[BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]
E possibile indovinare un numero
pensato, compreso fra 1 e 27
facendo soltanto 3 domande?
Nella pagina dedicata alla Divinazione binaria abbiamo visto che per indovinare un numero pensato fra 16 numeri, occorrono 4 domande, cioè log216. Le domande devono avere risposta del tipo sì/no.
E possibile indovinare un numero pensato, compreso fra 1 e 27 facendo soltanto 3 domande?
Certo!, Ma le domande devono essere del tipo a tre risposte, il che permette di dividere ogni volta l'insieme in tre parti. Infatti log3 27 = 3
Nella pagina: Il gioco dei 27 numeri ne trovate una versione in javascript in cui il computer indovina un numero da voi pensato.
Nella pagina: Il gioco delle 27 carte ne trovate una versione con le carte da gioco.
Ecco un esempio
Pensate un numero intero da 1 a 27, estremi compresi.
Io indovinerò il numero ponendo soltanto 3 domande di tipo ternario.
Prima domanda: in quale riga si trova?
k = 0 |
R1 |
1 |
4 |
7 |
10 |
13 |
16 |
19 |
22 |
25 |
|
k = 1 |
R2 |
2 |
5 |
8 |
11 |
14 |
17 |
20 |
23 |
26 |
|
k = 2 |
R3 |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
21 |
24 |
27 |
|
Associate i numeri chiave k = 0, 1, 2 rispettivamente alle righe R1, R2, R3.
Seconda domanda: in quale riga si trova?
h = 1 |
R4 |
1 |
2 |
3 |
10 |
11 |
12 |
19 |
20 |
21 |
|
h = 4 |
R5 |
4 |
5 |
6 |
13 |
14 |
15 |
22 |
23 |
24 |
|
h = 7 |
R6 |
7 |
8 |
9 |
16 |
17 |
18 |
25 |
26 |
27 |
|
Associate i numeri chiave k = 1, 4, 7 rispettivamente alle righe R4, R5, R6.
Terza domanda: in quale riga si trova?
k+h |
R7 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
k+h |
R8 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
k+h |
R9 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
|
Il numero pensato si trova nella posizione (k+h)-esima della riga indicata
nell'ultima risposta.
Qual è il segreto?
Suggerimento: l'antico gioco si ripete. Se scriviamo i numeri in base 3
scopriamo che, in pratica, ciascuna domanda chiede una cifra (in base 3) del
numero pensato.
Prima domanda: in quale riga si trova?
|
R1 |
1 |
4 |
7 |
10 |
13 |
16 |
19 |
22 |
25 |
3° cifra = 0 |
|
R2 |
2 |
5 |
8 |
11 |
14 |
17 |
20 |
23 |
26 |
3° cifra = 1 |
|
R3 |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
21 |
24 |
27 |
3° cifra = 2 |
Ringrazio Annalisa Pillepich per avermi segnalato un fatto da chiarire riguardo alle seguenti tabelle
Attenzione! Nella seguente tabella i numeri
in base 3 NON corrispondono a quelli in
base 10. I numeri in base 3 sono ordinati
da 000 a 222 mentre quelli in base 10 vanno da 1 a 27. Non è necessario che
corrispondano perché i numeri in base 10
sono soltanto dei simboli, ciascuno dei quali è ASSOCIATO ad un
numero in base 3. Potrebbero essere ordinati in qualunque altro modo,
potrebbero anche essere oggetti, nomi di fiori, carte da gioco,
etc.
base 10 |
base 3 |
base 10 |
base 3 |
base 10 |
base 3 |
1 |
000 |
10 |
100 |
19 |
200 |
2 |
001 |
11 |
101 |
20 |
201 |
3 |
002 |
12 |
102 |
21 |
202 |
4 |
010 |
13 |
110 |
22 |
210 |
5 |
011 |
14 |
111 |
23 |
211 |
6 |
012 |
15 |
112 |
24 |
212 |
7 |
020 |
16 |
120 |
25 |
220 |
8 |
021 |
17 |
121 |
26 |
221 |
9 |
022 |
18 |
122 |
27 |
222 |
Seconda domanda: in quale riga si trova?
|
R4 |
1 |
2 |
3 |
10 |
11 |
12 |
19 |
20 |
21 |
2° cifra = 0 |
|
R5 |
4 |
5 |
6 |
13 |
14 |
15 |
22 |
23 |
24 |
2° cifra = 1 |
|
R6 |
7 |
8 |
9 |
16 |
17 |
18 |
25 |
26 |
27 |
2° cifra = 2 |
Attenzione! Nella seguente tabella i numeri in base
3 NON corrispondono a quelli in base 10.
Vedi nota precedente.
base 10 |
base 3 |
base 10 |
base 3 |
base 10 |
base 3 |
1 |
000 |
10 |
100 |
19 |
200 |
2 |
001 |
11 |
101 |
20 |
201 |
3 |
002 |
12 |
102 |
21 |
202 |
4 |
010 |
13 |
110 |
22 |
210 |
5 |
011 |
14 |
111 |
23 |
211 |
6 |
012 |
15 |
112 |
24 |
212 |
7 |
020 |
16 |
120 |
25 |
220 |
8 |
021 |
17 |
121 |
26 |
221 |
9 |
022 |
18 |
122 |
27 |
222 |
Terza domanda: in quale riga si trova?
|
R7 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1° cifra = 0 |
|
R8 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
1° cifra = 1 |
|
R9 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
1° cifra = 2 |
Attenzione! Nella seguente tabella i numeri in base
3 NON corrispondono a quelli in base 10.
Vedi nota precedente.
base 10 |
base 3 |
base 10 |
base 3 |
base 10 |
base 3 |
1 |
000 |
10 |
100 |
19 |
200 |
2 |
001 |
11 |
101 |
20 |
201 |
3 |
002 |
12 |
102 |
21 |
202 |
4 |
010 |
13 |
110 |
22 |
210 |
5 |
011 |
14 |
111 |
23 |
211 |
6 |
012 |
15 |
112 |
24 |
212 |
7 |
020 |
16 |
120 |
25 |
220 |
8 |
021 |
17 |
121 |
26 |
221 |
9 |
022 |
18 |
122 |
27 |
222 |
Esempio.
Se uno pensa il numero 25, risponde 3, 3, 1 rispettivamente alle domande 3, 2, 1, dal che si capisce che il numero pensato, in base 3 è:
220 = 2·9 + 2·3 + 1 = 25
a) Con la prima domanda individuo le unità, k (in base 3).
b) Con la seconda domanda individuo le terzine.
c) Con la terza domanda individuo le "nonine".
Nella terza tabella, i numeri sono scritti in modo che le unità e le
terzine si susseguano così:
posto |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
unità |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
terzine |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
3 |
3 |
3 |
Come si vede, le terzine "cambiano" al 1°, al 4° e al 7° posto.
Il numero h (1, 4, oppure 7) che ricavo dalla seconda domanda, mi dice da quale punto devo iniziare a contare le unità.
Il numero k (0, 1, 2) che ricavo dalla prima domanda, mi dice quante unità devo contare.
Dunque k + h mi dà la posizione esatta del numero pensato nella riga individuata con la terza domanda, che è la riga delle "nonine".
Esempio.
Se uno pensa 15 = 112 (in base 3).
Alla prima domanda risponde 3 (h = unità = 2)
Alla seconda domanda risponde 2 (terzine = 2, k = punto di inizio delle 2 terzine nella terza tabella = 4)
Alla terza domanda risponde 2 ("nonine" = 1, k + h = 2 + 4 = 6, punto in cui si trova il numero 15 nella 2° riga della 3° tabella.
Nota.
Il gioco funziona anche cambiando l'ordine dei numeri.
Applicate la stessa procedura al seguente esempio.
Domanda 1:
Riga 1: 3,2,1, 15,12, 7, 23,22,16
Riga 2: 8,6,4, 19,13,11, 25,24,17
Riga 3: 10,9,5, 21,20,14, 26,27,18
Domanda 2:
Riga 4: 3,8,10, 15,19,21, 23,25,26
Riga 5: 2,6, 9, 12,13,20, 22,24,27
Riga 6: 1,4, 5, 7,11,14, 16,17,18
Domanda 3:
Riga 7: 3, 8,10, 2, 6, 9, 1, 4, 5
Riga 8: 15,19,21, 12,13,20, 7,11,14
Riga 9: 23,25,26, 22,24,27, 16,17,18
Data creazione: aprile 2006
Ultimo aggiornamento: settembre 2007
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