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Nell'ultimo capitolo del Vangelo di Giovanni si legge di una pesca miracolosa:
"Ascendit Simon Petrus et traxit rete in terram plenum magnis piscibus, centum quinquaginta trium et cum tanti essent non est scissum rete."
(Iohannem, 21, 11)
"Simon Pietro montò nella barca e tirò a terra la rete piena di 153 grossi pesci. E benché fossero tanti, la rete non si spezzò."
Il nostro amico Peppe si chiede:
Cosa c'è di speciale, matematicamente parlando, nel 153?
Per cominciare è la somma dei numeri da 1 a 17 compreso, niente di speciale.
153 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17
Si puo' scrivere come somma dei fattoriali da 1 a 5.
153 = 1!+2!+3!+4!+5!
E' il più piccolo numero uguale alla somma dei cubi delle sue cifre.
153 = 13+53+33
Però la cosa veramente curiosa, e che vorrei che qualcuno mi chiarisse è la seguente.
Prima o poi otterrai 153. |
Per esempio, prendiamo il numero 42.
42 → 43+23 = 72
72 → 73+23 = 351
351 → 33+53+13= 153
Quindi abbiamo la sequenza:
42→72→351→153
Provate con qualsiasi altro multiplo di 3, alla fine otterrete sempre 153.
Chi sa spiegarmi questo mistero?
Un particolare ringraziamento a Peppe che ha posto il problema nel
Forum
e a Sprmnt21, Enrico Delfini,... per i loro illuminanti interventi.
Il 23 febbraio 2002 ho inserito tre programmi in Javascript
utili per indagare questo problema.
Potete salvare questa pagina sul vostro computer e utilizzare i programmi senza
essere collegati ad Internet.
N.B. Siccome mi interessa soltanto l'algoritmo matematico, non ho introdotto
nessun controllo dell'input. Per cui fate attenzione a quello che digitate
nelle caselle di input.
Primo programma: il classico.
Il programma chiede un numero di partenza e calcola le sequenze generate da quel numero e dai 100 successivi.
Il programma termina la ricerca quando trova un ciclo, oppure dopo 50 iterazioni.
Al termine, stampa la sequenza e riporta il ciclo tra parentesi quadrate.
Per esempio:
64-280-520-[133-55-250]-133-...
Periodo: 3
Secondo programma: una possibile generalizzazione.
E' simile a quello precedente, ma consente di scegliere anche
un esponente a cui elevare le singole cifre prima di calcolare la somma.
L'esponente si seleziona con i "radio buttons", i bottoni circolari.
Se per esempio scegliete come numero di partenza 21 e come esponente il
quadrato, otterrete la stampa di tutte le sequenze da 21 a 121.
Ecco la prima:
21-5-25-29-85-[89-145-42-20-4-16-37-58]-89-...
Le parentesi quadre delimitano la parte di sequenza che si ripete all'infinito.
Terzo programma: studio di casi singoli.
E' simile a quello precedente, ma consente di esaminare la
sequenza generata da un numero singolo.
Nei casi precedenti le funzioni applicano l'algoritmo fino ad un massimo di 50
volte e in certi casi non trovano un ciclo che si ripete.
Questi casi si possono analizzare singolarmente nello schema seguente dove
l'algoritmo viene applicato fino ad un massimo di 200 volte.
Sono inoltre disponibili gli esponenti fino al 7° livello.
Se Javascript regge, onore e gloria a Netscape!
Da notare che 153 è un multiplo di 3 e che secondo l'israeliano Phil Kohn, "153 lies dormant in every third number" il 153 si trova "dormiente" in ogni multiplo di 3.
Qual è il significato profondo di quest'affermazione?
Lascio questa pagina dedicata al 153 aperta a tutti i contributi che possano svelare il mistero.
Aggiornamenti del 2020.
Chi ha scoperto per primo questa proprietà?
Sembra che sia stato un certo Phil Kohn di Yokneam, Israele.
Ecco la citazione originale di T. H. O'Beirne, sulla rivista New Scientist del 1961.
Tratto da: T. H. O'Beirne, Christmas puzzles, New Scientist n. 266, 21 dicembre 1961.
Chi è Phil Kohn?
Ho solo trovato questa citazione attribuita a Phil Kohn da fonti incerte che a loro volta citano vagamente O'Beirne o Martin Gardner.
"153 lies dormant in every third number", il 153 si trova "dormiente" in ogni multiplo di 3.
Chi è T. H. O'Beirne?
So solo che T. H. O'Beirne scrisse il libro Puzzles and Paradoxes, 1965, Oxford University Press, nel quale raccolse alcuni suoi articoli pubblicati su New Scientist dal gennaio 1961 al febbraio 1962.
Google Books contiene molti numeri di New scientist, a partire dal 1956.
In quali testi (storici) compare il numero 153, assieme a spiegazioni matematiche e simboliche di due proprietà?
100 - Vangelo di Giovanni. Il punto di partenza è l'ultimo capitolo del vangelo di Giovanni. E' il capitolo 21 (=7·3) in cui si parla della terza apparizione di Gesù agli Apostoli dopo la sua resurrezione.
396 - Agostino d'Ippona, De diversis quaestionibus octoginta tribus, nella questione 57. De centum quinquaginta tribus piscibus.
440 - Nilo Asceta, Discorso sulla preghiera. Si trova nella Filocalìa. La Filocalia è una raccolta di testi ascetici della Chiesa cristiana ortodossa, pubblicata nel 1782. Nilo Asceta spiega che il suo Discorso è diviso in 153 capitoli in ricordo della pesca miracolosa di 153 grossi pesci di cui si parla nel Vangelo di Giovanni, 21, 11. Poi aggiunge altre spiegazioni matematiche sul significato simbolico di questo numero.
1894 - E. W. Bullinger, Number in Scripture: Its Supernatural Design and Spiritual Significance. Traccia una breve storia del 153 e presenta varie interpretazioni simboliche basate su calcoli aritmetici e persino sulla gematria.
Però non sembra molto convinto, infatti dice:
This is a number which has taxed the ingenuity of some of the greatest of Bible students, and that from the earliest times. All have felt there must be something deeply significant and mysterious in this number, from the solemn way in which it is introduced in John 21:11,—"Simon Peter went up and drew the net to land full of great fishes, one hundred and fifty and three."
Qualunque aiuto su questi argomenti è benvenuto!
Testi del 2001.
La dimostrazione di Sprmnt21 12/04/01
Una veloce/parziale riflessione sulla questione.
Se con SCC(N) indichiamo la somma dei cubi delle cifre del numero N, si ha che
se N e' un numero ad n cifre N>=10^(n-1) allora SCC(N)<=n*9^3<n*10^3.
Percio' i possibili n per cui SCC(N)=N sono quelli per cui 10^(n-1)<n*10^3
cioe' 10^(n-4)<n quindi n=1, 2, 3, 4.
La ricerca dei numeri N che sono uguali alla somma dei cubi delle proprie cifre
e' limitata ai numeri a 4 cifre. Si puo' facilmente limare ancora qualcosa
considerando che 4*9^3=2916 e' il massimo numero teorico raggiungibile come
somma di 4 cubi di una cifra. E ancora, il numero sotto 2916 con la piu' grande
SCC(N) e' 1999, precisamente SCC(1999)=2188.
Pertanto la ricerca da fare, ad esempio con l'aiuto di un software, si puo'
limitare agli N<1999.
Probabilmente si puo ancora scendere ma non credo ne valga la pena.
Non credo che siano molti. Abbiamo 0, 1, 153, e qualcun altro.
Per quanto riguarda la convergenza dell'algoritmo che applica iterativamente la
funzione SCC(.) a partire da un multiplo di 3, possiamo dire che ad ogni passo
otteniamo ancora un multiplo di 3. Infatti se N e' multiplo di 3 la somma delle
sue cifre e' multipla di 3. E dato che per il piccolo teorema di Fermat a^3==a
(mod 3) si ha che la somma dei cubi di un insieme di numeri e' congrua alla
somma dei numeri. Cioe' se a, b, c,... sono le cifre di n si ha che
a^3+b^3+c^3+...==a+b+c+... ==0 (mod 3) cioe' SCC(abc...) e' un multiplo di
3.
Un'altra cosa che si puo' dire che qualunque sia il numero di partenza
l'applicazione ripetuta di SCC(.) riduce via via il numero fino ad un numero
con non piu' di 4 cifre.
La successione ha i suoi punti fissi per gli N tali che N=SCC(N). Quindi se
arriva in uno dei numeri 0, 1, 153, (e gli altri eventuali che qualcuno spero
vorra' trovare/calcolare) la successione diventa stazionaria. Ma per
l'osservazione precedente, partendo da un numero multiplo di 3, la nostra
vicenda puo' avere come stazione d'arrivo solo i multipli di 3 fra 0, 1,
153,...
Ora io credo che l'unico multiplo di 3 fra questi sia il 153. Pertanto ... mi
fermo qua.
Potrebbe sembrare che se trovassimo tutti gli N tali che SCC(N)=N e risultasse,
come io credo, che 153 e' l'unico multiplo di 3, allora la prova e' completa.
Purtroppo non e' cosi'.
Cosa manca per completare la prova oltre a trovare che 153 e' l'unico N=SCC(N)
multiplo di 3?
Cioe' qual e' la situazione che pur rispettando tutte le condizione che ho
trovato non assicura la convergenza a 153?
Sprmnt21, 12/29/01
Queste sono le due righe del programma di Mathematica
f[x_] := Apply[Plus, #^3 &[IntegerDigits[x]]]
Do[Print[FixedPointList[f, i, 15]], {i, 1999}]
Questo e' uno stralcio di un file di solo testo (97Kbytes).
{1, 1}
{2, 8, 512, 134, 92, 737, 713, 371, 371}
{3, 27, 351, 153, 153}
{4, 64, 280, 520, 133, 55, 250, 133, 55, 250, 133, 55, 250, 133, 55, 250}
{5, 125, 134, 92, 737, 713, 371, 371}
{6, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153, 153}
{7, 343, 118, 514, 190, 730, 370, 370}
{8, 512, 134, 92, 737, 713, 371, 371}
{9, 729, 1080, 513, 153, 153}
{10, 1, 1}
{11, 2, 8, 512, 134, 92, 737, 713, 371, 371}
{12, 9, 729, 1080, 513, 153, 153}
{13, 28, 520, 133, 55, 250, 133, 55, 250, 133, 55, 250, 133, 55, 250, 133}
...
{33, 54, 189, 1242, 81, 513, 153, 153}
{34, 91, 730, 370, 370}
{35, 152, 134, 92, 737, 713, 371, 371}
{36, 243, 99, 1458, 702, 351, 153, 153}
{37, 370, 370}
...
{89, 1241, 74, 407, 407}
{90, 729, 1080, 513, 153, 153}
{91, 730, 370, 370}
{92, 737, 713, 371, 371}
{93, 756, 684, 792, 1080, 513, 153, 153}
...
{1193, 758, 980, 1241, 74, 407, 407}
{1194, 795, 1197, 1074, 408, 576, 684, 792, 1080, 513, 153, 153}
{1195, 856, 853, 664, 496, 1009, 730, 370, 370}
{1196, 947, 1136, 245, 197, 1073, 371, 371}
{1197, 1074, 408, 576, 684, 792, 1080, 513, 153, 153}
{1198, 1243, 100, 1, 1}
...
{1534, 217, 352, 160, 217, 352, 160, 217, 352, 160, 217, 352, 160, 217, 352,
160}
...
{1995, 1584, 702, 351, 153, 153}
{1996, 1675, 685, 853, 664, 496, 1009, 730, 370, 370}
{1997, 1802, 521, 134, 92, 737, 713, 371, 371}
{1998, 1971, 1074, 408, 576, 684, 792, 1080, 513, 153, 153}
{1999, 2188, 1033, 55, 250, 133, 55, 250, 133, 55, 250, 133, 55, 250, 133,
55}.
Come si puo' notare non in tutti i casi l'algoritmo converge ad un punto fisso.
I soli casi sono 1,153,370,371, 407. Di questi solo il 153 e' un multiplo di
3.
C'e' pure la risposta al quesito che avevo posto: cosa manca per completare la
prova che avevo abbozzato?
Si nota che per alcuni numeri si forma un ciclo. Ad esempio partendo da 1999 si
resta "bloccati" nel ciclo 55, 250, 133.
Si potrebbe cercare di provare (a prescindere dall'ispezione di tutti i casi
elencati, che in effetti da' questo risultato) che partendo da un multiplo di 3
non si arriva ad alcun ciclo del tipo precedente.
Le note storiche di Enrico Delfini
Scrivo a proposito del 153, numero per certi versi magico e caricato di
significati simbolici.
La sua presenza, davvero insolita, nelle pagine del Nuovo Testamento fu
inevitabilmente spunto di interpretazioni numerologiche da parte dei primi
Padri della Chiesa.
Anche S. Agostino (devo dire in alcune sue pagine non delle più memorabili) gli
attribuisce la particolarità di essere un numero "triangolare", e precisamente
il diciassettesimo, e diciassette è "speciale" essendo la somma dei dieci
comandamenti (Vecchio Testamento) e dei sette doni dello Spirito Santo
(N.T.).
Riguardo al procedimento iterativo di somma dei cubi delle cifre, a parte
153-370-371 e 407, si possono notare due "cicli a due" formati da 136-244 e da
919-1459.
Ci sono poi due "cicli a tre": 55-250-133 e 160-217-352.
Al grande matematico G. H. Hardy fu chiesto un esempio di teoremi "non seri".
La sua risposta chiamò in causa la dimostrazione che 8712 e 9801 sono i soli
numeri di quattro cifre che sono multipli del numero composto dalle quattro
cifre scritte da destra a sinistra.
Come secondo esempio Hardy cita la dimostrazione che ci sono solo quattro
numeri che sono la somma dei cubi delle loro cifre, commentando:
"Questi sono fatti strani, utili per giochini da pubblicare e per divertire
dei dilettanti, ma non c'è niente in essi che attira i matematici. Le
dimostrazioni non sono nè difficili nè interessanti, solo un po' stancanti. I
teoremi non sono seri, e la spiegazione sta nel fatto che sia l'enunciato che
la dimostrazione sono estremamente particolari e non sono capaci di nessuna
significativa generalizzazione."
A parte un richiamo al celebre problema dei ponti di Koenisberg affrontato da
Eulero, o al gioco dei dadi e B. Pascal, o ai conigli di Fibonacci, mi pare che
l'esistenza o meno di significativa possibilità di generalizzazione sia materia
non certo suscettibile di prova.
Se volete leggere la quaestio 57. - De centum quinquaginta tribus
piscibus, tratta da: DE DIVERSIS QUAESTIONIBUS OCTOGINTA TRIBUS di
Sant'Agostino, visitate la pagina:
Sui 153 pesci di S. Agostino.
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Pace e bene a tutti!
Gianfranco Bo
Data creazione: 2000
Ultimo aggiornamento: gennaio 2020
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