L'età della Luna

Garibaldi, dopo la ritirata da Roma, il giorno 1 agosto 1849, si imbarcò, notte fonda, a Cesenatico, per recarsi a Venezia. Ma al chiarore della Luna fu scorto dalle navi austriache e fu costretto a riprendere terra.

Risposte & riflessioni

Non ci soffermeremo molto su tale calcolo in quanto trattato abbondantemente nell'approfondimento " calendario perpetuo ", a cui si rimanda con la relativa simbologia adottata, ma riportiamo direttamente i passaggi determinanti atti a determinare il giorno di tale data:

G = 1 modulo 7 = 1
M = numero relativo al mese di agosto = 2
49 modulo 28 = 21 a cui corrisponde D = 5
C = 2 perchè relativo al secolo 1800 (= 4·k + 2)
B = 0 in quanto l'anno non era bisestile visto che 1849 non risulta divisibile per quattro
G + M + D + C + B = 1 + 2 + 5 + 2 + 0 = 10 modulo 7 = 3

Prima di addentrarci sul calcolo dell'età della Luna è bene richiamare qualche nozione sui suoi tre movimenti: quello di rotazione su se stessa avviene in un periodo di tempo uguale precisamente in 27 giorni, sette ore, 43 minuti primi e 12 secondi. In tale tempo si compie il cosiddetto giorno lunare, pertanto per un tempo equivalente alla metà di questo periodo di rotazione una faccia del nostro satellite è illuminato dal Sole e per un periodo equivalente è nella completa oscurità! Il dì lunare dura dunque circa 14 giorni ed altrettanto la notte. Il movimento di rivoluzione della Luna attorno alla Terra avviene invece in in 27 giorni, sette ore, 43 minuti primi e 11,5 secondi. In tale tempo si compie il cosiddetto mese siderale, così chiamato in quanto coincide con l'intervallo che passa fra due congiunzioni successive della Luna con una stella sita sullo stesso meridiano. Come si vede la sua durata è praticamente la stessa del giorno lunare, e questa è la ragione per cui dalla Terra si osserva sempre la stessa faccia della Luna e mai quella opposta. Tuttavia, siccome anche la Terra si sposta lungo la sua orbita ellittica intorno al Sole, mentre la Luna compie il suo moto di rivoluzione, questa non ritrova più allineata con il Sole e la Terra dopo un mese sidereo, ma tale condizione si verifica circa due giorni più tardi. In pratica la Luna deve compiere un terzo movimento, detto di traslazione, per poter seguire il movimento di rivoluzione che la Terra ha compiuto intorno al Sole nel corso di quei 27 giorni. Il valore medio dell'intervallo di tempo che passa fra due congiunzioni successive della Luna con il Sole e la Terra è così di 29 giorni, 12 ore, 44 minuti primi e tre secondi, e tale durata prende il nome di rivoluzione sinodica o mese lunare o lunazione. Il ciclo di 12 mesi sinodici formano un anno lunare, corrispondente all'intervallo di tempo tra due passaggi consecutivi del Sole per uno stesso punto dell'eclittica della Luna, che ha perciò una durata di 354 giorni, nove ore e 48 minuti primi, differendo così dall'anno solare del calendario per 11 giorni circa, se l'anno è comune, o di 12, se invece è bisestile.

Una metà della superficie lunare è sempre illuminata dal Sole, tuttavia, nel corso del mese, la porzione dell'emisfero illuminato visibile dalla Terra muta progressivamente. Le condizioni di illuminazione variano in conseguenza delle diverse posizioni della Luna rispetto alla Terra ed al Sole e si ripetono periodicamente e con la stessa sequenza in ogni mese lunare. Ad esse si dà il nome di fasi lunari. Un intero ciclo vede alternarsi momenti in cui il disco lunare appare completamente illuminato e momenti in cui è completamente oscurato, con periodi intermedi in cui viene illuminato od oscurato parzialmente. Per convenzione si considerano solo quattro momenti principali del ciclo che identificano posizioni relative di Luna, Terra e Sole ben definite. Quando la Luna si trova in congiunzione con il Sole e la Terra, cioè allineata ed interposta tra Sole e Terra, si ha il novilunio o Luna nuova, ed in tal caso la Luna ci offre la sua faccia non illuminata. Questa fase è indubbiamente quella più importante in quanto l'età della Luna è definita come il numero di giorni trascorsi dall'ultimo novilunio. Quando la Luna si trova in opposizione al Sole, cioè è sempre allineata col Sole e la Terra, ma quest'ultima si trova interposta, si ha il plenilunio o Luna piena: dalla Terra è visibile per intero la faccia della Luna, illuminata dal Sole, che appare quindi come un disco pieno. Le fasi di Luna nuova e di Luna piena sono anche dette sizige. La Luna impiega 14 giorni, 18 ore e 22 minuti primi per passare da un sizige all'altro, ed in questo tempo modifica gradualmente il suo aspetto. Dopo sette giorni, nove ore ed 11 minuti primi il novilunio la Luna ha percorso un quarto della sua orbita e si trova in quadratura con Sole e Terra in quanto l'angolo compreso tra la direzione Terra-Luna e la direzione Terra-Sole è retto. Questa è la posizione di primo quarto e la Luna appare come un disco illuminato a metà. Trascorsi sette giorni, nove ore ed 11 minuti primi dopo il plenilunio la Luna ha compiuto i tre quarti della sua orbita e la situazione di quadratura si ripete. Questa è la posizione di ultimo quarto e vediamo solo metà dell'emisfero illuminato.

Il problema di determinare quanti giorni ha la Luna in una determinata notte dell'anno, se sia nuova o piena, fu risolto dagli antichi con il metodo dell'epatta. Questo calcolo nei secoli scorsi faceva parte della matematica elementare; ora è completamente escluso dalle nostre scuole, mentre costituisce un utile esercizio di aritmetica. L'epatta, latino epacta, dal greco significa addendo, relativa a un determinato anno è l'età della Luna al 31 dicembre dell'anno precedente. Così, ad esempio, l'epatta per il 1990 è stata pari a tre, poiché al 31 dicembre 1989 l'età della luna era di tre giorni, ossia l'ultimo novilunio risaliva al 28 dicembre 1989, cioè a tre giorni prima. In pratica costituisce il numero di giorni trascorsi dall'ultimo novilunio che, aggiunti all'anno lunare, lo rendono uguale all'anno solare. Questo numero sta scritto anche su tutti i calendari. Da esso dipende la data della Pasqua, con le altre feste mobili quali le Ceneri (46 giorni prima di Pasqua), l'Ascenzione (39 giorni dopo la Pasqua), la Pentecoste (49 giorni dopo la Pasqua) e il Corpus Domini (60 giorni dopo la Pasqua).

Siccome il mese lunare ha una durata compresa tra 29 e 30 giorni, mentre quello civile può essere costituito da 30 o da 31 giorni, febbraio escluso, ne viene che l'età della Luna in ciascun giorno del mese vale mediamente l'età nello stesso giorno del mese precedente, più uno. Vista allora la regolarità con cui si alternano i mesi di 30 giorni con quelli di 31 e partendo da gennaio, a cui sttribuiremo valore nullo, porremo pertanto l'epatta relativa ad un mese il valore che essa assume nel mese precedente più uno, ad esclusione di marzo che invece ha meno uno, visto che febbraio è formato solo da 28 giorni, e di settembre che ha più due, in quanto è preceduto da due mesi consecutivi, luglio ed agosto, composti entrambi da 31 giorni. Avremo quindi la seguente tabella mensile:

Mese	Epatta
Gennaio	0
Febbraio	1
Marzo	0
Aprile	1
Maggio	2
Giugno	3
Luglio	4
Agosto	5
Settembre	7
Ottobre	8
Novembre	9
Dicembre	10

Come si vede l'epatta del mese di marzo è sempre uguale a quella di gennaio, e la spiegazione sta nel fatto che nell'ultimo giorno di febbraio l'età della Luna è uguale all'epatta, in quanto a questa data sono passati 59-60 giorni dal 31 dicembre, ossia quasi esattamente la durata di due lunazioni intere. Quindi l'età della Luna (ovvero il numero di giorni trascorsi dal novilunio) per un giorno qualsiasi del mese di marzo si può ottenere facilmente sommando la data del giorno all'epatta, e ciò è importante in quanto il 21 marzo si ha l'equinozio di primavera (che è uno dei due giorni dell'anno in cui l'orbita di rivoluzione della Terra intorno al Sole è tale che i raggi di quest'ultimo risultano perpendicolari al piano dell'osservatore passante per l'equatore e di conseguenza il circolo di illuminazione del Sole passa esattamente per i poli e la durata del giorno è uguale a quella della notte in tutti i punti della Terra) che influenza direttamente la data della Santa Pasqua (vedi anche l'enigma " La data della Pasqua "). Nota allora l'epatta relativa ad un determinato anno per determinare l'età della Luna l in una data qualsiasi di quell'anno basta eseguire il calcolo:

La Luna è nuova se la sua età è nulla; si ritiene piena se invece ha 14 giorni. Ad esempio abbiamo detto che l'epatta relativa al 1990 è stata pari a tre, pertanto l'età della Luna il 31 dicembre 1990 era di:

giorni, e ciò significa che l'epatta relativa al 1991 è stata pari a 14 e la notte del capodanno di quell'anno fu di plenilunio. Come si vede l'epatta del 1991 differisce di 11 da quella del 1990 e ciò dovevamo aspettarcelo dato che, come detto in precedenza, l'anno lunare ha circa 11 giorni in meno di quello solare. Se non si conosce l'epatta dell'anno che ci interessa allora occorre determinarla: il concilio cristiano, tenutosi a Nicea, città dell'Asia presso Costantinopoli nell'anno 325 d. C., fissò la seguente regola per il calcolo dell'epatta e relativa ad un anno giuliano :

Ad esempio per lo stesso anno 325 d. C. fu fissato il valore dell'epatta pari a:

e quindi la notte del capodanno di quell'anno fu di novilunio. Ma perchè in questo calcolo compare il modulo 19 dell'anno? In effetti già dal V secolo a. C. l'astronomo ateniese Metone scoprì che 235 mesi lunari fanno quasi esattamente 19 anni solari. Per tale ragione, dopo un ciclo di 19 anni, detto ciclo di Metone o ciclo lunare od ancora ciclo aureo, le fasi della Luna tornano ai medesimi giorni dell'anno solare. In altre parole, dopo aver osservato i giorni in cui hanno avuto luogo le diverse fasi lunari per 19 anni, si noterà che il ventesimo anno queste cadranno negli stessi giorni del primo anno, il ventunesimo anno cadranno negli stessi giorni del secondo anno, e così via di seguito ... Ecco perché la serie dei tempi, partendo dall'anno 1 a. C., è stata suddivisa in periodi di 19 anni, e a ciascun anno di ogni periodo è stato abbinato un numero progressivo dall'uno al 19 denominato numero d'oro. Questo è quindi il numero dell'anno nel ciclo lunare in corso, e si determina facilmente per qualsiasi anno aggiungendo a questo un'unita e determinando il modulo 19 di tale somma; se però tale modulo è uguale a zero, il numero d'oro vale 19. Più semplicemente il numero d'oro relativo ad un anno si ottiene calcolando per questo dapprima il modulo 19 ed aggiungendo poi al risultato ottenuto un'unità. Ad esempio l'anno 1990 è congruo 14 modulo 19 e quindi per esso il numero d'oro vale 15.

Riprendiamo il discorso dell'epatta: abbiamo visto che se all'epatta di un anno si aggiunge 11 si ottiene l'epatta dell'anno seguente (se la somma vale 30 o più occorre però sottrarre 30 in quanto è stato approssimato il mese lunare a 29 giorni); inoltre, se il numero dell'anno è multiplo di 19, il che capita proprio in corrispondenza degli anni con numero d'oro uguale ad uno, l'epatta aumenta di 12 unità rispetto all'anno precedente, che invece ha il numero d'oro pari a 19. Da quanto detto si evince anche che le epatte si riproducono ciclicamente ogni 19 anni, ma in determinati limiti di tempo: fu costatato, infatti, che il calendario gregoriano è fissato più sul problema dell'esattezza astronomica che su quello del "mantenimento del ritmo" poiché la durata del ciclo metonico non è esattamente di 19 anni, ma più breve di circa un'ora e mezza, e di conseguenza le epatte crescono di un giorno circa ogni 300 anni giuliani , e di otto giorni ogni 2500 anni circa; all'epoca della riforma gregoriana , verso il 1500, la differenza si era così accumulata a tre giorni, così nel 1582 l'epatta non valeva:

bensì sei (= 3 + 3). Fino a quell'anno questo "particolare" era stato trascurato ed il ciclo metonico veniva considerato ancora di 19 anni esatti! Il papa Gregorio XIII , con la sua riforma, oltre a far avanzare il sole di dieci giorni sul calendario, fece pure scorrere la Luna avanti di questi tre giorni correggendo finalmente l'errore effettivo e, affinchè la differenza nel futuro fosse minima, aggiunse all'epatta un giorno ogni 300 anni giuliani, fino all'anno 4299. In pratica fu stabilito che l'anno 551 dovesse avere il numero d'oro pari ad uno e l'epatta uguale ad otto come risulta dal calcolo relativo ad un anno giuliano ; fu deciso ancora che si dovesse aggiungere una unità alle epatte degli anni 800, 1100, 1400 e 1800, e che in seguito si ripetesse l'aggiunta di una unità ogni 300 anni per sette volte, mentre l'ottava l'aggiunta di una unità non sarebbe avvenuta dopo 300 anni bensì dopo 400 arrivando così al 4300. Si ebbe quindi la seguente formula per il calcolo dell'epatta relativa ad un anno gregoriano che prese il nome di equazione lunare:

e = [8 + (anno modulo 19)·11 - int (anno/100) + int (anno/400) + int (anno/300)] modulo 30

essendo int l'intero approssimato per difetto della divisione corrispondente indicata tra parentesi tonde. I primi due termini posti tra parentesi quadre coincidono esattamente con la formula dell'epatta relativa ad un anno giuliano ; i due termini successivi trasformano gli anni giuliani in gregoriani secondo la regola introdotta sugli anni bisestili ; l'ultimo termine, int (anno/300), è infine la correzione dovuta sempre alla riforma gregoriana sull'errore di Metone. Se il calendario dovesse rimanere immutato anche oltre l'anno 4299, allora, invece di tale termine si userà al suo posto il seguente:

L'epatta dell'anno 1900 + x, ove x è un numero compreso fra zero e 299, e quindi includendo anche la nostra epoca, può anche essere calcolata più facimente come:

A questo punto siamo finalmente in grado di rispondere alla seconda domanda garibaldina del problema posto: l'epatta relativa all'anno 1849 fu pari a:

e = [8 + (1849 modulo 19)·11 - int (1849/100) + int (1849/400) + int (1849/300)] modulo 30 = = (8 + 6·11 - 18 + 4 + 6) modulo 30 = 66 modulo 30 = 6

l = (giorno + epatta mese + epatta anno) modulo 30 = (1 + 5 + 6) modulo 30 = 12

giorni, ovvero era quasi piena ed il chiarore fu tale che Garibaldi fu costretto quella notte alla ritirata.

L'epatta di un determinato anno può determinarsi anche in maniera più laboriosa a partire dal numero d'oro n una volta noto quest'ultimo: occorre moltiplicare n per 11, dal prodotto si sottrae dieci e del risultato si determina il modulo 30 che indicheremo con a. Si sottrae poi 15 dal numero secolare dell'anno proposto (ovvero il numero formato esclusivamente dalle prime due cifre dell'anno) e si ha un secondo numero b. Si divide b per 25, si toglie il quoziente dal dividendo, si divide questa differenza per tre, e si prende l'intero del risultato c approssimato per difetto. Si moltiplica b per tre, si divide il prodotto per quattro, e si prende l'intero del risultato d approssimato per difetto. Si sottrae c da d, e si determina il modulo 30 che indicheremo con f. Se, infine, a è maggiore od uguale ad f allora si sottrae f da a, si ha l'epatta e dell'anno considerato, altrimenti, nel caso che f risulti maggiore di a, l'epatta risulta uguale a 30 - (f - a). Possiamo, per riepilogare, riportare lo schema riassuntivo anche di questo calcolo:

a = (n·11 - 10) modulo 30 b = numero secolare dell'anno - 15 c = int {[b - int (b/25)]/3} d = int (b·3/4) f = (d - c) modulo 30

Se a / f þ e = a - f

Se a < f þ e = 30 - (f - a)

Ad esempio l'anno 1849, in cui Garibaldi voleva per mare andare a Venezia, è congruo sei modulo 19 e quindi per esso il numero d'oro vale sette; dunque risulta:

a = (7·11 - 10) modulo 30 = 67 modulo 30 = 7 b = 18 - 15 = 3 c = int {[3 - int (3/25)]/3} = int [(3 - 0)/3] = int (3/3) = 1 d = int (3·3/4) int (9/4) = 2 f = (2 - 1) modulo 30 = 1 modulo 30 = 1 e = 7 - 1 = 6

Riportiamo, per finire, anche un ciclo di 19 più uno anni del numero d'oro e dell'epatta del nuovo millennio, onde evidenziare la ripetizione dei valori a partire dal ventesimo anno, utili, con l'analoga tabella dei mesi, per determinare l'età della Luna per gli anni imminenti:

Anno	Numero d'oro	Epatta
2001	7	5
2002	8	16
2003	9	27
2004	10	8
2005	11	19
2006	12	0
2007	13	11
2008	14	22
2009	15	3
2010	16	14
2011	17	25
2012	18	6
2013	19	17
2014	1	29
2015	2	10
2016	3	21
2017	4	2
2018	5	13
2019	6	24
2020	7	5

1) Carlo Magno fu incoronato imperatore la notte di Natale dell'anno 800 d. C.. Quanti giorni aveva la luna quella notte? (Sei giorni.)

2) La notte di San Bartolomeo, precedente il 24 agosto 1572, per ordine del re Carlo IX, furono uccisi a tradimento i protestanti di Francia. Quella notte fu illuminata dalla Luna? (Sì perchè considerando che l'anno era bisestile e che bisogna considerare l'errore dei tre giorni sul calcolo di Metone, l'età della Luna risulta pari a 15 e quindi c'era la Luna piena; il calcolo astronomico conferma che la Luna piena avvenne il 23 agosto 1572 alle ore 22:00.)

3) Garibaldi, con i suoi mille, partì da Quarto la notte tra il 5 ed il 6 maggio 1860. Quella notte la luna era piena? (No perchè considerando che l'anno era bisestile, l'età della Luna calcolata con l'epatta, risulta pari a 19 e quindi era già calante da cinque giorni.)