccio una retta l su cui giacerà il lato a cui sono relative mediana e altezza.
2) Traccio una sua perpendicolare s (ad esempio come asse* di un qualunque segmento giacente su l) e chiamo O il loro punto di intersezione.
3) Puntando in O con apertura h traccio un arco che sechi s in un punto che chiamo A.
4) Puntando in A con apertura m traccio un arco che sechi l in un punto che chiamo M (punto medio del lato giacente su l).
5) Conduco la perpendicolare t a l per M (per esempio, come asse di simmetria* del segmento OO' dove O' è il simmetrico** di O rispetto M).
6) Puntando in A con apertura R traccio un arco che sechi t in un punto che chiamo P (centro del cerchio circoscritto).
7) Puntando in P con apertura R traccio un arco che sechi l in due punti che chiamo B e C. Congiungendo i tre punti A,B,C si ottiene il triangolo richiesto.

Alcune considerazioni sui dati
Il problema non è risolvibile se h,m,R non soddisfano queste disequazioni:
m >= h
R² >= m²-h²
R+radq[R²-(m²-h²)] > h
(radq sta per "radice quadrata di" e >= sta per "maggiore o uguale")
Vi sono però anche casi in cui il problema ha due soluzioni, ovvero quando (oltre a soddisfare le condizioni precedenti) h,m e R sono tali che R-radq[R²-(m²-h²)] > h.

Note * Per tracciare l'asse di simmetria di un segmento DE, si punta il compasso con apertura arbitraria (superiore alla metà della lunghezza del segmento) prima in D e poi in E tracciando due archi che si sechino in due punti H e K: la retta che congiunge H e K è l'asse di DE.
** Ovviamente, per ottenere il simmetrico di O rispetto a P è sufficiente puntare il compasso in P con apertura OP e tracciare un arco che intersechi l in un punto distinto da O

154. A chi lo dice?
proposto da Giorgio Dendi
"Buongiorno, ragazzi! Per prima cosa facciamo l'appello"
"Bepi"
"Presente!"
"Bortolo"
"Presente!"
"Gavino"
"Presente!"
"Gennariello"
"Presente!"
"Giobatta"
"Presente!"
"Romoletto"
"Presente!"
"Turiddu"
"Presente!"
"Bene, vedo che ci siete tutti! Ora scriverò dei numeri sulla lavagna e voglio che scopriate il procedimento con il quale li ho scritti"
Il professore scrive 5 2 9 8 4 6 7 3 1 0 e si gira a guardare fuori della finestra, convinto che i suoi allievi ne avranno per un bel po', ma appena si volta, vede che sotto la sua serie c'è scritto 1 2 3 4 9 5 6 7 8 , e dice:
"Bravo, vedo che hai capito".

>>> Risposte & riflessioni
Marco Albano
Un suggerimento per chi vuol risolvere il problema.... a scuola si studia l'italiano, una lingua straniera,.. a volte latino e greco,.. MA I DIALETTI MAI !! Peccato ..

Giorgio Dendi
Rispondo al problema posto da me, visto che nessun altro si fa avanti... speriamo che la risposta sia esatta.
La prima parte è un problema noto, le dieci cifre sono elencate secondo l'ordine alfabetico. La risposta data da uno degli allievi non contiene lo 0, e già qui si potrebbe fare la considerazione che i numeri romani non contemplavano la presenza dello 0. Infatti i numeri sono in ordine alfabetico se espressi in numeri romani: I, II, III, IV, IX, V, VI, VII e VIII, e Romoletto, essendo romano, è lo studente che ha dato la risposta esatta.

153. Equazioni
proposto da Roberto Callegari
Come si risolvono le seguenti equazioni?

siccome siamo in presenza di infiniti x, l’espressione al secondo membro sarà uguale alla (1) ovvero a 3 per cui

da cui x –2 = -. Poiché il secondo membro è composto da infiniti numeri sarà uguale alla (2) ovvero a –1 per cui x = 1

Il coefficiente di log₂ x è composto da infiniti elementi e sarà pertanto uguale alla (3) per cui

e, poiché il termine tra parentesi a secondo membro è composto da infiniti numeri, allora sarà uguale a (4) più uno, per cui

P.S. Si può risolvere anche come limite di somma di serie, ma questa mi sembra più elegante come soluzione.

152. Il contapedalate
proposto da Ivan Furlan
È possibile trasformare un contachilometri digitale per biciclette da corsa (quindi con cambio), il quale visualizza la velocità in Km/h e la distanza in Km totale percorsa, in
un contapedalate che visualizzi le pedalate/s e le pedalate totali compiute,
sapendo che l'unico parametro che si può impostare nello strumento è il diametro della ruota [mm].
In altre parole, come si deve impostare il diametro in modo che lo strumento visualizzi non più Km/h e Km totali ma pedalate/s e pedalate totali.
Lo strumento misura, tramite un sensore sui raggi, il tempo di giro della ruota anteriore.

>>> Risposte & riflessioni
Ivan Furlan
Non è un problema molto difficile:
lo strumennto internamente esegue il seguente calcolo:

v_ist = d*pi/T*1/(1000)^2*3600

dove :
v_ist = velocità istantanea
d = diametro in mm (unico parametro modificabile dall'esterno).
T = tempo di giro ruota in secondi (unica misura esterna)
1/(1000)^2 = fattore per trasformare [mm] in [Km]
3600 = per trovare [km/h]

Cominciamo inizialmente a far visulizzare i (giri ruota)/s:
(giri ruota)/s = 1/T*d*pi*3600*(1000)^(-2)

per ottenere la frequenza di rotazione della ruota 1/T deve valere che::
d*pi*3600*1000^(-2) = 1

e quindi:
d = 1/(pi*3600*1000^(-2)) = d1

Ora lo strumento visualizzerà i (giri ruota/s), se esiste un rapporto P tra:
(giri pedivella)/(giri_ruota)
basta moltiplicare come segue, e si ottendo i (giri pedivella/s):
(pedivella/s)=(giri_ruota/s*P) = 1/T*d1*pi*3600*(1000)^(-2)*P =
1/T*d1*P*pi*3600*(1000)^(-2) = 1/T*d2*pi*3600*(1000)^(-2)

dove:
d2=P/((pi*3600*1000^(-2)))

è il diametro da impostare per ottenere il risultato voluto.
Naturamente tutto questo vale con un rapporto P costante.
Se cambio marcia, cambia pure P e dovrei riempostare un nuovo diametro nello strumento.

151. Che sequenze!
proposto da Pietro Vitelli
Alcune sequenze per mantenere allenata la mente.

1. 4 - 112 - 101 - 107 - 126 - ...

2. 10 - 17 - 30 - 59 - 112 - ...

3. 5 - 28 - 59 - 106 - 167 - ...

Come continuano e perchè?

>>> Risposte & riflessioni
Damiano Salvi
La sequenza 2 continua con 221 - 432 - 863 -1722.
Ogni numero (dal secondo in poi) è ottenuto dal precedente aggiungendogli il massimo numero primo minore di esso. Cioè:
10+7=17 ; 17+13=30 ; 30+29=59 ; 59+53=112 ; 112+109=221 ; 221+211=432 ; 432+431=863 ; 863+859=1722

150. Una serie sconcertante
proposto da Marco
Di solito quando propongo questa serie mi chiedono cos'è quella roba dopo il 2.
E' il quarto elemento della serie, pensate un po' al quinto!
Buon divertimento.

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000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

>>> Risposte & riflessioni
Gianfranco Bo
Mamma mia!
Forse questa è una serie che ho incontrato di recente...
Vorrei farti qualche domanda.
Devi ammettere che il quarto numero, scritto così, è un po' difficile da digerire :-)
Lo ammetti? Dài, ammettilo!!!

Che cosa posso notare, io, povero mortale?
Il terzo numero è scritto su 23 righe.
E ciascuna riga contiene 76 cifre, tranne lultima che ne contiene 75.
Quindi il numero è formato da 76 * 23 - 1 = 1747 cifre

Ho provato a fare un certo calcolo con la calcolatrice di Windows e mi è venuto
questo risultato:
2,601218943565795100204903227081e+1746
La poveretta non può fare di più, però questo risultato assomiglia molto al
tuo numero e, se scritto per esteso, ha anche lo stesso numero di cifre.

Cesare Fattorosi di Barnaba
Per quando riguarda il problema 150 il tuo "certo calcolo" non è per caso 720! (fattoriale)?

Gianfranco Bo
Esatto, ma se non avessi già visto quella serie in un altro contesto, forse non ci sarei arrivato.
Comunque, ora rimane da trovare come continua la serie.

Carlo M.
Si trova nel libro "CONCETTI FLUIDI E ANALOGIE CREATIVE" di D.R.Hofstadter.

0
1!
2!!
3!!!

Roberto Callegari
(0)=0
(1!)=1
((2!)!)=(2!)=2
(((3!)!)!)=((6!)!)=(720!)=il numerino da 1747 cifre
((((4!)!)!)!)=(((24!)!)!)=((620448401733239439360000!)!)
=...
e qua forse diventano un po troppe cifre da scrivere sul tuo sito.

Il passo n-esimo della serie è composto dal numero n inserito in un numero n di parentesi del tipo scritte sopra...

Ho fatto un calcolo aprossimativo delle cifre necessarie a scrivere (620448401733239439360000!)
Sono circa 1,44926E25 cifre
Il fattoriale di questo numero invece mi risulta pari a:
e^(3.33705·10^25)
Cioè : e (base dei logaritmi naturali) elevata a 3.33705E25 (notazione esponenziale)
Il calcolo del numero di cifre necessario a scriverlo é riuscito ad inchiodare il semplicissimo programma che ho utilizzato per fare questi conti.

La risposta di Damiano Salvi è sostanzialmente diversa dalle altre e sembra essere fluida quanto quella di D.R.Hofstadter

Damiano Salvi
Se non fosse che 0!=1, direi che la serie è data dai fattoriali dei fattoriali dei fattoriali dei numeri naturali, presi in ordine: ((1!)!)!=1, ((2!)!)!=2, ((3!)!)!=(6!)!=720!="quella roba dopo il 2". Però c'è il problema dello 0... spero di essermi avvicinato comunque.

149. La gara
proposto da Giorgio Dendi
Questo problema è un souvenir che Giorgio Dendi ci invia in ricordo dell'epica gara internazionale di matematica tenutasi a Parigi nel 2001
La data memorabile della lettera è: lunedì 3 settembre 2001 1.04

Mentre andavamo a fare la gara di matematica a Parigi, così, per stare in quasi allenamento, ma senza che sia una cosa troppo seria, nel metrò ho fatto su un foglietto il disegno, fatto come so disegnare io, di alcuni concorrenti di una gara di corsa e ho chiesto ai miei amici quale di questi concorrenti secondo loro sarebbe arrivato primo, e perché.

Seconda domanda (solo per chi ha risposto alla prima): è l’una di notte, sono appena arrivato a casa da Parigi, non ho ancora pranzato e tanto meno cenato e domani, primo giorno lavorativo del mese, devo pagare pensioni… non sarebbe meglio che io andassi a dormire?
R S V P

>>> Risposte & riflessioni
Damiano Salvi
Dato che a Parigi c'ero anch'io, questa risposta non la posso rivelare, però vi propongo una variazione sul tema che mi è stata suggerita da un'obiezione posta alla risposta di Dendi. Ad un'altra gara i numeri di pettorale erano:
4 ; 77 ; 93 ; 101 ; 284 ; 375 ; 483 ; 6936 ; 3482
Chi è il vincitore?

Giorgio Dendi
Se volete un suggerimento, bisogna fare un'operazione matematica, abbastanza semplice, un'uguaglianza, partendo dal numero di uno dei concorrenti, e poi trovare uno spunto non matematico per arrivare alla soluzione, ma bisogna leggere nel modo giusto il numero.
A questo punto è facile, no?

Giorgio Dendi
Ma come, nessuno risponde? 0,001 si può scrivere come frazione, e ho sentito dire a Sanremo che "uno su mille ce la fa...." Va be', ho capito: vado dietro la lavagna e ci rimango un'ora.

148. Lo zio Root
proposto da Giovanni Macchia
Il nostro caro zio d’America Root (molto eccentrico e amante della matematica) verrà a trovarci tra qualche giorno.
In una e-mail, ci scrive che porterà anche tanti pacchetti pieni di regali, tutti dei cubi uguali che riempiranno un cubo più grande, che è il pacco regalo che ci porterà dagli Stati Uniti.
Ovviamente lo zio non si smentisce neanche ora. Infatti, nella lettera ha scritto che il pacco regalo è condizionato.
“Che vuol dire ?” chiedono mio figlio e mia moglie.
Leggo: “Potrete tenere con voi solo i regali contenuti nei pacchetti che riuscirete a mettere in parallelepipedi. Questi parallelepipedi devono contenere tutti lo stesso numero di pacchetti, numero che deve essere maggiore di 3. I cubi che non entreranno nelle scatole li riporterò negli Stati Uniti con i relativi regali.”
“Ma scherza? “ chiede mio figlio.
“Per carità, fa sul serio: l’ultima volta non ho risolto il problema che mi aveva posto e si è riportato il regalo.”
Rispondo io “Vedo di chiedere aiuto a BaseCinque ”.
Mio figlio sgrana gli occhi chiedendomi se sono in contatto con qualche base segreta magari aliena. Gli rispondo andando su Internet e facendogli vedere il sito.

La domanda che vi pongo è: quanti cubi devono contenere i parallelepipedi per poter far rimanere a casa nostra il massimo numero di regali?

>>> Risposte & riflessioni
Andrea Partiti
Beh, se non m'inganno sul significato del problema, i parallelepipedi devono contenere tutti lo stesso numero di cubi, e dobbiamo cercare di farne star fuori il meno possibile... allora dobbiamo fare i parallelepipedi più piccoli che ci sia consentito scegliere, quelli da 4 cubi (maggiore di 3), e al massimo lo zio si riporterà indietro 3 pacchetti... quindi i parallelepipedi saranno, con il cubo di spigolo t, e senza contare eventuali spessori di carta, t*t*4t, oppure 2t*2t*t.

Roberto Callegari
Nel testo non è precisato quanto è grande il pacco con i pacchettini che lo zio porterà nel pacco-cubo regalo.
Supponiamo quindi che il cubo sia formato da n x n x n pacchetti.
Io devo formare dei parallelepipedi che contengano tutti lo stesso numero di pacchetti???
Allora facciao dei parallelepipedi di forma n x n x 1.
In questo modo i ragazzi si prendono tutti i pacchetti e allo zio Root non ne rimarrà alcuno, proprio come lui desidera.

147. La serie di Aetius
proposto da Ezio Sgrò
Qual'è il numero o la lettera che segue nella serie:

.. 1, 3, U, 5, ...?

Questa credo che sia la prima serie ... alfanumerica delle storia !

>>> Risposte & riflessioni
Ezio Sgrò
Forse è meglio aggiungere un termine alla serie:
1, 3, U, 5, 13 . . .
Quale numero o lettera va aggiunta alla serie?

Un altro aiutino: quando invierò la serie in America non dovrò cambiare nessun termine!
Ciao a tutti!
Ezio

146. I bugiardi
proposto da Renzo Bresciani
In una stanza ci sono 10 persone.
Tutte le dieci persone sanno quanti di loro sono bugiardi e quanti no.
Una undicesima persona vuole sapere quanti sono i bugiardi nella stanza e lo chiede a tutte e dieci le persone ottenendo queste dieci risposte (l'ordine non ha importanza):In una stanza ci sono 10 persone.
Tutte le dieci persone sanno quanti di loro sono bugiardi e quanti no.
Una undicesima persona vuole sapere quanti sono i bugiardi nella stanza e lo chiede a tutte e dieci le persone ottenendo queste dieci risposte (l'ordine non ha importanza):

In questa stanza ci sono 10 bugiardi.
In questa stanza ci sono 9 bugiardi.
In questa stanza ci sono 8 bugiardi.
In questa stanza ci sono 7 bugiardi.
In questa stanza ci sono 6 bugiardi.
In questa stanza ci sono 5 bugiardi.
In questa stanza ci sono 4 bugiardi.
In questa stanza ci sono 3 bugiardi.
In questa stanza ci sono 2 bugiardi.
In questa stanza c'è solo 1 bugiardo.

Quanti sono realmente i bugiardi nella stanza?

Lorenzo Navari
Se i sinceri fossero più di uno avremmo più di una risposta uguale.
Se i bugiardi fossero tutti e dieci nessuno potrebbe rispondere << siamo in 10 >>.
Poichè la risposta << siamo in 10 >> è una bugia, non avendo alcuna risposta uguale, si conclude che i bugiardi sono nove e l'unico sincero è quello che lo ha detto.

Sprmnt21
Volevo sottoporvi delle considerazioni relative al problema dei "bugiardi".

Le affermazioni sono:

"In questa stanza ci sono 10 bugiardi.
In questa stanza ci sono 9 bugiardi.
In questa stanza ci sono 8 bugiardi.
In questa stanza ci sono 7 bugiardi.
In questa stanza ci sono 6 bugiardi.
In questa stanza ci sono 5 bugiardi.
In questa stanza ci sono 4 bugiardi.
In questa stanza ci sono 3 bugiardi.
In questa stanza ci sono 2 bugiardi.
In questa stanza c'è solo 1 bugiardo."

Messa in questi termini il gioco, secondo me, non ha soluzioni.

Le affermazioni del tipo: "in questa stanza ci sono x bugiardi" sono VERE se nella stanza ci sono realmente x o piu' bigiardi. Tanto piu' che l'ultima affermazione precisa "solo 1 bugiardo", per distinguerla dalle altre.

Che ne pensate?

Ciao

Sprmnt21
PS
Se l'ultima dichiarazione, invece, avesse avuta la stessa struttura delle altre (senza il "SOLO" cioe'), i bugiardi sarebbero 5: precisamente tutti quelli che avrebbero indicato che i bugiardi sono piu' di 5.

145. Ne compro ottocento
proposto da Gianfranco Bo
Questo è un noto quesito sul pensiero laterale, ma data la sua simpatia e visto che si trova ancora su alcuni newsgroups, lo propongo anche su BASE Cinque.

Il grande chitarrista Django Reinhardt (molto noto agli amanti del jazz) entra in un negozio, si guarda un po' intorno e, indicando un certo articolo, chiede al commesso:
"Quanto costa uno?"
Il commesso risponde: "Tre Euro."
Django Reinhardt ci pensa su e poi chiede:
"E dodici?"
"Sei Euro."
"E ottocento?"
"Nove Euro."

>>> Risposte & riflessioni
Sprmnt21
Django Reinhardt vuole acquistare lettere dell'alfabeto al prezzo di un Euro ciascuna.
Se non ha bisogno delle lettere ripetute, gli conviene comprare la parola "uno".

Dino
Suppongo che Django Reinhardt (non so se è un nome inventato in quanto anch'io amo la musica jazz, ma non l'ho mai sentito) stia comprando un numero civico e gli conviene comprare quello di casa sua!

Django Reinhart era un chitarrista gitano che suonava la chitarra (spesso assieme al violinista Stéphane Grapelly) incredibilmente bene.

La cosa più straordinaria è che suonava benissimo pur avendo perso, in un incidente, l'uso dell'anulare e del mignolo della mano sinistra.

uno 1 - 3 euro
dodici 12 - 6 euro
ottocento 800 - 9 euro

In quel negozio si vendono numeri (es per comporre le targhe dei numeri civici).
Ci sono due possibilità:
- numeri in cifre a 3 euro la cifra
- numeri in lettere a 1 euro la lettera
Django è indeciso su quale tipo scegliere, ma per quel che riguarda i prezzi dei numeri che ha richiesto, nessuno dei due tipi è più conveniente dell'altro. Dal punto di vista del costo.