[BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]

I quattro 4, i cinque 5 e altri esercizi simili

Scheda PDF dei primi due esercizi.

1. I quattro 4

fig

Roberto ha dimostrato come si possono usare quattro 4, le operazioni aritmetiche e le parentesi per ottenere 20.

Utilizzando quattro 4, i segni delle quattro operazioni ed eventualmente le parentesi, sei capace di ottenere tutti i numeri interi da 0 a 10?

2. I cinque 5

fig

Giulia ha dimostrato come si possono usare cinque 5, le operazioni aritmetiche e le parentesi per ottenere 27.

Utilizzando cinque 5, i segni delle quattro operazioni ed eventualmente le parentesi, sei capace di ottenere tutti i numeri interi da 0 a 10?

3. I quattro 1

Harry dice a Edmund: "Io sono capace di sistemare quattro 1 e alcune operazioni aritmetiche in modo da ottenere esattamente 12."
Tu sei capace?
(Pike, 1788)

4. I quattro 3

Jack dice a suo fratello Harry: "Io sono capace di sistemare quattro 3 in modo da ottenere esattamente 34."
Tu sei capace di fare altrettanto?
(Dilworth, 1743)

5. Ancora i quattro 3

Utilizzando quattro 3 e le operazioni aritmetiche ottenere i seguenti numeri:
1/243
1/27
1/3
3
27
243

6. I quattro 5

Esprimere 6,5 con quattro 5

7. I quattro 9

Esprimere 100 con quattro 9.

8. I tre 6

Mettere assieme tre 6 in modo da ottenere 7.

9. Esprimere un numero intero utilizzando quattro R

Dawson, nel 1916, fu il primo a porre il problema dei quattro quattro in termini più generali.
E' possibile, utilizzando quattro R (R è una variabile che sta per un numero intero positivo qualsiasi) e le operazioni aritmetiche, esprimere tutte le cifre del sistema decimale?
(Dawson, 1916)

10. I tre 3

Esprimere tutte le cifre del sistema decimale utilizzando tre 3.
Come operazioni sono ammesse l'elevamento a potenza, l'estrazione di radice e il fattoriale.

11. Sempre e soltanto 6

Inserire opportunamente dei segni di operazioni o funzioni matematiche in modo da ottenere sempre 6.
1 1 1 = 6
2 2 2 = 6
3 3 3 = 6
4 4 4 = 6
5 5 5 = 6
6 6 6 = 6
7 7 7 = 6
8 8 8 = 6
9 9 9 = 6

12. Le nove cifre danno 100

Inserire segni matematici noti nella sequenza:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
in modo da ottenere 100

13. Le nove cifre danno ancora 100

Inserire segni matematici noti nella sequenza:
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
in modo da ottenere 100

14. Avvicinarsi a Pi greco

Con le nove cifre, da 1 a 9, disposte sia in ordine crescente che in ordine decrescente si può ottenere 100. Ma si può fare di più.
Ricordate quanto valgono pigreco, e e la radice quadrata di 2?
pi = 3,14159265359...
e = 2,718281828459...
radq 2 = 1,414213562373...
Si tratta di tre numeri irrazionali, perciò non potranno mai essere ottenuti a partire dai numeri interi e dalle quattro operazioni.
Però ci si può avvicinare.
Ecco il problema: utilizzando i numeri da 0 a 9 esattamente una volta, le operazioni aritmetiche +, -, x, /, le parentesi ( ) e la virgola decimale, scrivere una espressione il cui risultato sia il più vicino possibile al numero pi greco.
Stesso esercizio per i numero "e" e la radice quadrata di 2.

15. Il più grande numero che si può ottenere con quattro 1

Il numero 1 non si può certo considerare un numero grande, eppure...
Qual è il più grande numero che si può ottenere con quattro 1?

16. Formare 2 euro con 20 monete

Utilizzando soltanto monete da 50 centesimi, 20 centesimi e 5 centesimi è possibile formare 2 euro con 20 monete?
E 3 Euro?
E 5 euro?
Per farla più facile: Pierino ha a disposizione tre scatole: la prima contiene 100 monete da 500 lire, la seconda contiene 100 monete da 200 lire e la terza contiene 100 monete da 50 lire. Pierino deve comporre 2000 lire utilizzando esattamente 20 monete prese dalle tre scatole.
Riuscirà nell'impresa?
Riuscirà a comporre 3000 con 20 monete?
E a comporre 5000 lire?

17. Sempre uno

Inserisci tra ciascuna coppia di cifre il segno opportuno di operazione aritmetica in modo che il risultato di ciascuna riga sia 1.
E' permesso usare le parentesi.

(1 + 2) : 3 = 1

18. I record dei 4 4

Esprimete tutti i numeri da 1 a 100 ed oltre... utilizzando quattro 4 e le regole ammesse nei newsgroups per risolvere questo tipo di problemi.


Risposte & riflessioni

1. I quattro 4

0 = 4 + 4 - 4 - 4
1 = 44/44
2 = 4/4 + 4/4
3 = (4 + 4 + 4)/4
4 = (4 - 4) x 4 + 4
5 = (4 x 4 + 4)/4
6 = (4 + 4)/4 + 4
7 = 4 + 4 - 4/4
8 = 4 + 4 + 4 - 4
9 = 4 + 4 + 4/4

2. I cinque 5

0 = (5 + 5 - 5 - 5) x 5
1 = (5 + 5 x 5)/5 - 5
2 = 5 - (5 + 5 + 5)/5
3 = 5 - 5/5 - 5/5
4 = 5 - 55/55
5 = 5 - 5 + 5 - 5 + 5
6 = 5 + 55/55
7 = 5 + 5/5 + 5/5
8 = 5 +(5 + 5 + 5)/5
9 = (5 x 5 - 5)/5 + 5

3. I quattro 1

1 x 1 + 11 = 12

4. I quattro 3

3/3 + 33 = 34

5. Ancora i quattro 3

3-3 : 3 : 3 = 1/243
(3/3)/33 = 1/27
33-3/3 = 1/3
(3 + 3 + 3)/3 = 3
3 - 3 + 33 = 27
3 x 3 x 3 x 33 = 243

Un particolare ringraziamento a Fausto Belardi per la seguente soluzione.

1/243 = 3^(3/3-3!)
1/27 = 3^-(3/3*3)
1/3 = 3^-(3^(3-3))
3 = 3*3^(3-3) oppure rad cubica (3*3*3)
27 = 3^(3/3*3)
243 = 3^(3!-3/3)

6. I quattro 5

5,5 + 5/5 = 6,5

7. I quattro 9

99 + 9/9

8. I tre 6

6 + 6/6

9. Esprimere un numero intero utilizzando quattro R

Questo problema è stato proposto nella pagina: Problemi aperti.

10. I tre 3

0 = 3! - 3 - 3
1 = 3!/(3 + 3)
2 = 3 - 3/3
3 = 3 - 3 + 3
4 = 3 + 3/3
5 = 3! - 3/3
6 = 3! + 3 - 3
7 = 3! + 3/3
8 = 3! + 3!/3
9 = 3 + 3 + 3

11. Sempre e soltanto 6

(1 + 1 + 1)! = 6
2 + 2 + 2 = 6
3! + 3 - 3 = 6
(4 - 4/4)! = 6
5 + 5/5 = 6
6 + 6 - 6 = 6
7- 7/7 = 6
((radq(8 + 8))!/8)! = 6
9 - 9 + (radq(9))! = 6

12. Le nove cifre danno 100

0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 x 9

13. Le nove cifre danno ancora 100

9 x 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0

14. Avvicinarsi a Pi greco

Ad esempio:
1,6924/0,5387 = 3,14163...
Non c'è male, è pi greco a meno di un millesimo. Ma la seguente è mille volte più precisa.
(347+8)/(5+12+96) = 355/113 = 3,14159292...

15. Il più grande numero che si può ottenere con quattro 1

Questo problema è stato proposto nella pagina: Problemi aperti.

16. Formare 2 euro con 20 monete (o 2000 lire)

Un particolare ringraziamento a Giorgio Tumelero, autore della seguente risoluzione.

Sinteticamente possiamo scrivere:

500x + 200y + 50z = 2000 (equazione 1)
1x + 1y + 1z = 20 (equazione 2)

Moltiplichiamo l'equazione 2 per -50 e sommiamola all'equazione 1, otteniamo:

450x + 150y = 1000

ovvero, dividendo tutto per 50:

9x + 3y = 20 (equazione 3)

ovvero: y = 20/3 - 3x

Ma per qualsiasi valore intero di x avremo sempre un valore frazionario di y (e quindi di z); quindi il problema e' irrisolvibile.
Lo stesso se cerchiamo di ottenere 3000 o 5000 lire. Con 4000 lire invece avremmo che l'equazione 3 diventa:

9x + 3y = 60 ovvero, semplificando:

3x + y = 20 (equazione 3')

ovvero: y = 20 - 3x

da cui si ottengono le sette soluzioni (x, y, z) = (0,20,0), (1,17,2), (2,14,4), ecc.
Uno studioso delle frazioni continue avrebbe subito detto:
"L'equazione diofantea ax + by = c ha soluzioni se e solo se il coefficiente c e' divisibile per il M.C.D. dei coefficienti a e b. Quindi l'equazione 3 e' irrisolvibile."

17. Sempre uno1 x 2 + 3 - 4 = 1

1 - 2 + 3 + 4 - 5 = 1
1 x [2 - (3 - 4) x (5 - 6)] = 1
(1 + 2) : [3 x (4 - 5) x (6 - 7)] = 1
1 x [2+ (3 - 4) x (5 - 6) x (7 - 8)] = 1
1 x (2 - 3) x (4 - 5) x (6 - 7) x (8 - 9) = 1

18. I record dei 4 4

Nei newsgroup di matematica ricreativa si è formato a poco a poco un sistema di regole ammesse per risolvere problemi di questo tipo.

Sono ammesse le seguenti operazioni e funzioni matematiche:
+, -, *, /, estrazione di radice quadrata, elevamento a potenza, fattoriale)

E' inoltre possibile utilizzare le notazioni:

Non è ammesso l'uso del logaritmo perché in tal caso sarebbe possibile ottenere qualsiasi numero e allora non ci sarebbe più da divertirsi!

Perché con il logaritmo, assieme alla radice quadrata, si può esprimere qualunque numero intero con 4 4?

Ecco perché:

In pratica le espressioni sono del tipo:

- log2 [ log4 (4(1/2)n) ] =
- log2 [ (1/2)n) log4 4 ] =
- log2 (1/2)n =
- n log2 (1/2) =
n

Ed ecco i risultati da 1 a 200 e oltre!
Vi ricordo che:
sqrt(4) = 2
4! = 24
.4 = 4/10
.4~ = 4/9

Numero Espressione con quattro 4
0 4 - 4 + 4 - 4
1 (4/4) / (4/4)
2 4/4 + 4/4
3 (4+4+4) / 4
4 [ (4/4) ^4 ] * 4
5 [ 4*4 +4 ] / 4
6 [ (4+4) /4 ] +4
7 4 + 4 - (4/4)
8 4*4 - 4 - 4
9 4/4 + 4 + 4
10 4 + 4 + 4 - sqrt(4)
11 44 / (sqrt(4) + sqrt(4))
12 4 + 4 + sqrt(4) + sqrt(4)
13 4!/(sqrt(4)) + 4/4
14 4+4+4 + sqrt(4)
15 (44/4)+4
16 4*4*4 / 4
17 4*4 + 4/4
18 4*4 + 4 / sqrt(4)
19 4! - 4 - 4/4
20 4 * 4 + sqrt(4) + sqrt(4)
21 4! - 4 + 4/4
22 4! - (4! / 4 - 4)
23 4! - 4^(4-4)
24 4 * [ 4 + 4/sqrt(4) ]
25 4! + 4^(4-4)
26 4! + (4! / 4 + 4)
27 4! + 4 - 4/4
28 4! + 4 * (4/4)
29 4! + 4 + 4/4
30 (4 + 4/4)! / 4
31 (4! + 4)/4 +4!
32 4*4 + 4*4
33 (4 - .4)/.4 + 4!
34 4*4 * sqrt(4) + sqrt(4)
35 4! + 44/4
36 4*4 * sqrt(4) + 4
37 4! + (4! + sqrt(4)) / sqrt(4)
38 44 - 4 - sqrt(4)
39 4! + 4! - 4/.4~
40 44 - sqrt(4) - sqrt(4)
41 (4*4 + .4) / .4
42 44 - 4/sqrt(4)
43 44 - 4/4
44 44 + 4 - 4
45 44 + 4/4
46 44 + 4/sqrt(4)
47 4! + 4! - 4/4
48 44 + sqrt(4) + sqrt(4)
49 4! + 4! + 4/4
50 44 + 4! / 4
51 (4! - 4 + .4) / .4
52 44 + 4 + 4
53 44 + 4 / .4~
54 4! + 4! + (4! / 4)
55 {4! - [ 4 / sqrt(4) ] } / .4
56 44 + 4! / sqrt(4)
57 4! + 4! + 4/.4~
58 4! + 4! + 4/.4
59 4!/.4 - 4/4
60 44 + 4 * 4
61 4!/.4 + 4/4
62 (4 + 4) ^ (sqrt(4)) - sqrt(4)
63 (4! + sqrt4) / .4 - sqrt(4)
64 4 * 4 * sqrt(4) * sqrt(4)
65 (4^4 +4) / 4
66 (4 + 4) ^ [sqrt(4)] + sqrt(4)
67 [4! + sqrt(4)] / .4 + sqrt(4)
68 (4 + 4) ^ (sqrt(4)) + 4
69 (4!+4-.4)/.4
70 44 + 4! + sqrt(4)
71 (4 + 4! + .4) / .4
72 [ (4! / 4) ^ sqrt(4) ] * sqrt(4)
73 [4! * sqrt(4) + sqrt(.4~)] / sqrt(.4~)
74 4! + 4! + 4! + sqrt(4)
75 (4! + sqrt(4) + 4) / .4
76 4!*4 - 4! + 4
77 (4/.4~) ^ sqrt(4) - 4
78 sqrt(4 / .4~) * [4! + sqrt(4)]
79 (4/.4~) ^ (sqrt(4)) - sqrt(4)
80 4! * 4 - 4*4
81 (4/.4~) * (4/.4~)
82 (4! / .4) + 4! - sqrt(4)
83 (4/.4~) ^ (sqrt(4)) + sqrt(4)
84 4! * 4 - 4! / sqrt(4)
85 (4/.4~) ^ (sqrt(4)) + 4
86 4!*4 - 4/.4
87 4! * 4 - 4/.4~
88 4! * 4 - 4 - 4
89 4! + [4! + sqrt(4)]/.4
90 4! * 4 - 4! / 4
91 4 * 4! - (sqrt(4) / .4)
92 4! * 4 - sqrt(4*4)
93 4 * 4! - [ sqrt(4) / sqrt (.4~) ]
94 4! * 4 - 4/sqrt(4)
95 4! * 4 - 4/4
96 4! * 4 + 4 - 4
97 4! * 4 + 4/4
98 4! * 4 + 4/sqrt(4)
99 [4!*sqrt(4)-4] / .4~
100 4! * 4 + sqrt(4*4)
101 44/.4~ + sqrt(4)
102 4! * 4 - 4! / 4
103 (44 / .4~) + 4
104 4*4!+4+4
105 4! * 4 + 4/.4~
106 [4!+sqrt(4)] *4 +sqrt(4);
107 (4! + 4! - .4~) / .4~
108 4! * 4 + 4! / sqrt(4)
109 (4! + 4! + 4~) / .4~
110 (4! + 4! - 4) / .4
111 444 / 4
112 4! * 4 + 4*4
113
114 44/.4 + 4
115 [4! + 4! - sqrt(4)] / .4
116 (4+ 4/4)! - 4
117 (4! + 4! + 4) / .4~
118 (4+ 4/4)! - sqrt(4)
119 (4! + 4! -.4) / .4
120 (4! * 4!) / 4 - 4!
121 (4! + 4! + .4) / .4
122 (4+ 4/4)! + sqrt(4)
123 (44 / .4~) + 4!
124 (4+ 4/4)! + 4
125 [4! * sqrt(4) + sqrt(4)] / .4
126 (4^4) / sqrt(4) - sqrt(4)
127 [ 4^4 - sqrt(4) ] / sqrt(4)
128 (4^4) * sqrt(4) /4
129 [4^4 + sqrt(4)] / sqrt(4)
130 (4^4) / sqrt(4) + sqrt(4)
131 4! / (.4 * .4~) - 4
132 (4^4) / sqrt(4) + 4
133 4! / (.4~*.4) - sqrt(4)
134 (44 / .4) + 4!
135 4! / [(sqrt(.4 * .4)) * .4~]
136 (4 / .4 + 4!) * 4
137 4! / (.4~*.4) + sqrt(4)
138 (4!^sqrt(4) - 4!) / 4
139 4! / (.4*.4~) + 4
140 4! * 4 + 44
141 [4*4! - sqrt(4)] / sqrt(.4~)
142 4! * 4! /4 - sqrt(4)
143 (4!^sqrt(4) - 4) / 4
144 [ 4!^(4 / sqrt(4)) ] / 4
145 (4!^sqrt(4) + 4) / 4
146 [4!/(.4 * .4)] - 4
147 [4*4! + sqrt(4) ] / sqrt(.4~)
148 (4*4!) / sqrt(.4~) + 4
149 ( 4!/.4 - .4 ) / .4
150 (4!*4!+4!)/4
151 [(4!/.4) + .4] / .4
152 [4! / (.4 * .4)] + sqrt(4)
153 (44 + 4!) / .4~
154 4! / (.4 * .4) + 4
155 [(4!/.4) + sqrt(4)] / .4
156 4! * [4! + sqrt(4)] / 4
157
158 sqrt(sqrt(sqrt(4^(4!)))) / .4 - sqrt(4)
159 4!/(.4~ * .4) + 4!
160 4 * 4 * 4 / .4
161 [sqrt(sqrt(sqrt(4^(4!)))) + .4] / .4
162 (4! + 4! + 4!) / .4~
163
164 sqrt(sqrt(sqrt(4^(4!)))) / .4 + 4
165 44 / [sqrt(.4~) * .4]
166
167
168 [44 - sqrt(4)] * 4
169 { [ 4! + sqrt(4) ] / sqrt(4) } ^ sqrt(4)
170 (4! + 44) / .4~
171
172 44 * 4 - 4~
173
174 44 * 4 - sqrt(4)
175 (4!+4) / (.4*.4)
176 44 * sqrt(4) * sqrt(4)
177 {sqrt(4)/.4]! - sqrt(4)} / sqrt(.4~)
178 44 * 4 + sqrt(4)
179 [ (4!/4)! - 4] / 4
180 (4! - 4) * 4 / .4~
181 [(4!/4)! + 4] / 4
182 [(4!/4)!] / 4 + sqrt(4)
183 ((sqrt(4)/.4)! + sqrt(4)) / sqrt(.4~)
184 [44 + sqrt(4) ] * 4
185
186
187
188 4! * sqrt(4) * 4 - 4
189 (4! + 4!/ .4) / .4~
190 4! * sqrt(4) * 4 - sqrt(4)
191
192 (44+4) * 4
193
194 4! * sqrt(4) * 4 + sqrt(4)
195 (4!/.4~ + 4!) / .4
196 4! * sqrt(4) * 4 + 4
197
198 44 * sqrt(4) / .4~
199
200 (4!*4 + 4) * sqrt(4)
201
202 4^4 - 4 / .4~
203
204 (4!/4)! / 4 + 4!
205
206
207 (4*4! - 4) / .4~
208 4^4 - 4!*sqrt(4)
210 4 * [4! - sqrt(.4~)] / .4~
212 4^4 - 44
214 4 * 4! / .4~ - sqrt(4)
215 (4 * 4! - .4~) / .4~
216 4 * (4! + 4!) + 4!
217 (4 * 4! + .4~) / .4~
218 4 * 4! / .4~ + sqrt(4)
220 44 * sqrt(4) / .4
222 444 / sqrt(4)
224 (4! + 4) * (4 + 4)
225 (4 * 4! + 4) / .4~
228 4^4 - 4! - 4
230 (4 * 4! - 4) / .4
236 [ (4 * 4!) / .4] - 4
241 (4! * 4 + .4) / .4
242 4! / .4~ / .4~ / sqrt(4)
264 44 * 4! / 4
575 (4^4 - .4~) / .4~
577 (4^4 + .4~) / .4~
639 (4^4 - .4) / .4
641 (4^4 + .4) / .4
704 44 * 4 * 4

Pace e bene a tutti!

GfBo


Data creazione: luglio 2000

Ultimo aggiornamento: settembre 2014

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