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I quattro quattro

1. I quattro 1
Harry dice a Edmund: "Io sono capace di sistemare quattro 1 e alcune operazioni aritmetiche in modo da ottenere esattamente 12."
Tu sei capace?
(Pike, 1788)

2. I quattro 3
Jack dice a suo fratello Harry: "Io sono capace di sistemare quattro 3 in modo da ottenere esattamente 34."
Tu sei capace di fare altrettanto?
(Dilworth, 1743)

3. Ancora i quattro 3
Utilizzando quattro 3 e le operazioni aritmetiche ottenere i seguenti numeri:
1/243
1/27
1/3
3
27
243

4. I quattro 4
Malba Tahan, nel suo libro intitolato "L'uomo che sapeva contare" pone un problema simile al precedente.
Utilizzando quattro 4, i segni delle quattro operazioni ed eventualmente le parentesi, è possibile ottenere tutte le cifre del sistema decimale, dallo 0 al 9?

5. I quattro 5
Esprimere 6,5 con quattro 5

6. I quattro 9
Esprimere 100 con quattro 9.

7. I tre 6
Mettere assieme tre 6 in modo da ottenere 7.

8. Esprimere un numero intero utilizzando quattro R
Dawson, nel 1916, fu il primo a porre il problema dei quattro quattro in termini più generali.
E' possibile, utilizzando quattro R (R è una variabile che sta per un numero intero positivo qualsiasi) e le operazioni aritmetiche, esprimere tutte le cifre del sistema decimale?
(Dawson, 1916)

9. I cinque 5
Esprimere tutte le cifre del sistema decimale utilizzando cinque 5.
Come operazioni sono ammesse l'elevamento a potenza, l'estrazione di radice e il fattoriale.

10. I tre 3
Esprimere tutte le cifre del sistema decimale utilizzando tre 3.
Come operazioni sono ammesse l'elevamento a potenza, l'estrazione di radice e il fattoriale.

11. Sempre e soltanto 6
Inserire opportunamente dei segni di operazioni o funzioni matematiche in modo da ottenere sempre 6.
1 1 1 = 6
2 2 2 = 6
3 3 3 = 6
4 4 4 = 6
5 5 5 = 6
6 6 6 = 6
7 7 7 = 6
8 8 8 = 6
9 9 9 = 6

12. Le nove cifre danno 100
Inserire segni matematici noti nella sequenza:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
in modo da ottenere 100

13. Le nove cifre danno ancora 100
Inserire segni matematici noti nella sequenza:
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
in modo da ottenere 100

14. Avvicinarsi a Pi greco
Con le nove cifre, da 1 a 9, disposte sia in ordine crescente che in ordine decrescente si può ottenere 100. Ma si può fare di più.
Ricordate quanto valgono pigreco, e e la radice quadrata di 2?
pi = 3,14159265359...
e = 2,718281828459...
radq 2 = 1,414213562373...
Si tratta di tre numeri irrazionali, perciò non potranno mai essere ottenuti a partire dai numeri interi e dalle quattro operazioni.
Però ci si può avvicinare.
Ecco il problema: utilizzando i numeri da 0 a 9 esattamente una volta, le operazioni aritmetiche +, -, x, /, le parentesi ( ) e la virgola decimale, scrivere una espressione il cui risultato sia il più vicino possibile al numero pi greco.
Stesso esercizio per i numero "e" e la radice quadrata di 2.

15. Il più grande numero che si può ottenere con quattro 1
Il numero 1 non si può certo considerare un numero grande, eppure...
Qual è il più grande numero che si può ottenere con quattro 1?

16. Formare 2 euro con 20 monete
Utilizzando soltanto monete da 50 centesimi, 20 centesimi e 5 centesimi è possibile formare 2 euro con 20 monete?
E 3 Euro?
E 5 euro?
Per farla più facile: Pierino ha a disposizione tre scatole: la prima contiene 100 monete da 500 lire, la seconda contiene 100 monete da 200 lire e la terza contiene 100 monete da 50 lire. Pierino deve comporre 2000 lire utilizzando esattamente 20 monete prese dalle tre scatole.
Riuscirà nell'impresa?
Riuscirà a comporre 3000 con 20 monete?
E a comporre 5000 lire?

17. Sempre uno
Inserisci tra ciascuna coppia di cifre il segno opportuno di operazione aritmetica in modo che il risultato di ciascuna riga sia 1.
E' permesso usare le parentesi.

(1 + 2) : 3 = 1
1.....2.....3.....4 = 1
1.....2.....3.....4.....5 = 1
1.....2.....3.....4.....5.....6 = 1
1.....2.....3.....4.....5.....6.....7 = 1
1.....2.....3.....4.....5.....6.....7.....8 = 1
1.....2.....3.....4.....5.....6.....7.....8.....9 = 1

18. I record dei 4 4
Esprimete tutti i numeri da 1 a 100 ed oltre... utilizzando quattro 4 e le regole ammesse nei newsgroups per risolvere questo tipo di problemi.

Risposte & riflessioni

1. I quattro 1
1 x 1 + 11 = 12

2. I quattro 3
3/3 + 33 = 34

3. Ancora i quattro 3
3^-3 : 3 : 3 = 1/243
(3/3)/3³ = 1/27
3^3-3/3 = 1/3
(3 + 3 + 3)/3 = 3
3 - 3 + 3³ = 27
3 x 3 x 3 x 3³ = 243

Un particolare ringraziamento a Fausto Belardi per la seguente soluzione.
1/243 = 3^(3/3-3!)
1/27 = 3^-(3/3*3)
1/3 = 3^-(3^(3-3))
3 = 3*3^(3-3) oppure rad cubica (3*3*3)
27 = 3^(3/3*3)
243 = 3^(3!-3/3)

4. I quattro 4
0 = 4 + 4 - 4 - 4
1 = 44/44
2 = 4/4 + 4/4
3 = (4 + 4 + 4)/4
4 = (4 - 4) x 4 + 4
5 = (4 x 4 + 4)/4
6 = (4 + 4)/4 + 4
7 = 4 + 4 - 4/4
8 = 4 + 4 + 4 - 4
9 = 4 + 4 + 4/4

5. I quattro 5
5,5 + 5/5 = 6,5

6. I quattro 9
99 + 9/9

7. I tre 6
6 + 6/6

8. Esprimere un numero intero utilizzando quattro R
Questo problema è stato proposto nella pagina: Problemi aperti.

9. I cinque 5
0 = (5 + 5 - 5 - 5) x 5
1 = (5 + 5 x 5)/5 - 5
2 = 5 - (5 + 5 + 5)/5
3 = 5 - 5/5 - 5/5
4 = 5 - 55/55
5 = 5 - 5 + 5 - 5 + 5
6 = 5 + 55/55
7 = 5 + 5/5 + 5/5
8 = 5 +(5 + 5 + 5)/5
9 = (5 x 5 - 5)/5 + 5

10. I tre 3
0 = 3! - 3 - 3
1 = 3!/(3 + 3)
2 = 3 - 3/3
3 = 3 - 3 + 3
4 = 3 + 3/3
5 = 3! - 3/3
6 = 3! + 3 - 3
7 = 3! + 3/3
8 = 3! + 3!/3
9 = 3 + 3 + 3

11. Sempre e soltanto 6
(1 + 1 + 1)! = 6
2 + 2 + 2 = 6
3! + 3 - 3 = 6
(4 - 4/4)! = 6
5 + 5/5 = 6
6 + 6 - 6 = 6
7- 7/7 = 6
((radq(8 + 8))!/8)! = 6
9 - 9 + (radq(9))! = 6

12. Le nove cifre danno 100
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 x 9

13. Le nove cifre danno ancora 100
9 x 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0

14. Avvicinarsi a Pi greco
Ad esempio:
1,6924/0,5387 = 3,14163...
Non c'è male, è pi greco a meno di un millesimo. Ma la seguente è mille volte più precisa.
(347+8)/(5+12+96) = 355/113 = 3,14159292...

15. Il più grande numero che si può ottenere con quattro 1
Questo problema è stato proposto nella pagina: Problemi aperti.

16. Formare 2 euro con 20 monete (o 2000 lire)

Un particolare ringraziamento a Giorgio Tumelero, autore della seguente risoluzione.

Sinteticamente possiamo scrivere:

500x + 200y + 50z = 2000 (equazione 1)
1x + 1y + 1z = 20 (equazione 2)

Moltiplichiamo l'equazione 2 per -50 e sommiamola all'equazione 1, otteniamo:

450x + 150y = 1000

ovvero, dividendo tutto per 50:

9x + 3y = 20 (equazione 3)

ovvero: y = 20/3 - 3x

Ma per qualsiasi valore intero di x avremo sempre un valore frazionario di y (e quindi di z); quindi il problema e' irrisolvibile.
Lo stesso se cerchiamo di ottenere 3000 o 5000 lire. Con 4000 lire invece avremmo che l'equazione 3 diventa:

9x + 3y = 60 ovvero, semplificando:

3x + y = 20 (equazione 3')

ovvero: y = 20 - 3x

da cui si ottengono le sette soluzioni (x, y, z) = (0,20,0), (1,17,2), (2,14,4), ecc.
Uno studioso delle frazioni continue avrebbe subito detto:
"L'equazione diofantea ax + by = c ha soluzioni se e solo se il coefficiente c e' divisibile per il M.C.D. dei coefficienti a e b. Quindi l'equazione 3 e' irrisolvibile."

17. Sempre uno
1 x 2 + 3 - 4 = 1
1 - 2 + 3 + 4 - 5 = 1
1 x [2 - (3 - 4) x (5 - 6)] = 1
(1 + 2) : [3 x (4 - 5) x (6 - 7)] = 1
1 x [2+ (3 - 4) x (5 - 6) x (7 - 8)] = 1
1 x (2 - 3) x (4 - 5) x (6 - 7) x (8 - 9) = 1

18. I record dei 4 4
Nei newsgroup di matematica ricreativa si è formato a poco a poco un sistema di regole ammesse per risolvere problemi di questo tipo.

Sono ammesse le seguenti operazioni e funzioni matematiche:
+, -, *, /, estrazione di radice quadrata, elevamento a potenza, fattoriale)

E' inoltre possibile utilizzare le notazioni:

• il punto decimale delle calcolatrici (esempio): .4 = 0,4
• periodico (esempio) .(4) oppure .4^~ per indicare 0,44444..... periodico
• ROOT(n,m) per indicare la radice n-esima di m; in questo caso m, n devono essere numeri ammessi dal gioco.
• SQRT(n) o SQRT n per indicare la radice quadrata di n

Non è ammesso l'uso del logaritmo perché in tal caso sarebbe possibile ottenere qualsiasi numero e allora non ci sarebbe più da divertirsi!

Perché con il logaritmo, assieme alla radice quadrata, si può esprimere qualunque numero intero con 4 4?

Ecco perché:

In pratica le espressioni sono del tipo:

- log₂ [ log₄ (4^(1/2)n) ] =
- log₂ [ (1/2)ⁿ) log₄ 4 ] =
- log₂ (1/2)ⁿ =
- n log₂ (1/2) =
n

Ed ecco i risultati da 1 a 200 e oltre!
Vi ricordo che:
sqrt(4) = 2
4! = 24
.4 = 4/10
.4^~ = 4/9

Data creazione: luglio 2000

Ultimo aggiornamento: giugno 2006

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