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Va premesso che tutto ciò che segue è indirizzato solo al cuore della novità e non a tutte le implicazioni teoriche ad esso collegato, e solo per uno scopo divulgativo, per maggiori chiarimenti vi rimando alla lettura diretta della tesi e al contatto diretto con me che ne sono l'autore.
Per non farvi sorbire tutte le dimostrazioni vi spiego in poche parole la linea di ragionamento e perché è importante il lavoro che ho svolto: i numeri primi sono una successione di numeri naturali[1] ognuno dei quali ha la bella proprietà di non dividersi interamente se non per se stessi e per uno, quindi non hanno divisori propri. Per esempio 12 = 4x3 quindi si può dire che 4 è un divisore proprio di 12. Si può far vedere[2] che se un numero a è diviso da un numero b allora a > b, quindi se cerco dei numeri che dividano 5 senza considerare 1 e 5 devo esaminare i numeri 2, 3 e 4 e solo quelli, non c'è bisogno che estenda la mia ricerca a numeri più grandi tipo 14, e visto che nessuno di quelli è un divisore di 5 allora il numero 5 è primo. In generale se io voglio stabilire se un numero a è primo semplicemente facendo delle divisioni, si può far vedere che posso limitare la mia ricerca a numeri che siano inferiori alla radice quadrata di a. Possiamo scrivere così la successione dei numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53...
1. Quanti sono i numeri primi? sono infiniti?
2. Per scrivere tutti i numeri primi è necessario fare tutti questi conti, si può fare prima?
3. Per stabilire se un numero è primo è necessario fare tutti questi conti, si può fare prima?
1. I numeri primi sono infiniti e una delle prime risposte formali alla questione si trova negli Elementi di Euclide, è una risposta che fa uso di ragionamenti per assurdo.(Questione 1)
2. La risposta è no, ci sono vari metodi per scrivere i primi, il più veloce e pratico deriva dall'antica Grecia, il crivello di Eratostene.(Questione 2)
3. Sembra che dall'India ci siano novità, con la proposta di un metodo lineare (ne parleremo alla questione 2) che straccia in velocità tutti i metodi precedentemente trovati, che sono tanti e che non danno risposte certe, non sempre almeno, i primi (che non fossero la ricerca sequenziale di tutti i numeri primi precedenti, o l'analisi di tutti i possibili divisori) nascono con la nascita della teoria dei numeri come scienza ovvero con gli studi di Fermat e di altri giocolieri dei numeri.
La questione controversa sta nel fatto che ci sono persone che vogliono stabilire le basi minimali del pensiero. La questione è ardua e più che una questione matematica è una questione logico-filosofica o addirittura teologica (sono il solito esagerato) detta in poche parole e quindi in maniera molto superficiale posso fare un esempio:
Dimostrazione per assurdo
mettiamo che io voglia dimostrare una verità V1:
· suppongo che (V1 è falso) sia una proposizione vera, che chiamo V2
· dimostro (tramite dei passaggi di logica diretta o altri dati di cui sono certo perché li ho già dimostrati) che dalla mia premessa V2 ottengo una proposizione che è notoriamente falsa (che si dice assurdo)
· concludo dicendo 'aver supposto che V1 è falsa a portato all'assurdo, quindi la premessa(V2) non può che essere falsa quindi V1 è vera.'
Il punto sta nel fatto che non tutti sono disposti ad accettare il ragionamento per assurdo, che sarebbe il terzo punto, mentre tutti sono disposti ad accettare i ragionamenti diretti e l'uso di verità già assodate in una dimostrazione (metodo usato nel secondo punto). Ci sono grandi matematici che ti dicono: sono come San Tommaso, se non vedo non credo, e questi sono i costruttivisti le altre sono persone normali, persone di senno.
Ma quel che è giusto è giusto, va dato atto ai costruttivisti che, se possiamo non usare un arma così potente, è meglio non farlo, distinguendo così nella matematica quello che è dimostrabile direttamente (ossia in maniera costruttiva) dal resto. La domanda che ci poniamo è: l'esistenza di infiniti numeri primi è dimostrabile direttamente? Il problema è di quelli risolvibili solo direttamente, ossia va presentata una dimostrazione diretta, ed è quello che viene fatto nella tesi.
Chiariamo alcuni concetti: L'infinito.
L'infinito non va preso alla leggera, c'è sempre un sentore di divino quando si parla di infinito, anche perché neanche il nostro universo sembra essere infinito. Per questo richiamiamo alla memoria la più elementare delle idee di infinito, quella che usavano i greci e che oggi viene detta dell'infinito numerabile; supponiamo di avere contato fino a un numero M grande a piacere gli elementi di un insieme, ne troverò sempre uno che non ho ancora contato, per esempio se io considero i numeri naturali e prendo un numero grande a piacere, tipo
7'458'732'585'453'785'690'673'846'695'439'769'475'967'549'749'695'047'906'785'678
posso contare da 0 fino a M e posso sempre trovare un numero più grande tipo
7'458'732'585'453'785'690'673'846'695'439'769'475'967'549'749'695'047'906'785'678 + 1 =
7'458'732'585'453'785'690'673'846'695'439'769'475'967'549'749'695'047'906'785'679
che ovviamente non ho contato, quindi i numeri naturali sono infiniti.
Il modo così presentato non è una vera e propria dimostrazione di infinità di N, ma in pratica è il trucco usato per tutte le dimostrazioni dirette di infinità, vedo esiste il primo, il secondo, il terzo, ... l'n-esimo elemento di un insieme, poi dall'esistenza di tutti gli elementi fino all'n-esimo dimostro l'esistenza dell'(n+1)-esimo elemento e il gioco è fatto, ho infiniti elementi. Questo metodo di dimostrazione si chiama metodo induttivo ed è accettato da tutti, anche a chi non crede nell'infinito, anche agli atei, perché ti dice che puoi avere tutti gli elementi che vuoi e anche di più.
Quando si corre verso l'infinito è normale impiegarci un infinità di tempo e sembra assurdo chiedersi qual è il metodo più veloce a raggiungere l'infinito, però è lecito domandarsi chi si allontana più velocemente dal punto di partenza, questo è il metodo di giudizio per valutare se un metodo, un algoritmo, è buono o meno.
La complessità
Qui ci vuole una piccola introduzione sul calcolo della complessità (di cui non sono un esperto).
Innanzi tutto bisogna ragionare con uno strumento che è un ottimo misuratore, il computer:
· il tempo che il computer occupa per eseguire un calcolo rappresenta la complessità in tempo CT
· la memoria ram che il computer utilizza per eseguire i calcoli rappresenta la complessità in spazio CS
· lo spazio di memoria che si utilizza per i dati di partenza (o di arrivo) sono la dimensione dei dati D
· il rapporto CT/D e CS/D sono dette complessità relative, mentre CT e CS sono complessità assolute
per avere un esempio:
se io faccio la somma di due numeri di 4 cifre compio 1 somma per ogni cifra e male che vada faccio 1 riporto per ogni cifra tranne la prima che mi comporta nel peggiore dei casi 4+(4-1) operazioni base, in generale la somma di due numeri di N cifre necessiterà di 2xN -1 operazioni, lo spazio occupato per eseguire il calcolo è sempre minore o uguale allo spazio di partenza ed è quello del risultato. In questo caso si dice che la complessità va in maniera lineare con le dimensioni dei dati, come unità di misura è stato scelto il tempo dell'esecuzione di un operazione base che ha complessità costante, in generale per stabilire l'unità di misura della complessità si prende l'operazione che risulta più importante in termini di tempo o che viene ripetuta più volte, questa operazione può essere il confronto di due numeri, una somma, o un prodotto, l'eseguire una sottoprocedura che ha complessità nota (possibilmente costante).
La procedura di Eratostene è molto buona in termini di complessità perché è paragonabile in modo quasi lineare con la dimensione del risultato, la procedura che ho proposto nella mia tesi ha complessità leggermente inferiore a quella di Eratostene. Per darvi un idea, in 669 passi lineari ai dati produce tutti i numeri primi fino 25.000.000 il computer li produce in un lampo, poi il mio piccolo catorcino si blocca perché non gestisce altra memoria.
Va premesso che tutte le affermazioni che seguono sono dimostrate in modo abbastanza elementare ma non brevemente nella tesi consultabile presso la biblioteca del dipartimento di Matematica dell'Università degli Studi di Siena.
Il Crivello di Eratostene
il metodo di Eratostene consiste di considerare una sbarra infinita divisa in caselle, ogni casella identifica un numero in maniera consecutiva: 1,2,3,4,5,6,7....
Buco 1 perché non è primo; partendo da 2 si cancella tutti i numeri ogni 2 caselle, 2 escluso, facendo un buco; poi prendo il primo elemento non bucato che trovo che è 3 e buco ogni 3 caselle, partendo da 3, 3 escluso; poi prendo il primo elemento non bucato che trovo che è 5 e buco ogni 5 caselle, partendo da 5, 5 escluso;... poi prendo il primo elemento non bucato che trovo che è n e buco ogni n caselle, partendo da n, n escluso...
I numeri che vengono trovati sono senz'altro primi e senz'altro sono tutti, si può dimostrare.
Questo procedimento si può arrestare? Può succedere che da un numero in poi non ci sono più caselle non bucate?
Pregi:
1. la sua complessità è ottimale in quanto è lineare al prodotto dimensione dei dati x quantità di dati da ottenere
2. trova con certezza tutti i primi che si ripropone di ottenere.
Difetti:
1. ad ogni passo ha a che fare con l'infinito, è un metodo teorico irrealizzabile se non per quantità limitate di partenza,
2. non è sufficiente a se stesso, ossia ci deve essere un teorema che ti dimostri che i numeri primi sono infiniti,
3. quando effettuo i buchi nonguardo se il numero è già bucato o meno di conseguenza mi trovo a dover bucare più volte il solito numero, per esempio il numero 6 viene bucato due volte ovvero partendo da 2 e partendo da 3; il numero 2310 ha 5 buchi dati da 2,3,5,7 e 11.
Il metodo proposto nella mia tesi è senz'altro molto simile al crivello di Eratostene e divide il suo lavoro in due procedure: scrivi e cancella. Anche il metodo di Eratostene si rifà a due fasi, la preparazione del supporto ideale costituito da una sbarra infinita che è suddivisa in caselle(scrittura) e la cancellazione di quelle caselle che non identificano numeri primi, si noti che viene reiterata solo la seconda operazione.
Gli strumenti da utilizzare:
gli strumenti sono molto simili, ma un po' più complicati:
· due barre infinite, una di appoggio per il risultato e una di utilizzo per la procedura
· due bucatori di professione che siano pronti a fare buchi a tutto spiano
· la vostra attenzione
a parte gli scherzi, l'impostazione doppia potrebbe costituire un bel jolly perché se qualcuno ne ha voglia e possibilità, si può produrre un algoritmo che lavori in macchine multiprocessore.
La procedura Scrivi
A differenza del Crivello di Eratostene, non scriviamo tutte le caselle all'inizio.
0. Ma ne scriviamo prima uno soltanto, sul primo numero notiamo che 1 non è primo ma non ha divisori propri. Non faccio niente e vado avanti.
1. Preparo un'altra casella che ovviamente non ha segnato niente, è 2 però è primo, sulla barra di appoggio facciamo un buco su 2 tanto per avere un promemoria, mentre sulla barra di lavoro facciamo un buco su 2 perché ce lo dice la procedura cancella.
2. Riproduciamo tante volte quanto il valore del primo numero senza buco (che è 3) la disposizione dei buchi sulla sbarra di lavoro, avremo quindi sei caselle pronte, i buchi saranno su 2,4,6 mentre saranno senza buchi le caselle 1,3,5. 3 è il primo numero senza buco che abbiamo trovato, è dunque primo, e lo registriamo sulla sbarra d'appoggio, mentre sulla barra di lavoro facciamo un buco su 3 perché ce lo dice la procedura cancella.
3. Riproduciamo tante volte quanto il valore del primo numero senza buco (che è 5) la disposizione dei buchi sulla sbarra di lavoro, avremo quindi trenta caselle pronte, i buchi saranno su 2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,26,27,28,30 mentre saranno senza buchi le caselle 1,5,7,11,13,17,19,23,25,29. 7 è il primo numero senza buco che abbiamo trovato, è dunque primo, e lo registriamo sulla sbarra d'appoggio, mentre sulla barra di lavoro facciamo un buco su 5 e su 25 perché ce lo dice la procedura cancella.
...
n. Dal passo precedente so che Pn (la stessa notazione è usualmente usata per indicare l'n-esimo numero primo, per esempio 37, il dodicesimo numero primo, è indicato con P12) è il primo numero non bucato (dopo 1) ed è maggiore certamente dell'ultimo numero primo trovato. Riproduciamo Pn-volte la disposizione dei buchi trovata finora sulla sbarra di lavoro, avremo tante caselle pronte alcune con dei buchi e altre no, noteremo che tutte le caselle tra 1 e Pn sono bucate. Applicando la procedura cancella verranno bucate altre caselle, sempre all'interno di quella sbarra presa in considerazione fino ad ora.
Al passo n-esimo non siamo semplicemente certi di tutti i primi n numeri primi, ma bensì, siamo certi della primalità di tutti i numeri che sono stati finora considerati nella sbarra fino al numero (Pn+1)2 escluso. Ossia in 10 passi sono certo della primalità di tutti i numeri che ho scritto nella barra che sono senza buco e che sono inferiori al numero 841, più quelli che sono nella barra d'appoggio.
Il genio non nasce dal voler fare più degli altri, anzi è figlio dell'ozio. Meno si deve lavorare per ottenere un risultato meglio è. L'importante è darsi degli obbiettivi e il mio era riuscire a fare i buchi sui numeri non bucati e basta, non ripetendo il lavoro sui numeri già bucati come invece imponeva il crivello.
La cosa più bella di tutto il gioco, il vero cuore della novità, quello che poi porta alle più importanti conseguenze teoriche, quello che porta nuova luce sulla congettura dei gemelli, sul loro ampliamento alla congettura dei primi gemelli-Stocchi, all'analisi della distribuzione, etc etc etc (tutto discusso più ampiamente nella tesi e poi ripreso in studi non ancora pubblicati) è dovuta per un terzo alla Procedura Scrivi per due terzi alla Procedura Cancella.
La Procedura Cancella
Come stabilire quali sono gli unici elementi da cancellare? Basta bucare al passo n tutti i numeri dati dal prodotto di Pn per ognuno dei numeri non bucati al passo n-1. Riguardiamo l'esempio dei primi passi dato in precedenza e ci renderemo conto che è così:
0. al passo 0 non cancelliamo niente perché non esiste il passo -1.
1. P1 = 2, e l'unico elemento non bucato al termine del passo 0 è 1, quindi cancelliamo(buchiamo) solo il numero 1x2 = 2.
2. P2 = 3, e l'unico elemento non bucato al termine del passo 1 è 1, quindi cancelliamo solo il numero 1x3 = 3.
3. P3 = 5, e gli elementi non bucati al termine del passo 2 sono 1 e 5, quindi cancelliamo i numeri 1x5 = 5 e 5x5 = 25.
4. P4 = 7, e gli elementi non bucati al termine del passo 3 sono 1,7,11,13,17,19,23, e 29, quindi cancelliamo i numeri 7,77,91,119,133,161 e 203.
...
n. Cancelliamo tutti i numeri dati dal prodotto di Pn per ognuno dei numeri non bucati al passo n-1.
Se mi si crede sulla parola senza voler fare i conti, vi dirò che basta contare e si può scrivere la formula della quantità di numeri che, ad ogni passo, vengono 'creati' senza buco, e la formula dei numeri che vengono cancellati ad ogni passo, e contando sulle dita si dimostra che saranno sempre di più i numeri che vengono 'creati'. Questo implica il primo risultato: la macchinetta Scrivi-Cancella non trova termine al suo lavoro, ossia non si ferma mai, arriva fino all'infinito a trovare numeri primi; è la prova costruttiva che i numeri primi sono infiniti.
La Procedura Scrivi suggerisce tante di quelle considerazioni di carattere geometrico-spaziale, che neanche nella mia tesi l'ho potute elencare, comunque in prima approssimazione, la caratteristica della autosomiglianza della struttura di appoggio, la simmetria dimostrabile su le sue varie parti e tante considerazioni sulla distribuzione dei primi che ne derivano, la possibilità di confrontarsi con un nuovo strumento sulla congettura di Goldbach sono contenute nella tesi e nelle mie idee ancora da sviluppare, come quella di confrontare i risultati col lavoro svolto da Dedekind sulle serie numeriche.
Spero di aver destato la curiosità delle menti più brillanti ed invito queste a contattarmi per confrontarsi con me, non sono geloso delle mie idee se non sono plagiate in silenzio. Spero altresì di essere stato abbastanza chiaro sulle linee generali, e invito chi non trovasse sufficienti le spiegazioni che ho dato a contattarmi loro volta per chiedere tutti i chiarimenti che sarò felice di concedere non appena potrò.
[1] Tutte le volte che dirò numeri intendo i numeri naturali ossia interi e positivi. Per brevità scriverò N per indicare l'insieme di tutti i numeri naturali.
[2] Tutte le volte che dirò si può far vedere, voglio dire che si può dimostrare con un teorema, che non sto a proporre per brevità, ma che posso esibire in qualunque momento, o perché contenuto nella tesi, o per rimando ad altri testi, che sono comunque citati nella tesi.
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