[BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]
E' vero che il disordine completo è impossibile?
E' vero che un insieme totalmente casuale, purché sufficientemente grande, contiene sicuramente un sottoinsieme che presenta qualche regolarità?
Ebbene sì, è vero, ma al di là di questa banale risposta vi propongo di risolvere alcuni problemi usando ragionamenti matematici. Senza però scomodare la teoria di Ramsey ma utilizzando soltanto il principio dei cassetti.
Scegliete in modo del tutto casuale 5 numeri interi positivi. Non ci sono limiti alla grandezza dei numeri. Sono ammesse ripetizioni.
Dimostrate che in questo insieme di 5 numeri, comunque siano stati scelti, ce ne sono sicuramente alcuni (da 1 a 5) la cui somma è divisibile per 5.
Soluzione.
Facciamo dapprima un esempio. Scriviamo un insieme di 5 numeri naturali.
{9, 132, 14, 72, 29}
Il metodo inutile
Nessuno dei numeri è divisibile per 5.
Nessuna coppia è divisibile per 5.
Potremmo esaminare pazientemente tutte le terne e le quaterne e la cinquina e alla fine troveremmo per esempio che:
29 + 9 + 72 = 110, divisibile per 5.
Questo metodo di ricerca della soluzione non va bene perché funziona solo in questo caso particolare e non aiuta a trovare un ragionamento generale.
Inoltre, se i numeri, invece di 5 fossero 50, la ricerca di tutte le combinazioni sarebbe decisamente troppo lunga.
Un metodo buono
9, 14, 29, 72, 132
9 = 9
9 + 14 = 23
9 + 14 + 29 =52
9 + 14 + 29 + 72 = 124
9 + 14 + 29 + 72 + 132 = 256
E' un caso davvero sfortunato, nessuna di esse è divisibile per 5.
9 = 9 = 4 mod 5
9 + 14 = 23 = 3 mod 5
9 + 14 + 29 =52 = 2 mod 5
9 + 14 + 29 + 72 = 124 = 4 mod 5
9 + 14 + 29 + 72 + 132 = 256 = 1 mod 5
9 + 14 + 29 + 72 = 124 = 4 mod 5
9 = 9 = 4 mod 5
9 + 14 + 29 + 72 - 9 = 14 + 29 + 72 = 115 = 0 mod 5
Nota.
Grazie a Pietro Vitelli per aver proposto al Forum di BASE Cinque una soluzione valida di questo problema (http://www.base5forum.it/esercizi-sul-principio-dei-cassetti-n-10-somma-divisibile-per-5-t841.html)
In generale, il problema 1 chiede di dimostrare che: in qualunque insieme di n numeri interi positivi, ce ne sono alcuni la cui somma è divisibile per n.
Aggiungo qui qualche precisazione.
Come è definita la somma di un solo addendo?
E il prodotto di un solo fattore?
E la somma e il prodotto di 0 (zero) termini?
Abbiamo discusso ampiamente l'argomento in questa pagina del Forum, perciò qui riporto soltanto le conclusioni.
Generalizziamo il problema precedente al caso di n numeri.
Scegliete in modo del tutto casuale n numeri interi positivi. Non ci sono limiti alla grandezza dei numeri. Sono ammesse ripetizioni. Dimostrate che in questo insieme di n numeri, comunque siano stati scelti, ce ne sono sicuramente alcuni (da 1 a n) la cui somma è divisibile per n.
Soluzione.
ah+1 + ah+2 + ... + ak = 0 mod n
In realtà abbiamo dimostrato che:
Una qualunque permutazione (sequenza ordinata) di n numeri contiene almeno una sottosequenza di termini consecutivi la cui somma è divisibile per n. |
Considerate una griglia rettangolare formata da 3 × 9 punti.
Ogni punto è colorato di bianco o di nero, in modo del tutto casuale.
Dimostrate che in tale griglia, comunque siano colorati i punti, esiste un rettangolo che ha i vertici dello stesso colore.
Si assume che i lati del rettangolo sono paralleli ai lati della griglia
Quali sono le dimensioni minime, a × b, della griglia affinchè tale rettangolo esista?
In figura 1 si vede una griglia di 4×4 punti snza nessun
rettangolo con i vertici dello stesso colore.
In figura 2 c'è una griglia 5×5 con due rettangoli evidenziati in rosso.
Pace e bene a tutti!
Gianfranco Bo
Data creazione: settembre 2014
Ultimo aggiornamento: ottobre 2014
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