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Questo problema è tratto dal libro di Steinhaus STO ZADAN, Warschau 1958
Ringrazio Ivana Niccolai per aver inviato questo problema al Forum e segnalato la sua recensione del libro Hugo Steinhaus, "CENTO PROBLEMI DI MATEMATICA ELEMENTARE", a cura di Franco Conti, Superuniversale Boringhieri, 1987.
Il dottor Abracadabrus ha scoperto un tipo di
batteri a forma di bastoncino che si riproducono in uno strano
modo. Dal bacillo originario si stacca una parte che diventa un
bacillo indipendente; esso è più corto della parte restante,
cosicché vi sono due individui di diverse lunghezze. A questo
punto dal bacillo più lungo si stacca un nuovo individuo uguale
al più corto dei due, e il processo continua finché il residuo
del bacillo originario è più corto di ogni parte staccata.
Successivamente da uno dei bacilli più lunghi si stacca una
parte lunga quanto il più piccolo dei bacilli già esistenti.
Questa regola è sufficiente a descrivere l'intero processo di
moltiplicazione, ma dobbiamo ricordare che ad ogni istante vi è
al più un solo bacillo che si divide.
Dimostrare che:
1) In ogni istante, nella colonia dei bacilli, ci sono al più
tre lunghezze diverse.
2) Se la prima divisione è in parti che stanno in rapporto
irrazionale fra loro, allora ci saranno ogni tanto solo due
lunghezze e ogni tanto tre lunghezze differenti.
3) É possibile una divisione iniziale che dà un rapporto tra le
lunghezze che si conserva in tutte le divisioni successive.
Chi volesse leggere la recensione del libro da cui è stato tratto questo problema, vada nella seguente pagina web: http://www.maecla.it/bibliotecaMatematica/pz_file/steinhaus.htm
Una congettura.
Se parto da un numero intero e lo divido inizialmente in
due parti intere a, b, la procedura si ferma quando ho raggiunto
il MCD(a,b).
Questa procedura mi ricorda l'algoritmo di Euclide.
agosto 2004
1) In ogni istante, nella colonia dei
bacilli, ci sono al più tre lunghezze diverse.
La prima cosa da fare è capire bene il testo del problema.
Ecco la spiegazione di Tino.
Per come ho capito, la divisione iniziale è arbitraria, ed ogni
successiva prevede che uno dei bacilli più lunghi si separa in
modo che un suo frammento sia lungo quanto uno dei bacilli più
corti. Per esempio:
100
73 27
46 27 27
19 27 27 27
19 19 8 27 27
19 19 8 19 8 27
19 19 8 19 8 19 8
11 8 19 8 19 8 19 8
11 8 11 8 8 19 8 19 8
11 8 11 8 8 11 8 8 19 8
11 8 11 8 8 11 8 8 11 8 8
e così via... L'operazione si può considerare
conclusa quando tutti i bacilli hanno la stessa lunghezza, perché
poi dopo una divisione la situazione è la stessa della
precedente.
Per esempio
20
12 8
4 8 8
4 4 4 8
4 4 4 4 4
Ed ora la dimostrazione, sempre di Tino.
Poniamo di ottenere col nostro procedimento 2 lunghezze a e b
ovviamente positive, con b>a. Avremo:
a,a,...,a,b,b,...,b
Dopo una divisione otteniamo:
a,a,...,a,b-a,a,b,...,b
Ora, a<b e b-a<b, dunque b è il maggiore, ma ci saranno
tre casi:
1) b-a>a, allora il passo successivo è:
a,a,...,a,b-a,a,b-a,a,b,...,b
2) b-a<a, allora b-(b-a) = a e il passo successivo è: a,a,...,a,b-a,a,b-a,a,b,...,b
3) b-a=a, allora abbiamo due soli valori distinti, riconducendoci
all'ipotesi iniziale.
In entrambi i primi due casi otteniamo lo stesso risultato. Noto
che si hanno i 3 valori a, b, b-a. Ogni volta che si scompone b
in due valori, dunque, essi saranno necessariamente a e b-a.
Possiamo proseguire in entrambi i casi, e comunque alla fine
otterremo la configurazione:
a,a,...,a,b-a,a,b-a,a,...,b-a,a, ovvero due soli valori distinti.
Ciò significa che se abbiamo due valori distinti nella colonia,
dopo un numero finito di passaggi torniamo ad averne due, e il
massimo dei valori distinti raggiunti nel procedimento è 3.
Dunque, siccome all'inizio si ha un valore unico che si divide in
2, 3 è certamente il numero massimo di valori distinti
raggiungibile.
2) Se la prima divisione è in parti che
stanno in rapporto irrazionale fra loro, allora ci saranno ogni
tanto solo due lunghezze e ogni tanto tre lunghezze differenti.
Anche in questo caso, cerchiamo di capire il senso della
domanda attraverso la spiegazione di Tino.
Come abbiamo visto, i valori distinti non sono mai più di 3.
Nell'esempio che ho fatto io mi sono interrotto ad un certo
punto, senza concludere la serie di divisioni.
Andando avanti con le divisioni si raggiungerà certamente un
momento in cui i bacilli avranno tutti la stessa lunghezza. Sono
tentato di dare per buona la tua congettura che tale lunghezza
equivalga al MCD tra i primi due valori in cui si spezza il
valore iniziale, anche se non l'ho ancora ben dimostrata.
Comunque, con queste premesse, la seconda domanda io la
intenderei come: se il rapporto tra i due iniziali è
irrazionale, dimostrare che non si raggiungerà mai un momento in
cui tutte le lunghezze sono uguali (un solo valore nella colonia).
Siamo ancora in attesa di una
dimostrazione "sicura"...
Riporto comunque una dimostrazione "in prova" di Tino
Il che penso si
possa dimostrare per assurdo: sia per esempio 100 la lunghezza
iniziale secondo un'unità di misura scelta appositamente, e
supponiamo di arrivare effettivamente ad un certo numero k di
lunghezze uguali e irrazionali (infatti si parte dalla divisione
iniziale, dopo la quale almeno uno dei due valori è irrazionale,
e si procede con somme algebriche, e gli irrazionali sono chiusi
rispetto alla somma), e che queste lunghezze valgano tutte un
certo irrazionale m. Ora, siccome durante il processo la somma
delle lunghezze si conserva costante ed uguale a quella iniziale,
100, bisognerebbe che k*m = 100, ovvero:
m = 100/k.
Ma siccome k era intero per ipotesi, questo significa che m è
razionale, il che è assurdo perché si era supposto irrazionale.
Questa è la mia interpretazione, ma non metterei la mano sul
fuoco riguardo la sua correttezza.
3) É possibile una divisione iniziale
che dà un rapporto tra le lunghezze che si conserva in tutte le
divisioni successive.
Il rapporto fra la più grande e la più piccola delle
due parti è il famoso numero aureo.
R=(sqr(5)-1)/2
Si trova osservando che le divisioni successive danno luogo alle
seguenti lunghezze:
x - (1-x)
(1-x) - (2x-1)
(2x-1) - (2-3x)
etc...
Uguagliando i rapporti si ottiene il numero aureo.
Uguagliamo, ad esempio:
x : (1-x) = (1-x) : (2x-1)
e risolviamo l'equazione.
NOTA.
La terza domanda l'ho capita così:
Quando si divide la lunghezza iniziale in due parti, queste
staranno in un certo rapporto R.
Prendendo come unità la misura iniziale abbiamo:
1
x, (1-x) con x>(1-x)
R=x/(1-x)
In seguito, da quella maggiore si sottrae la minore, trovando una
terza misura.
x-1+x=2x-1 con (1-x)>(2x-1)
Questa terza misura deve stare nello stesso rapporto R con la
minore.
R=(1-x)/(2x-1)
Inoltre tale rapporto deve essere sempre lo stesso in tutte le
divisioni successive.
Per trovare x, uguaglio i rapporti:
x/(1-x)=(1-x)/(2x-1)
(1-x)^2=x(2x-1)
x^2+x-1=0
x=(sqr(5)-1)/2 (prendo il valore positivo, che è il reciproco di
Phi)
1-x=(3-sqr(5))/2
R=x/(1-x)=(sqr(5)+1)/2
In conclusione la risposta è:
a) Il bacillo si divide inizialmente in due parti tali che una di
esse è la sezione aurea dell'intero bacillo.
b) di conseguenza il rapporto tra le due parti è:
R=x/(1-x)=(sqr(5)+1)/2
Da notare che la seguente successione:
1
x
1-x
2x-1
2-3x
5x-3
5-8x
...
elenca le varie parti in cui è diviso un bacillo di lungezza
iniziale 1 dal quale si stacca una parte di lunghezza x.
Come continua la successione?
Quali sono le sue proprietà?
Gianfranco Bo
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