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I triangoli di Hugo Steinhaus

Questo problema è tratto dal libro del matematico polacco
Hugo Steinhaus, STO ZADAN, Warschau 1958

Il libro si può trovare in traduzione italiana: Hugo Steinhaus, "CENTO PROBLEMI DI MATEMATICA ELEMENTARE", a cura di Franco Conti, Superuniversale Boringhieri, 1987.

Cominciate scrivendo una lista di N segni "+" e "-".
La quantità e la disposizione dei segni "+" e "-" è a piacere vostro.

+ + - + - + +

Continuate scrivendo altre linee rispettivamente di N-1, N-2, ..., 1 segni "+" e "-" con le seguenti regole:

• sotto una coppia di segni uguali scrivete un "+";
• sotto una coppia di segni diversi scrivete un "-";

Ecco un esempio per N=7

+ + - + - + +
+ - - - - +
- + + + -
- + + -
- + -
- -
+

Se contate quanti sono i "+" e i "-" scoprirete che ci sono esattamente 14 "+" e 14 "-".

Il problema è di decidere per quali N esistono dei triangoli con un uguale numero di "+" e di "-".

Altre domande:
Qual è il minimo numero di - che possono trovarsi in un triangolo di Steinhaus?
Qual è il massimo numero di - che possono trovarsi in un triangolo di Steinhaus?

agosto 2004

Risposte & riflessioni

Per quali N esistono dei triangoli con un uguale numero di "+" e di "-"?
Chiamiamo:
a) Ordine del triangolo: il numero iniziale n di segni;
b) Triangolo bilanciato: un triangolo con tanti + quanti -;
possiamo scrivere la seguente tabella.

Il numero totale di segni + e - presenti in un triangolo di Steinhaus è un numero triangolare.
Se partiamo da una serie di N segni, il numero triangolare di base N che si ottiene è:
T = N(N+1)/2
Affinché si possano costruire triangoli bilanciati, il numero T deve essere divisibile per 2, cioè pari e ciò è possibile se N diviso per 4 dà come resto 0 oppure 3.
Infatti N oppure (N+1) deve essere divisibile per 4:
N mod 4 = 0
(N+1) mod 4 = 0; N mod 4 = 1

Attenzione: la condizione è NECESSARIA, ma NON SUFFICIENTE.

Nota.
Phalanx mi ha scritto: "Io avrei un dubbio. Ho provato con questa riga iniziale, e non mi pare di
aver sbagliato, ma il risultato non quadra con quanto dice la pagina:

- - - - + - -
+ + + - - +
+ + - + -
+ - - -
- + +
- +
-

Il numero di - e' 16 e il numero di + e' 12. Sono partito da N=7."

In effetti NON c'è un errore, ma la risposta deve essere chiarita con maggiore insistenza.
La frase non abbastanza chiara è questa:

"Affinché si possano costruire triangoli bilanciati, il numero T deve essere divisibile per 2, cioè pari e ciò è possibile se N diviso per 4 dà come resto 0 oppure 3."

La parola chiave è POSSANO, non DEBBANO!
Se iniziate con 3, 4, 7, 8, ... segni, POTETE, trovare dei triangoli BILANCIATI. Ma potreste anche non trovarli. Dipende da come avete disposto i segni. Però POTETE sempre trovare qualche sistemazione dei segni che vi dà un triangolo bilanciato.

Se invece iniziate con 2, 5, 6, 9, 10, ... segni, NON TROVERETE MAI un triangolo bilanciato, per quanto cambiate la sistemazione iniziale dei segni.
Se per caso ci riusciste, fatemi sapere...

In termini matematici si dice che la condizione è NECESSARIA ma NON SUFFICIENTE.

Qual è il minimo numero di - che possono trovarsi in un triangolo di Steinhaus?
Zero. Basta cominciare con una linea formata soltanto da segni +.

Qual è il massimo numero di - che possono trovarsi in un triangolo di Steinhaus?
Sembrerebbe essere [(2N+1)/3] (parte intera di (2N+1)/3), ma come si dimostra?

...

Se al posto dei segni +, - utilizziamo i simboli 0,1 allora le linee di un triangolo di Steinhaus possono essere lette come numeri binari.
E forse il problema può essere affrontato sotto un nuovo punto di vista.

0010100
011110
10001
1001
101
11
0

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