[BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]

Ordine nel caos

E' vero che il disordine completo è impossibile?

E' vero che un insieme totalmente casuale, purché sufficientemente grande, contiene sicuramente un sottoinsieme che presenta qualche regolarità?

Ebbene sì, è vero, ma al di là di questa banale risposta vi propongo di risolvere alcuni problemi usando ragionamenti matematici. Senza però scomodare la teoria di Ramsey ma utilizzando soltanto il principio dei cassetti.


Problema 1 - Un insieme di 5 numeri interi positivi

Scegliete in modo del tutto casuale 5 numeri interi positivi. Non ci sono limiti alla grandezza dei numeri. Sono ammesse ripetizioni.

Dimostrate che in questo insieme di 5 numeri, comunque siano stati scelti, ce ne sono sicuramente alcuni (da 1 a 5) la cui somma è divisibile per 5.

Soluzione.

Facciamo dapprima un esempio. Scriviamo un insieme di 5 numeri naturali.

{9, 132, 14, 72, 29}

Il metodo inutile

Nessuno dei numeri è divisibile per 5.

Nessuna coppia è divisibile per 5.

Potremmo esaminare pazientemente tutte le terne e le quaterne e la cinquina e alla fine troveremmo per esempio che:

29 + 9 + 72 = 110, divisibile per 5.

Questo metodo di ricerca della soluzione non va bene perché funziona solo in questo caso particolare e non aiuta a trovare un ragionamento generale.

Inoltre, se i numeri, invece di 5 fossero 50, la ricerca di tutte le combinazioni sarebbe decisamente troppo lunga.

Un metodo buono

9, 14, 29, 72, 132

9 = 9

9 + 14 = 23

9 + 14 + 29 =52

9 + 14 + 29 + 72 = 124

9 + 14 + 29 + 72 + 132 = 256

E' un caso davvero sfortunato, nessuna di esse è divisibile per 5.

9 = 9 = 4 mod 5

9 + 14 = 23 = 3 mod 5

9 + 14 + 29 =52 = 2 mod 5

9 + 14 + 29 + 72 = 124 = 4 mod 5

9 + 14 + 29 + 72 + 132 = 256 = 1 mod 5

9 + 14 + 29 + 72 = 124 = 4 mod 5

9 = 9 = 4 mod 5

9 + 14 + 29 + 72 - 9 = 14 + 29 + 72 = 115 = 0 mod 5

Nota.

Grazie a Pietro Vitelli per aver proposto al Forum di BASE Cinque una soluzione valida di questo problema (http://www.base5forum.it/esercizi-sul-principio-dei-cassetti-n-10-somma-divisibile-per-5-t841.html)


Somma e prodotto di uno o zero termini?

In generale, il problema 1 chiede di dimostrare che: in qualunque insieme di n numeri interi positivi, ce ne sono alcuni la cui somma è divisibile per n.

Aggiungo qui qualche precisazione.

Come è definita la somma di un solo addendo?

E il prodotto di un solo fattore?

E la somma e il prodotto di 0 (zero) termini?

Abbiamo discusso ampiamente l'argomento in questa pagina del Forum, perciò qui riporto soltanto le conclusioni.

Generalizziamo il problema precedente al caso di n numeri.


Problema 2 - Sequenza nella sequenza

Scegliete in modo del tutto casuale n numeri interi positivi. Non ci sono limiti alla grandezza dei numeri. Sono ammesse ripetizioni. Dimostrate che in questo insieme di n numeri, comunque siano stati scelti, ce ne sono sicuramente alcuni (da 1 a n) la cui somma è divisibile per n.

Soluzione.

Abbiamo dimostrato qualcosa di più di quanto richiesto

In realtà abbiamo dimostrato che:

Una qualunque permutazione (sequenza ordinata) di n numeri contiene almeno una sottosequenza di termini consecutivi la cui somma è divisibile per n.


Problema 3 - Griglia di punti colorati

Considerate una griglia rettangolare formata da 3 × 9 punti.

Ogni punto è colorato di bianco o di nero, in modo del tutto casuale.

Dimostrate che in tale griglia, comunque siano colorati i punti, esiste un rettangolo che ha i vertici dello stesso colore.

Si assume che i lati del rettangolo sono paralleli ai lati della griglia

Quali sono le dimensioni minime, a × b, della griglia affinchè tale rettangolo esista?

fig

In figura 1 si vede una griglia di 4×4 punti snza nessun rettangolo con i vertici dello stesso colore.
In figura 2 c'è una griglia 5×5 con due rettangoli evidenziati in rosso.


Pace e bene a tutti!

Gianfranco Bo


Data creazione: settembre 2014

Ultimo aggiornamento: ottobre 2014

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