[BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]

Il test di Bertoldino (2024)

Aggiornamento del 5 aprile 2024

Il Test di Bertoldino è una collezione di problemi elementari per i quali la risposta giusta non è quella che viene in mente per prima.

Ho scelto il nome "Bertoldino" ispirandomi al racconto Le piacevoli et ridicolose simplicità di Bertoldino di Giulio Cesare Croce, del 1608.

Questo test dovrebbe aiutarci a non cascare ingenuamente in una trappola elementare del problem solving.

Quale trappola?

Beh, quando si risolvono problemi matematici bisognerebbe tenere sempre accesi il ragionamento e la consapevolezza.

Invece gli alunni spesso cercano subito schemi da applicare alla situazione. Ci casco anch'io talvolta e credo che sia capitato a tutti noi, anche con problemi semplici.

Quindi la trappola è: applicare istintivamente uno schema risolutivo sbagliato senza esaminare la situazione.

Vediamo tre esempi.

1) Un problema apparentemente di tipo additivo.

---

Pesci rossi

Il 100% dei pesci che si trovano in un acquario sono pesci rossi. Togli il 10% dei pesci rossi.
Quale percentuale di pesci rossi contiene ora l'acquario?

---

Si parla di togliere qualcosa perciò il primo pensiero va all'operazione di sottrazione e la risposta sarebbe 90%. Ma questo schema mentale è sbagliato.

La percentuale di pesci rossi nell'acquario è sempre il 100%.

2) Un problema apparentemente di tipo moltiplicativo.

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Quanti figli?

Marco e Angela hanno 5 figli maschi. Inoltre, ciascun figlio maschio ha una sorella.
Quanti figli hanno in tutto Marco e Angela?

---

Si parla di una sorella per ciascuno dei figli maschi perciò il primo pensiero va all'operazione di moltiplicazione e la risposta sarebbe 10 figli in tutto.

Ma anche in questo caso lo schema mentale è sbagliato.

I figli sono in tutto 6 dei quali 5 maschi e 1 femmina.

3) Un problema ingannevole sull'unione di insiemi.

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Collezionatori
In una classe, 15 alunni collezionano figurine, 5 alunni collezionano biglie e i restanti 6 alunni non collezionano nulla.
Quanti sono in tutto gli alunni della classe?

---

Gli alunni della classe sono inseriti in tre insiemi perciò il primo pensiero va all'unione di insiemi e quindi alla somma delle loro cardinalità e la risposta sarebbe 26 alunni in tutto.

Purtroppo questo schema mentale è sbagliato perché vale solo quando gli insiemi sono disgiunti. Nella situazione descritta potrebbero esistere alunni che fanno due collezioni, sia di biglie sia di figurine.

Quindi i dati sono insufficienti per rispondere, oppure si può dire che la classe potrebbe essere formata da 21 a 26 alunni.

I problemi capziosi di Paolina Quarra

La prima idea di questa raccolta risale a Paolina Quarra che faceva parte del numeroso gruppo di collaboratrici e collaboratori del matematico Giuseppe Peano negli anni 1913-1930.

Paolina Quarra pubblicò la sua raccolta nell'articolo Problemi capziosi, Bollettino di Matematica (A. Conti), 1919.

L'articolo era destinato agli insegnanti di matematica della scuola di base con lo scopo di rendere le lezioni dilettevoli e sollevare la mente affaticata dei giovani servendosi di problemi interessanti e anche di qualche giochetto matematico.

Peano riprese successivamente alcuni problemi capziosi di Quarra e li inserì nel suo libretto Giochi di aritmetica e problemi interessanti, Paravia, Torino, 1924.

I trick problems di Tanya Khovanova

Veniamo ora a tempi più attuali.

Tanya Khovanova è una matematica freelance e ricercatrice presso il Dipartimento di Matematica del MIT.

Anche lei attribuisce un alto valore didattico a questo tipo di problemi. Li chiama trick problems e ne mantiene da anni una collezione che ogni tanto aggiorna sul suo blog personale: Tanya Khovanova's Math Blog.

Una lettura fondamentale è il suo articolo Tricky Arithmetic, 2012, arXiv, (arXiv:1204.3112).

La mia collezione

Finalmente, qui di seguito riporto la mia collezione con i vari aggiornamenti ordinati dal più recente al più vecchio.

Contiene i problemi che preferisco, tratti e rielaborati dalle raccolte che ho citato sopra, dai social networks e da idee che mi sono venute lavorando a scuola con i miei alunni.

Cari amici, se conoscete qualche problema di questo tipo, vi prego di inviarmelo! Grazie!

Aggiorno periodicamente Il test di Bertoldino sul sito BASE Cinque, da cui è tratto questo articolo.

Problemi aggiunti nel 2024

I gradini della scala
Aldo si trova sul gradino centrale di una scala appoggiata a un muro.
Scende 3 gradini poi sale 12 gradini e si trova in cima alla scala.
Quanti gradini ha la scala?
Trasferimento di biglie (additivo)
Enzo e Gaia hanno lo stesso numero di biglie.
Quante biglie Enzo deve dare a Gaia affinché Gaia ne abbia 10 più di Enzo?
Sottrazione
Sottrai il primo numero pari dal secondo numero quadrato.
I primi tre multipli
Scrivi i primi tre multipli di 5.
Fattore 6
Scrivi tutti i numeri che hanno 6 come fattore.
Le cifre di un numero
Quale numero ha due, cinque, due tre?
[A] 5533
[B] 2523
[C] 2533
[D] 5523
La metà
Quanto è la metà del doppio di 137509?
Conigli
I conigli adulti si riproducono generando 4 cuccioli ogni mese.
Se metti un coniglio adulto in una gabbia per 3 mesi, quanti coniglietti produrrà?

Problemi aggiunti nel 2023

Dal giornalaio
Sofia è andata dal giornalaio con 5 monete da 1 € in tasca per comprare il suo giornalino preferito.
Il giornalaio le chiede 2,50 €.
Quanto ottiene Sofia di resto?
Biglietti numerati
Su un tavolo ci sono dei biglietti numerati da 10 a 30.
Entrano alcuni ragazzi e ciascuno prende un biglietto.
Alla fine rimangono 3 biglietti sul tavolo.
Quanti sono i ragazzi?
Giocatori in fila
Alcuni giocatori di pallacanestro sono in fila, disposti in ordine di altezza.
Se partiamo dal più alto, Andrea si trova all'11° posto della fila.
Se invece partiamo dal più basso, Andrea si trova al 9° posto.
Quanti sono i giocatori in fila?
Somma delle età
Quest'anno, la somma delle età di Greta, Sofia e Martina è 29 anni.
Quale sarà la somma delle loro età l'anno prossimo?
Mezzo bicchiere
Un bicchiere pieno d'acqua pesa 200 grammi.
Quanto pesa il bicchiere pieno a metà?
Collezionatori
In una classe, 15 alunni collezionano figurine, 5 alunni collezionano biglie e i restanti 6 alunni non collezionano nulla.
Quanti sono in tutto gli alunni della classe?
Sette figli
Una donna ha 7 figli e metà di loro sono maschi.
Com'è possibile?
Due monete
Ho in tasca due monete la cui somma è di 3 euro. Una delle monete non è una moneta da 2 euro.
Quali sono le monete?
Sottrarre 8
Quante volte si può sottrarre 8 da 24?
Mesi con 28 giorni
In un anno non bisestile, quanti sono i mesi con 28 giorni?
Scale
In un palazzo di 7 piani, devi salire 20 scalini per andare da un piano al piano successivo.
Quanti scalini devi salire per andare dal primo al terzo piano?
10 euro in regalo
Aldo ha 10 € e chiede a sua mamma altri 10 € in regalo.
Quanti euro avrà Aldo?

Problemi aggiunti nel 2022

Se 100 pagine di un libro pesano 100 grammi, quanto pesa un foglio di quel libro?
Il 100% dei pesci che si trovano in un acquario sono pesci rossi. Togli il 10% dei pesci rossi.
Quale percentuale di pesci rossi contiene ora l'acquario?
Due amici fanno una passeggiata nel parco e trovano 20 € per terra.
Quanti soldi avrebbero trovato se fossero stati in quattro?
Due ciclisti corrono alla velocità di 30 km/h.
Qual è la velocità di un ciclista?
Sofia ha 15 anni.
Quanti anni avrebbe se fosse nata 5 anni fa?
Al mio cane Tobia piacciono i libri. Questa mattina ha portato 3 libri nella sua cuccia e oggi ne ha portati altri 2.
Quanti libri leggerà Tobia questa notte?
Marco e Angela hanno 5 figli maschi. Ciascun figlio maschio ha una sorella.
Quanti figli hanno in tutto Marco e Angela?
Trenta bambini si apprestano a disegnare. Ciascuno di essi disegna su un foglio una mela rossa, poi la cancella e disegna al suo posto una pera gialla.
Quanti frutti hanno disegnato i bambini?
Se un etto di spaghetti cuoce in 7 minuti, quanto tempo ci vuole per cuocerne due etti?
Antonio conosce 12 nomi da donna, Bruno ne conosce 9.
Insieme quanti ne conoscono?

Problemi non elementari

Patate disidratate
Immaginiamo di avere 100 kg di patate, che contengono il 99% d'acqua. Supponiamo ora di farle disidratare, fin quando contengono il 98% d'acqua.
Quanto è il nuovo peso?
Distanza dei pali
I capi di un cavo lungo 80 metri, libero di pendere, sono fissati alle cime di due pali alti 50 metri: un capo è in cima a un palo, l’altro capo è in cima all’altro.
A che distanza si devono mettere i due pali affinché il punto più basso del cavo sia esattamente a 10 metri da terra?
Quante "E" ci sono?
IN QUESTA FRASE CI SONO DUE "Q".
Sei d'accordo? Ok.
Sapresti scrivere allo stesso modo quante "E" ci sono?
Nella frase seguente, sostituisci i puntini in modo ottenere una affermazione giusta. Scrivi il numero in lettere.

IN QUESTA FRASE CI SONO ... "E".
Probabilità
In una famiglia ci sono due soli figli. Si sa che uno dei due è maschio.
Qual è la probabilità che l’altro figlio sia femmina?
(per semplicità supponiamo che la probabilità di avere un figlio maschio sia uguale a quella di avere una figlia femmina, cioè 50%)
Trasferimento di biglie (moltiplicativo)
Enzo e Gaia hanno lo stesso numero di biglie.
Quante biglie Enzo deve dare a Gaia affinché Gaia ne abbia il doppio di Enzo?

Problemi aggiunti nel 2010

In una stalla ci sono 15 pecore. Scappano tutte tranne 5.
Quante ne rimangono?
Hai 5 cioccolatini e ne mangi uno ogni mezz'ora.
Quante ore ti durano i cioccolatini?
In un tamponamento a catena, per fortuna non grave, sono coinvolte 10 automobili.
Quanti sono i paraurti danneggiati?
Stai partecipando a una gara ciclistica. A un certo punto superi il secondo.
In quale posizione ti trovi?
Hai 15 euro in tasca e ne perdi 9.
Cosa c'è nella tasca?
Stefano ha 7 bastoncini di varie lunghezze. Ne spezza uno a metà.
Quanti bastoncini ha Stefano adesso?
Due mani hanno 10 dita.
Quante dita hanno 5 mani?

Problemi della prima collezione, del 2000

Dividi 30 per 1/2 e aggiungi 10.
Che numero ottieni?
Ci sono 10 alunni in fila, nel cortile. La distanza fra alunno e l'altro è di 1 m.
Qual è la distanza dal primo all'ultimo alunno?
Per fare un quadrato servono 4 stecchini.
Michele costruisce una fila di quadrati con gli stecchini come illustrato nella figura qui sotto.
Quanti stecchini servono per costruire una fila di 100 quadrati?
Un quadrato di carta ha quattro angoli.
Se tagli via un angolo, quanti angoli ha la figura rimasta?
Per cuocere 3 uova si impiegano 3 minuti.
Quanto tempo serve per cuocere 6 uova?
Quanto è di più: mezza dozzina di dozzine oppure 6 dozzine di dozzine di uova?
Diego e Maria misurano la lunghezza di un corridoio a passi. Maria fa 10 passi e Diego 12.
Chi ha il passo più lungo?
Gilberto impiega 2 minuti per tagliare una trave di legno in 2 pezzi uguali.
Quanto tempo impiegherà per tagliare la trave in 4 pezzi uguali?

Soluzioni

Nota. Per facilitare la lettura delle soluzioni, riporto anche il testo dei problemi.

Problemi aggiunti nel 2024

I gradini della scala

Aldo si trova sul gradino centrale di una scala appoggiata a un muro.

Scende 3 gradini poi sale 12 gradini e si trova in cima alla scala.

Quanti gradini ha la scala?
---
19 (non 18)
Trasferimento di biglie (additivo)

Enzo e Gaia hanno lo stesso numero di biglie.

Quante biglie Enzo deve dare a Gaia affinché Gaia ne abbia 10 più di Enzo?
---
5 (non 10)
Sottrazione
Sottrai il primo numero pari dal secondo numero quadrato.
---
1-0 = 1 (non 2-1=1, 0 è il primo numero pari e anche il primo quadrato perfetto)
I primi tre multipli
Scrivi i primi tre multipli di 5.
---
0, 5, 10 (non 5, 10, 15, 0 è multiplo di tutti i numeri perché n×0 = 0)
Fattore 6
Scrivi tutti i numeri che hanno 6 come fattore.
---
Sono infiniti, è umanamente impossibile scriverli tutti, oppure 6k (non 1, 2, 3, 6)
Le cifre di un numero
Quale numero ha due, cinque, due tre?
[A] 5533
[B] 2523
[C] 2533
[D] 5523
---
[C]
La metà
Quanto è la metà del doppio di 137509?
---
137509 (non serve fare calcoli perché la metà del doppio di un numero è il numero stesso)
Conigli
I conigli adulti si riproducono generando 4 cuccioli ogni mese.
Se metti un coniglio adulto in una gabbia per 3 mesi, quanti coniglietti produrrà?
---
0 (non 12)

Problemi aggiunti nel 2023

Dal giornalaio
Sofia è andata dal giornalaio con 5 monete da 1 € in tasca per comprare il suo giornalino preferito.
Il giornalaio le chiede 2,50 €.
Quanto ottiene Sofia di resto?
---
0,50 € (non 2,50 €)
Biglietti numerati
Su un tavolo ci sono dei biglietti numerati da 10 a 30.
Entrano alcuni ragazzi e ciascuno prende un biglietto.
Alla fine rimangono 3 biglietti sul tavolo.Quanti sono i ragazzi?
---
18 (non 17) perché i biglietti sono 21
Giocatori in fila
Alcuni giocatori di pallacanestro sono in fila, disposti in ordine di altezza.
Se partiamo dal più alto, Andrea si trova all'11° posto della fila.
Se invece partiamo dal più basso, Andrea si trova al 9° posto.
Quanti sono i giocatori in fila?
---
19 (non 20) perché non si deve contare Andrea due volte
Somma delle età
Quest'anno, la somma delle età di Greta, Sofia e Martina è 29 anni.
Quale sarà la somma delle loro età l'anno prossimo?
---
32 (non 30), lo stesso giorno dell'anno prossimo
Mezzo bicchiere
Un bicchiere pieno d'acqua pesa 200 grammi.
Quanto pesa il bicchiere pieno a metà?
---
Dati insufficienti per rispondere (non 100 g)
Collezionatori
In una classe, 15 alunni collezionano figurine, 5 alunni collezionano biglie e i restanti 6 alunni non collezionano nulla.
Quanti sono in tutto gli alunni della classe?
---
Dati insufficienti per rispondere, oppure da 21 a 26 alunni (non 26)
Sette figli
Una donna ha 7 figli e metà di loro sono maschi.
Com'è possibile?
---
Sono sette maschi quindi anche l'altra metà di loro sono maschi, oppure il pronome "loro" comprende anche la madre quindi i figli sono 3 femmine e 4 maschi (non impossibile)
Due monete
Ho in tasca due monete la cui somma è di 3 euro. Una delle monete non è una moneta da 2 euro.
Quali sono le monete?
---
1 € e 2 €, infatti una delle monete non è da 2 € (non impossibile)
Sottrarre 8
Quante volte si può sottrarre 8 da 24?
---
1 volta perché dopo averlo sottratto non c'è più il 24, oppure infinite volte (non 3)
Mesi con 28 giorni
In un anno non bisestile, quanti sono i mesi con 28 giorni?
---
12, cioè tutti i mesi hanno 28 giorni e qualcuno ne ha anche di più (non 1)
Scale
In un palazzo di 7 piani, devi salire 20 scalini per andare da un piano al piano successivo.
Quanti scalini devi salire per andare dal primo al terzo piano?
---
40 perché si sale di 2 piani (non 60)
10 euro in regalo
Aldo ha 10 € in tasca e chiede a sua mamma altri 10 € in regalo.
Quanti euro avrà in tasca?
---
Dipende da quanti euro gli regala la mamma, da 0 a 10, perché alle mamme piace contrattare (non 20)

Problemi aggiunti nel 2022

Se 100 pagine di un libro pesano 100 grammi, quanto pesa un foglio di quel libro?
---
2 g (non 1)
Il 100% dei pesci che si trovano in un acquario sono pesci rossi. Togli il 10% dei pesci rossi.
Quale percentuale di pesci rossi contiene ora l'acquario?
---
100% (non 90%)
Due amici fanno una passeggiata nel parco e trovano 20 € per terra.
Quanti soldi avrebbero trovato se fossero stati in quattro?
---
20 € (non 40)
Due ciclisti corrono alla velocità di 30 km/h.
Qual è la velocità di un ciclista?
---
30 km/h (non 15)
Sofia ha 15 anni.
Quanti anni avrebbe se fosse nata 5 anni fa?
---
5 (non 10)
Al mio cane Tobia piacciono i libri. Questa mattina ha portato 3 libri nella sua cuccia e oggi ne ha portati altri 2.
Quanti libri leggerà Tobia questa notte?
---
nessuno (non 5)
Marco e Angela hanno 5 figli maschi. Ciascun figlio maschio ha una sorella.
Quanti figli hanno in tutto Marco e Angela?
---
6 (non 10)
Trenta bambini si apprestano a disegnare. Ciascuno di essi disegna su un foglio una mela rossa, poi la cancella e disegna al suo posto una pera gialla.
Quanti frutti hanno disegnato i bambini?
---
60 (non 30), ma ci sono anche altre risposte valide...
Se un etto di spaghetti cuoce in 7 minuti, quanto tempo ci vuole per cuocerne due etti?
---
7 (non 14)
Antonio conosce 12 nomi da donna, Bruno ne conosce 9.
Insieme quanti ne conoscono?
---
Dati insufficienti (non 21)

Problemi non elementari

Patate disidratate
Immaginiamo di avere 100 kg di patate, che contengono il 99% d'acqua. Supponiamo ora di farle disidratare, fin quando contengono il 98% d'acqua.
Quanto è il nuovo peso?
---
50 kg (non 99 o altro)
Distanza dei pali
I capi di un cavo lungo 80 metri, libero di pendere, sono fissati alle cime di due pali alti 50 metri: un capo è in cima a un palo, l’altro capo è in cima all’altro.
A che distanza si devono mettere i due pali affinché il punto più basso del cavo sia esattamente a 10 metri da terra?

---
I pali devono essere attaccati fra loro, cioè la distanza deve essere 0.
Quante "E" ci sono?
IN QUESTA FRASE CI SONO DUE "Q".
Sei d'accordo? Ok.
Sapresti scrivere allo stesso modo quante "E" ci sono?
Nella frase seguente, sostituisci i puntini in modo ottenere una affermazione giusta. Scrivi il numero in lettere.

IN QUESTA FRASE CI SONO ... "E".
---
Per esempio "TRE + DUE" oppure "INDISCUTIBILMENTE SEI" (non "TRE")
Probabilità
In una famiglia ci sono due soli figli. Si sa che uno dei due è maschio.
Qual è la probabilità che l’altro figlio sia femmina?
(per semplicità supponiamo che la probabilità di avere un figlio maschio sia uguale a quella di avere una figlia femmina, cioè 50%)
---
75% (non 50%)
Ci sono quattro modi possibili di avere due figli:
MM - MF - FM - FF
Il caso FF è escluso perciò ci sono 3 modi di avere due figli, uno dei quali sia maschio:
MM - MF - FM
Si vede che in 2 casi su 3 l'altro figlio è femmina, perciò la probabilità è 75%.
Trasferimento di biglie (moltiplicativo)
Enzo e Gaia hanno lo stesso numero di biglie.
Quante biglie Enzo deve dare a Gaia affinché Gaia ne abbia il doppio di Enzo?
---
1/3 di quelle che possiede (non 1/2)
Indichiamo con n il numero di biglie possedute inizialmente e con x il numero di biglie da trasferire.
Possiamo scrivere l'equazione:
2(n-x) = n+x
n = 3x
x=n/3

Problemi aggiunti nel 2010

In una stalla ci sono 15 pecore. Scappano tutte tranne 5.
Quante ne rimangono?
---
5 (non 10)
Hai 5 cioccolatini e ne mangi uno ogni mezz'ora.
Quante ore ti durano i cioccolatini?
---
2 ore (non 2 ore e mezza)
In un tamponamento a catena, per fortuna non grave, sono coinvolte 10 automobili.
Quanti sono i paraurti danneggiati?
---
18 (non 20)
Stai partecipando a una gara ciclistica. A un certo punto superi il secondo.
In quale posizione ti trovi?
---
secondo (non primo)
Hai 15 euro in tasca e ne perdi 9.
Cosa c'è nella tasca?
---
un buco (non 6 €)
Stefano ha 7 bastoncini di varie lunghezze. Ne spezza uno a metà.
Quanti bastoncini ha Stefano adesso?
---
8 (non 6)
Due mani hanno 10 dita.
Quante dita hanno 5 mani?
---
25 (non 50)

Problemi della prima collezione, del 2020

Dividi 30 per 1/2 e aggiungi 10.
Che numero ottieni?
---
70 (non 25)
Ci sono 10 alunni in fila, nel cortile. La distanza fra alunno e l'altro è di 1 m.
Qual è la distanza dal primo all'ultimo alunno?
---
9 (non 10)
Per fare un quadrato servono 4 stecchini.
Michele costruisce una fila di quadrati con gli stecchini come illustrato nella figura qui sotto.
Quanti stecchini servono per costruire una fila di 100 quadrati?

---
301 (non 400)
Un quadrato ha quattro angoli.
Se tagli via un angolo, quanti angoli ha la figura rimasta?
---
5 (non 3)
Per cuocere 3 uova si impiegano 5 minuti.
Quanto tempo serve per cuocere 6 uova?
---
5 minuti (non 10)
Quanto è di più: mezza dozzina di dozzine oppure 6 dozzine di dozzine di uova?
---
6 dozzine di dozzine = 6*12*12 = 864 (non uguali)
Diego e Maria misurano la lunghezza di un corridoio a passi. Maria fa 10 passi e Diego 12.
Chi ha il passo più lungo?
---
Maria (non Diego)
Gilberto impiega 2 minuti per tagliare una trave di legno in 2 pezzi uguali.
Quanto tempo impiegherà per tagliare la trave in 4 pezzi uguali?
---
2 pezzi = 1 taglio, 4 pezzi = 3 tagli --> 6 minuti (non 4 minuti)

Pace e bene a tutti.

GfBo

Data creazione: aprile 2022

Ultimo aggiornamento: settembre 2023

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