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16 settembre 2020 - 260.2020
Matematica rilassante con i sona drawings
Cari amici ho inserito un nuovo sfondo della home page usando alcuni disegni sona su 5 punti.
Ho un sacco di domande, per esempio:
- Questi 6 disegni sono distinti topologicamente?
- Quale potrebbe essere un criterio per distinguere e classificare i disegni sona?
- Quanti disegni sona distinti si possono tracciare con n = 5 punti?
- Quanti disegni con n = 1, 2, 3, 4, ... punti?
- Esiste questa sequenza su OEIS?
11 settembre 2020 - 255.2020
Ex Falso sequitur quodlibet
In logica, usando correttamente le regole:
- da premesse Vere si possono dimostrare solo conclusioni Vere;
- da premesse False (o contraddittorie) si può ricavare tutto, cioè sia il Vero, sia il Falso.
Ecco un esempio scherzoso che mostra come si possa dimostrare una proposizione Falsa partendo da una premessa Falsa.
F --> F
---
Uno studente chiese al famoso logico Bertrand Russell:
- E' vero che partendo da premesse false si può dimostrare qualunque cosa?
Russell rispose: - Certo!
- Sarebbe capace di dimostrare che se 2 + 2 = 5 allora lei è il Papa?
Bertrand Russell ci pensò un po' su poi disse:
-
Supponiamo che: 2 + 2 = 5;
-
sottraiamo 3 da entrambi i membri e otteniamo: 1 = 2;
-
quindi 1 = 2 e per simmetria 2 = 1.
-
Ora, io e il Papa siamo 2 persone ma siccome 2 = 1 allora io e il Papa siamo 1 persona.
-
Perciò io sono il Papa.
---
Ma come si può dimostrare il Vero partendo dal Falso?
F --> V
Per esempio, partendo dall'ipotesi 2 + 2 = 5, dimostrare 1 = 1.
6 settembre 2020 - 250.2020
Linea retta sul dodecaedro
Domanda: Esiste una linea retta disegnata sul dodecaedro regolare che parta da un vertice e arrivi allo stesso vertice senza passare attraverso nessun altro vertice?
Risposta: Sì, anzi ne esistono ben 31 famiglie!
Domanda: Si può fare la stessa cosa sulla superficie degli altri 4 solidi regolari (tetraedro, cubo, etc)?
Risposta: No.
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Spiegazione semplice del "Sì": A Trajectory from a Vertex to Itself on the Dodecahedron di Jayadev S. Athreya, David Aulicino, 2018. (https://arxiv.org/abs/1802.00811)
Spiegazione semplice del "Ne esistono 31 famiglie", su Quanta Magazine:
Mathematicians Report New Discovery About the
Dodecahedron di Erica Klarreich,
2020
(https://www.quantamagazine.org/mathematicians-report-new-discovery-about-the-dodecahedron-20200831/)
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Il professor Howard Masur ha detto:
“It’s one of these things where I can say, without any hesitation, ‘Goodness, oh, I wish I had done that!’”
1 settembre 2020 - 245.2020
Buon anno scolastico a tutti!
Cari colleghi, genitori, studenti vi propongo un esercizio augurale per un buon anno scolastico 2020-2021.
E' un esercizio di ricerca e illuminazione, ispirato a La stella nascosta di Samuel Loyd.
---
Dov’è la mamma di Piko?
Il gattino Piko si è infilato nella stanza dei giochi. C’è la stella di Sam
Loyd, ci sono due cuori, e poi il castello della paura e la corona della
regina.
Ma dov’è finito Piko? L’hai trovato? Bene.
Nella stanza c’è anche sua mamma Zelda.
Sei capace di trovarla?
27 agosto 2020 - 240.2020
Pensiero laterale matematico (2) [aggiornato]
Cari amici, vi propongo due problemi laterali che hanno qualcosa in comune, secondo me.
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6. Attraversare un fiume
Due ragazzi devono attraversare un fiume, ma c'è una sola barca a remi che può trasportare un solo ragazzo alla volta.
La barca non può tornare indietro da sola.
Non ci sono corde o trucchi simili.
Nel fiume vivono pesci carnivori, perciò un ragazzo non può stare in acqua tenendosi alla barca.
Eppure entrambi i ragazzi riescono ad attraversare il fiume usando la barca.
Come si spiega?
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5. Quanti triangoli?
Ho disegnato alcuni triangoli su un foglio di carta.
Per prima cosa ho mostrato il foglio a Mario e gli ho chiesto quanti triangoli c'erano. Mario ha detto 5 e aveva ragione.
Poi ho mostrato il foglio a Sofia e le ho chiesto quanti triangoli c'erano. Sofia ha detto 3 e aveva ragione.
Ripeto che le risposte date date da Mario e Sofia sono entrambe esatte.
Come si spiega? Quanti triangoli ci sono sul foglio?
Puoi illustrare la tua spiegazione con un disegno.
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Cosa hanno in comune questi due problemi?
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(Tratti dal blog di Tanya Kovanova)
22 agosto 2020 - 235.2020
Certi problemi, che io chiamo "tigri di carta", sembrano difficili da domare ma basta una piccola astuzia per smascherare la loro semplicità.
Però può capitare che dietro la tigre di carta si nasconda la criniera di un leone in carne ed ossa.
Per esempio...
Numeri quadrati perfetti che contengono solo due cifre distinte
Versione facile.
Immagina un numero di duecento cifre formato da cento "2" e cento "4".
Dimostra che, in qualunque modo siano disposte le cifre, tale numero non sarà mai un quadrato perfetto.
Questo problema si può risolvere a mente con le nozioni matematiche che si imparano in prima media.
Versione difficile.
6661661161 = 816192
Il numero 6661661161 è il più grande numero conosciuto che sia un quadrato, contenga soltanto due cifre distinte e non termini per 0.
Trova un numero più grande che abbia le stesse caratteristiche oppure dimostra che non esiste.
Questo è un problema non ancora risolto.
Vedi la sequenza A018884 - Squares using at most two distinct digits, not ending in 0 su OEIS.
17 agosto 2020 - 230.2020
Zero e uno in cerchio
Scrivete quattro 1 e cinque 0 in cerchio, in ordine casuale.
Poi applicate la seguente regola:
- Tra due numeri uguali scrivete un 1 e tra due numeri diversi scrivete uno 0.
- Poi cancellate i numeri originali.
Potete applicare nuovamente la regola, quante volte volete.
Per esempio nella figura, a sinistra, vedete una possibile distribuzione iniziale di 1 e 0. A destra, invece, ciò che si ottiene applicando la regola una volta.
Domanda: è possibile ottenere tutti 1 applicando la regola un numero finito di volte?
Suggerimento: è un problema che si può risolvere partendo dal fondo e procedendo a ritroso.
Ho aggiornato la pagina Quando si comincia dal fondo.
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Tratto da: Strategies of problem solving (Draft) di Maria Nogin, 2008.
Questo problema è citato anche nel libro The Mathematics of Various Entertaining Subjects, Volume 3 - The Magic of Mathematics, a cura di Jennifer Beineke e Jason Rosenhouse, 2019.
12 agosto 2020 - 225.2020
Umorismo matematico 19-20 [aggiornato]
20. A lezione da Schrodinger
7 agosto 2020 - 220.2020
I disegni del popolo Chokwe
- Segnate alcuni punti su un foglio (esempio figura A).
- Disegnate una linea intrecciata che racchiuda ciascun punto in una
regione finita del piano (esempio figura B).
Ciascuna regione finita deve contenere esattamente un punto.
Provate a risolvere il problema con la struttura di punti mostrata nella figura C.
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Questo è un esempio di etnomatematica, studiato recentemente da David Eppstein e altri nell'articolo New Results in Sona Drawing: Hardness and TSP Separation (https://arxiv.org/abs/2007.15784).
Altri esempi di etnomatematica si trovano nel libro di Claudia Zaslavsky, Multicultural Mathematics, 1993.
2 agosto 2020 - 215.2020
Posso dire che 1 è un numero primo?
Breve storia della primalità di 1.
Immaginiamo di chiedere ai grandi matematici della storia:
"Si può dire che 1 è un numero primo?"
Le risposte sarebbero...
28 luglio 2020 - 210.2020
Ho aggiornato la pagina Spazio, tempo, velocità con un nuovo problema.
Emma e Greta vanno al parco
Emma e Greta sono sorelle gemelle che hanno la stessa velocità di camminata e la stessa velocità di corsa.
Un giorno fanno un viaggio al parco.
Emma cammina per metà della distanza e corre per l'altra metà.
Greta cammina per metà del tempo e corre per l'altra metà del tempo.
Chi arriva al parco per prima?
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Tratto da AoPS online (https://artofproblemsolving.com/online)
23 luglio 2020 - 205.2020
Una sequenza per futuri veterinari
Cari amici, questa è una fedele riproduzione di un quesito tratto da qui.
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- Voi come lo risolvereste?
Siete liberi di inventare anche soluzioni diverse da quelle indicate. - La risposta "ufficiale" (43) mi lascia perplesso. Come si potrebbe correggere il quesito cambiando poche parole?
Ho inserito questo quesito nella pagina: Posso dire che 1 è un numero primo?
18 luglio 2020 - 200.2020
Il numero cromatico del piano
Comincio questo appunto col teorema di Adamo, Eva e Bertoldino.
Immaginate di avere un foglio grande come il piano geometrico e 1, 2, 3, 4, ...n colori.
- Colorare il piano significa assegnare un colore a ogni punto del piano stesso.
- Dato un numero intero positivo n, diciamo che il piano è n-colorato quando ogni suo punto è colorato con uno fra n colori stabiliti.
Per esempio, scelti i 2 colori rosso e blu, il piano è 2-colorato quando ogni suo punto è rosso oppure blu.
La colorazione può avvenire in infiniti modi, senza alcuna restrizione sulla distribuzione dei colori.
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Teorema. In qualunque modo sia 2-colorato il piano e qualunque unità di misura si scelga, esistono almeno due punti dello stesso colore che distano fra loro 1 unità.
Per dimostrarlo basta lanciare nel piano un triangolo equilatero di lato 1 (fig.1).
Se invece lanciate un grafo di Golomb (fig. 2) potete dimostrare che anche in un piano 3-colorato esistono almeno due punti dello stesso colore che distano fra loro 1 unità.
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15 luglio 2020 - 197.2020
Buon compleanno BASE Cinque!
Oggi sono felicemente commosso: BASE Cinque compie 20 anni!
Penso con gratitudine a tutti gli amici che hanno contribuito al sito dapprima con e-mail, poi partecipando al forum su VoyForum e attualmente al forum gestito da Pietro Vitelli. Grazie di cuore a tutti!
Il mio piccolo regalo al sito è un problema del grande maestro Nobuyuki Yoshigahara pubblicato sul suo libro Puzzles 101: A PuzzleMasters Challenge, CRC Press, 2004.
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Una calcolatrice rotta.
La mia calcolatrice è rotta: non mostra più sul display i segmenti
verticali delle cifre.
Ho digitato un numero da una cifra e il display mostra tre segmenti
orizzontali.
Quale operazione potresti fare per scoprire il numero che ho digitato?
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Pace e bene a tutti!
8 luglio 2020 - 190.2020
Astronave intergalattica
A volte nel Forum partiamo da un problema preciso, lo risolviamo con onore e poi divaghiamo un po'. Il filo del discorso è matematico ma è fatto di associazioni fantasiose e talvolta di bei ricordi.
La discussione "I sei quadrati", per esempio, è partita da un problema sull'area di un triangolo per arrivare all'ellisse, poi a un'astronave intergalattica e infine al concetto urbanistico di città equa.
Come ha detto Pasquale: "Tanto mi piacque questa discussione!"
Bruno ci ha persino donato il disegno dell'astronave.
Quanti aspetti matematici riuscite a trovare nel disegno?
Grazie a Bruno, Panurgo, Pasquale, Lucignolo e Delfo52 per i loro contributi.
3 luglio 2020 - 185.2020
Il problema dei cinque ponti
L'immagine mostra cinque ponti che collegano le rive opposte di un fiume passando attraverso due isole. Ci sono diversi modi per attraversare il fiume usando alcuni ponti.
Ieri c'è stata una tempesta così forte che ciascun ponte ha avuto il 50% di probabilità di crollare. Oggi, Aldo arriva al fiume e deve attraversarlo.
Data la disposizione dei ponti e delle isole, qual è la probabilità che Aldo sia in grado attraversare il fiume?
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E' un problema semplice ma interessante perché ci fa riflettere, tra
l'altro, sull'importanza della simmetria in matematica.
Se volete commentare o proporre una soluzione, trovate questo problema anche
nel Forum.
Tratto da: The five bridges puzzle di Katie Steckles, (https://scilogs.spektrum.de/hlf/the-five-bridges-puzzle/)
28 giugno 2020 - 180.2020
Un teorema quasi straordinario in una data quasi perfetta
Il 28/6/496 fu una data perfetta. In quell'anno l'Italia era governata da Teodorico, re degli Ostrogoti.
Il 28/6/8128, sarà la prossima data perfetta. Chissà come sarà il mondo...
Oggi, 28/6/2020 è una data quasi perfetta e vi propongo un teorema quasi straordinario.
Tutto nasce dalla domanda:
È possibile dividere l’insieme dei numeri naturali in due parti in modo che nessuna delle due contenga una terna pitagorica?
E' una domanda che ci fa immergere nell'infinito. Se la risposta fosse "sì", la dimostrazione sarebbe davvero straordinaria.
Ma la risposta è "no" e deriva dal seguente teorema:
Teorema. L'insieme {1, 2, 3, ..., 7824} si può dividere in due parti tali che nessuna delle due contenga una terna pitagorica. Tale divisione è invece impossibile con l'insieme {1, 2, 3, ..., 7825}.
La dimostrazione ha richiesto circa 35.000 ore di calcolo ma siccome è stata realizzata da una "nuvola" di 800 computer che hanno lavorato in parallelo, si è conclusa in soli 2 giorni.
Il "testo" non compresso della dimostrazione occupa circa 200 terabyte.
Vorrei fare un confronto con l'Ulysses di James Joyce. La versione che si trova sul Progetto Gutenberg è formata da 1.481.456 caratteri (spazi compresi). Ogni carattere occupa 1 byte di memoria.
Poiché 1 terabyte = 1012 = 1.000.000.000.000 byte, possiamo concludere che la dimostrazione è lunga circa 135 milioni di volte l'Ulysses di Joyce.
Nessuno di noi può verificarla e neppure scaricarla con il proprio computer personale.
Possiamo accettarla come dimostrazione?
Il racconto di come è stata ottenuta si trova su arXiv.org (https://arxiv.org/abs/1605.00723)
Marijn J. H. Heule, Oliver Kullmann, Victor W. Marek, Solving and Verifying the boolean Pythagorean Triples problem via Cube-and-Conquer.
23 giugno 2020 - 175.2020
Divertitevi con questo classico. Potete anche fare una mini-installazione in grandezza naturale.
18 giugno 2020 - 170.2020
Il problema delle quattro R [aggiornato]
Ho aggiornato questo problema con i contributi di Pietro Vitelli e di Sergio Casiraghi.
Finalmente questo problema è (abbastanza) risolto!
13 giugno 2020 - 165.2020
Se A fosse B, cosa sarebbe C?
[aggiornato]
Cinque per 6 uguale trentasei
Sappiamo che:
5·6 fa 6²
59·60 fa 82²
858·859 fa 1624².
Quanto fa 100?
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Grazie a Bruno per il problema!
8 giugno 2020 - 160.2020
Due problemi aritmetici dal Forum
- Esprimere qualsiasi numero, intero e positivo, usando solo tre 2 e
segni matematici.
Vedi: I quattro 4, i cinque 5 e altri esercizi simili - Senza usare segni aritmetici come +, -, x, :, !, ? etc., disporre
quattro 3 in modo da ottenere il massimo valore.
Vedi: Il numero più grande che si può ottenere con...
Per risolvere quest'ultimo problema bisogna chiarire come si calcola
un'espressione del tipo:
Infatti l'operazione di elevamento a potenza non è associativa.
Per
convenzione, in assenza di parentesi, si usa l'associatività
a destra, cioè:
Per esempio:
Maxima,
Sage, WolframAlpha seguono questa convenzione.
Invece Maple, Calc, Excel e alcune calcolatrici, in
assenza di
parentesi, associano a sinistra:
,
per esempio:
---
Grazie a Pietro e Bruno per i problemi!
3 giugno 2020 - 155.2020
Il tangram ovale - compito per le vacanze [aggiornato]
Cari amici, vi propongo un compitino per le vacanze.
Con un cartoncino colorato costruite il tangram ovale che si vede qui sotto. Il taglio lungo la linea tratteggiata arancione è facoltativo (ma utile). Usatelo per costruire le figure più disparate: uccelli e altri animali, persone, astronavi, figure astratte e così via.
Per sapere come si disegna il tangram ovale potete dare un'occhiata sulla pagina Il tangram ovale.
Se volete, inviatemi una foto di ciascuna vostra costruzione, sarà graditissima!
Buona conclusione dell'anno scolastico e buone vacanze a tutti!
---
Grazie a Dario Uri per le preziose notizie storiche su questo gioco, inviate tramite Facebook.
29 maggio 2020 - 150.2020
Due simpatiche risposte al Test di Bertoldino
- Stai partecipando ad una gara ciclistica. Ad un certo punto superi
il secondo. In quale posizione ti trovi?
Se per "secondo" si intende il tempo, potrei essere in qualsiasi posizione! - Usando tre volte la cifra 5 e le operazioni aritmetiche si può
ottenere 30, per esempio: 5×5+5 = 30.
Sei capace di ottenere 60 usando tre 5 e uno o più segni di operazione?
(5+5+5)×4 = 60 oppure (5×5+5)×2 = 60
Non è specificato di non usare le altre cifre!
---
Grazie a Emma Taglier, Federico e Paolo Vecchio e alla loro insegnante Paola Maria Coppo!
Beh, la morale è che bisogna formulare i testi dei problemi con molta cura. Ho apportato qualche correzione al Test.
24 maggio 2020 - 145.2020
Il compleanno di Cheryl
Albert e Bernard sono diventati amici di Cheryl, e vogliono conoscere la data del suo compleanno. Cheryl dà loro 10 possibili date:
- 15 Maggio, 16 Maggio, 19 Maggio
- 17 Giugno, 18 Giugno
- 14 Luglio, 16 Luglio
- 14 Agosto, 15 Agosto, 17 Agosto.
Poi Cheryl dice separatamente ad Albert solo il mese e a Bernard solo il giorno del proprio compleanno.
Tra i due amici segue questo dialogo:
- Albert: "Non so quando è il compleanno di Cheryl ma so che non lo sa nemmeno Bernard."
- Bernard: "Prima non sapevo quando fosse il compleanno di Cheryl, ma ora lo so."
- Albert: "Allora adesso anche io so quando è il compleanno di Cheryl."
Dunque, quando è il compleanno di Cheryl?
---
Note.
Questo problema è stato ideato da Joseph B. W. Yeo e proposto nel 2015 alle Olimpiadi di Matematica di Singapore (SASMO), scuola secondaria.
Per un certo periodo è diventato virale nei social tipo FB. E' stato pubblicato persino su la Repubblica e The Guardian!
Potrebbe essere definito un problema di conoscenza e ignoranza, come il famoso problema impossibile di H. Freudenthal (1969) e D. Sprows (1976).
Merita un approfondimento.
Grazie a Lucignolo per aver proposto il problema nel Forum.
19 maggio 2020 - 140.2020
Il principio della cassettiera [aggiornato]
Cari amici ho aggiornato la pagina con la risoluzione del problema 24.
E' tratto dal libro Introductory Graph Theory di Gary Chartrand, 1985 (prima edizione del 1977 col titolo Graphs as Mathematical Models).
Gary Theodore Chartrand (n. 1936) ha numero di Erdos 1.
---
Grazie a Pietro Vitelli e Giobimbo per la soluzione del problema nel Forum.
14 maggio 2020 - 135.2020
Il trucco con le carte più semplice del mondo
Preparate un mazzo formato da 20 carte da gioco con i semi di due colori diversi: 10 rosse e 10 nere.
I dorsi delle carte devono essere tutti uguali, indistinguibili l'uno dall'altro.
Chiedete a un amico/a di mescolare le carte e di consegnarvi il mazzo dalla parte del dorso.
A questo punto inizia il trucco. Dovrete usare la vista a raggi X.
Tenendo le carte sempre rivolte dalla parte del dorso, dividetele in due mazzetti da 10 carte posandole sul tavolo una alla volta, a destra oppure a sinistra a vostro piacere.
Terminata la divisione dichiarate: "Le carte rosse del mazzetto di destra sono tante quante le carte nere del mazzetto di sinistra!"
Chiedete all'amico/a di verificare. Sarà proprio così!
Come avete fatto?
Questo trucco può aiutare a risolvere un noto problema sul travaso di latte e caffè. Quale?
9 maggio 2020 - 130.2020
Pensiero laterale matematico (2) [aggiornato]
Sui social network, come FB, si trovano molti esercizi come questi. Che ne dite di risolverli?
Attenti a non scivolare sulla buccia di banana!
Visitare tutte le celle di una griglia [aggiornato]
Grazie a Giobimbo per la soluzione di un problema di Dudeney.
Il problema delle quattro R [aggiornato]
Grazie a Pietro Vitelli per le nuove soluzioni.
4 maggio 2020 - 125.2020
Umorismo matematico 19-20 [aggiornato]
19. Il test inverso di Turing
Credit: CommitStrip
29 aprile 2020 - 120.2020
Il problema del collezionista (coupon collector's problem)
- Quante volte, in media, si deve lanciare una moneta per ottenere almeno una testa e una croce?
- Quante volte, in media, si deve lanciare un dado (a 6 facce) per ottenere tutti i numeri?
- Quante figurine, in media, si devono comprare per completare un
album di 100 figurine?
Le figurine si comprano una alla volta. Ogni figurina è chiusa in una busta, di cui non si può vedere il contenuto. Ogni busta contiene una figurina scelta a caso fra le 100 che compongono l'album. Le figurine sono tutte equiprobabili, cioè ogni figurina ha probabilità 1/100 di trovarsi in una busta.
24 aprile 2020 - 115.2020
Alcool 70% vol
La nonna vuole sapere quanti millimetri di acqua deve aggiungere nella bottiglia per ottenere una soluzione con gradazione alcolica 70% vol.
Cioè la soluzione dovrebbe essere formata dal 70% di alcool e dal 30% di acqua, in volume.
Il liquido già presente nella bottiglia è una soluzione alcolica al 96% vol.
La nonna si accontenta di un valore approssimato che non tenga conto delle forze tra le molecole dell'alcool e quelle dell'acqua...
---
Note.
- La nonna è astemia, NON beve alcolici, vuole solo fare un disinfettante pagandolo un prezzo ragionevole! In tempi di coronavirus ho visto confezioni da 50 mL vendute al prezzo di 6.90 €: praticamente 138 €/L.
- Nel mio libro di Aritmetica delle Medie (1963) c'erano due capitoli dedicati ai problemi di miscuglio e a quelli di alligazione (formazione di leghe metalliche). A quei tempi, in seconda (o forse terza) media, avremmo saputo rispondere alla nonna.
- La legislazione italiana definisce il titolo alcolometrico
(o gradazione alcolica) come “il numero di parti in volume di alcol puro
alla temperatura di 20 °C contenuta in cento parti in volume del prodotto
considerato alla stessa temperatura”.
Per esempio, se una miscela di acqua e alcool ha una gradazione alcolica del 70% significa che l'alcool occupa il 70% del volume della miscela.
19 aprile 2020 - 110.2020
Un'altra idea di John Horton Conway che mi piace ricordare.
Questo gioco ideale si svolge su una scacchiera infinita formata da caselle dello stesso colore, con due pedine: l'Angelo contro il Diavolo.
...
Figura tratta da: Berlekamp, Conway, Guy, Winning Ways for Your Mathematical Plays, 2003.
14 aprile 2020 -
105.2020
La subdola discriminazione dei matematici ebrei russi in Unione Sovietica negli anni '70 e '80. Una storia con lieto fine, a volte.
Anno 1984. Ufficio di iscrizione all'Università statale di Mosca (MGU), Dipartimento di Meccanica e Matematica, (Mekh-Mat). Per essere ammessi al Mekh-Mat bisogna superare un esame scritto e uno orale ottenendo il massimo punteggio, cioè 5 punti.
Il candidato è Edward Vladimirovich Frenkel, 16 anni.
Impiegata: "Buongiorno. Come si chiama?"
Studente: "Eduard Frenkel."
"E vuole fare domanda di iscrizione alla MGU?"
"Sì."
"Quale dipartimento?"
"Mekh-Mat."
"Bene."
L'impiegata abbassò gli occhi e chiese:
"Qual è la sua nazionalità?"
"Russa."
"Davvero? E quali sono le nazionalità dei suoi genitori?"
...
E' una mia libera ricostruzione tratta dal libro: Edward Frenkel, Love and Math: The Heart of Hidden Reality, Basic Books, New York, 2013.
13 aprile 2020 -
104.2020
Su BASE Cinque ci sono molte pagine che parlano di John Horton Conway.
Qui mi piace ricordare:
Il teorema cosmologico (javascript)
Il gioco Life (Vita) (javascript)
John Horton Conway ci ha lasciato l'11 aprile 2020 all'età di 82 anni a causa del COVID-19. Si trovava a Princeton (New Jersey).
9 aprile 2020 -
100.2020
Bilance a due piatti [aggiornamento]
Bilance con scala graduata [aggiornamento]
Ho riorganizzato i problemi di pesata in due pagine: bilance a due piatti o a leva e bilance con scala graduata.
4 aprile 2020 -
95.2020
Bilance con scala graduata [aggiornamento]
Ho aggiornato la pagina con un nuovo problema.
1100 grammi di farina
Hai alcuni sacchi di farina da 2 chili e mezzo; una bilancia a due piatti, e un peso da 100 grammi.
Devi fare un sacchetto da 1100 grammi di farina.
Come fai?
Qual è il numero minimo di pesate?
---
Grazie a Delfo52 per aver inviato questo problema al Forum - Ennesimo quiz di pesate. Il problema è tratto dal blog di Maurizio Codogno.
30 marzo 2020 -
90.2020
Storia, varianti e soluzioni di un racconto matematico.
25 marzo 2020 -
85.2020
La Biblioteca di BASE
Cinque [nuovo aggiornamento]
In questi giorni mi sono finalmente deciso a ricostruire la storia del problema delle tre brocche.
La difficoltà principale è stata quella di trovare in rete gli Annales Stadenses dell'abate Alberto di Stade (1187-1260), scritti in latino, nei quali si trova la versione più antica di questo problema.
Alla fine li ho trovati ed è stata un bella emozione. Gli Annales Stadenses sono una cronaca universale dalla Creazione del mondo al 1256. La sorpresa è che a un certo punto c'è un dialogo tra due giovani litterati, curiales et curiosi di nome Tirri e Firri i quali si lanciano sfide matematiche. Il dialogo si svolge la vigilia di Natale del 1179, anno in cui morì Santa Ildegarda di Bingen.
dMGH - digitalen Monumenta Germaniae Historica
Contiene gli Annales Stadenses in cui si trova la prima versione del problema delle tre brocche. Link diretto: Annales Stadenses.
20 marzo 2020 -
80.2020
La Biblioteca di BASE
Cinque [aggiornato]
Ho aggiunto due nuovi link e aggiornato la pagina.
BHL - Biodiversity Heritage Library
Si propone di fornire l'accesso gratuito alla conoscenza collettiva mondiale sulla biodiversità: libri, riviste, immagini.
Ci sono anche molti documenti di matematica in italiano, come le "Memorie di matematica e di fisica della Società italiana delle Scienze".
E' uno spazio virtuale per collezionisti di libri rari e appassionati di storia per leggere, discutere, riscoprire e scaricare gratuitamente libri perduti.
Vi si trova A synopsis of elementary results in pure and applied mathematics, di George Shoobridge Carr, London, 1880, uno dei testi più amati da Ramanujan.
13 marzo 2020 -
73.2020
La prima Giornata Internazionale della Matematica
Cari amici, il 14 marzo 2020 è la prima Giornata Internazionale della Matematica e anche un Pi-day.
Ecco il mio problemino per festeggiare.
---
Nella figura vedete le prime 250 cifre di pi greco (senza la virgola decimale).
In rosso sono evidenziate le prime volte in cui compaiono coppie di cifre uguali.
Per esempio, la coppia 33 compare per la prima volta alla posizione 25-26 mentre la coppia 22 compare alla posizione 136-137.
a) In quale posizione compaiono per la prima volta le coppie 00 e 77?
b) E le terne 000 e 777?
10 marzo 2020 -
70.2020
Domanda 1a.
Considerate i numeri da 1 a 6. Riuscite a disporli nelle seguenti caselle
rispettando i segni di ordinamento scritti fra di loro?
Domanda 1b.
Che ne dite di sistemare i numeri da 1 a 9 nelle seguenti caselle?
Domanda 2.
Generalizziamo.
Dato un elenco di n numeri (tutti distinti tra di
loro) e una serie di n caselle con segni di
ordinamento inseriti fra loro, inventate un algoritmo che metta i numeri nelle
caselle rispettando i segni.
Limitiamoci a carta e penna.
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Grazie a Bruno per aver inviato questo problema al Forum - Indovinello algoritmico.
5 marzo 2020 -
65.2020
Il problema dei lucchetti ovvero amore in Kleptopia [aggiornato]
Aldo e Beatrice si sono innamorati (via Internet) e Aldo desidera inviarle un anello molto prezioso.
Sfortunatamente vivono nel Paese di Kleptopia dove qualsiasi cosa inviata per posta sarà rubata a meno che non sia racchiusa in una scatola con un lucchetto. Aldo e Beatrice hanno ciascuno un lucchetto con la relativa chiave, ma nessuno dei due ha la chiave del lucchetto posseduto dall'altro.
a) Come può fare Aldo per inviare l'anello a Beatrice in modo che non sia rubato?
b) Come può l'astuta kleptomaniaca Eva rubare l'anello?
c) Come funziona lo scambio di chiavi Diffie-Hellman?
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Si trova nell'articolo di Peter Winkler, Seven Puzzles You Think You Must Not Have Heard Correctly, 2006. L'autrice del problema è Caroline Calderbank, figlia dei matematici Ingrid Daubechies e Rob Calderbank.
29 febbraio 2020 -
60.2020
Umorismo matematico 19-20 [aggiornato]
18. Raccolta di battute
- Al colloquio di lavoro presso Google:
«Come ha saputo della nostra azienda?»
- «A che punto del lavoro sei arrivato?»
«Al 50%.»
«Fatto o ancora da fare?»
E molte altre...
Tratte dal blog di Tanya Khovanova.
24 febbraio 2020 -
55.2020
In un'isola vivono 2 camaleonti blu, 5 gialli e 3 verdi.
Se due camaleonti di due colori diversi si incontrano, cambiano entrambi colore e diventano del terzo colore.
Per esempio, se si incontrano un camaleonte verde e uno giallo diventano entrambi blu.
a) Descrivete la più breve sequenza di incontri in cui tutti i camaleonti diventano verdi.
b) Dimostrate che i camaleonti dell'isola, in queste circostanze, non potranno mai diventare tutti gialli.
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Questo problema è apparso per la prima volta (?) nel 1984, nell'International Mathematics Tournament of the Towns, Russia (con i numeri 13, 15, 17), ideato da V. G. Ilichev.
Si trova anche nel libro di Terence Tao, Solving Mathematical Problems. A Personal Perspective, Oxford University press, 2006.
Ci sono altre varianti con i numeri (20, 18, 16) e (12, 15, 18).
19 febbraio 2020 -
50.2020
Una sequenza di Nob Yoshigahara
I numeri nei cerchi bianchi sono scritti seguendo una certa regola.
a) Scoprite la regola e scrivete il valore di x.
b) Meditate sulla psico-logica con cui è stato scritto questo gioco e scrivete i valori di y e z.
c) Potete pure scrivere un programma per trovare i numeri y e z.
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E' l'espansione di un problema di Nobuyuki Yoshigahara pubblicato sul suo libro Puzzles 101: A PuzzleMasters Challenge, CRC Press, 2004 .
14 febbraio 2020 -
45.2020
Le radici quadrate di un numero complesso: la via semplice
Quali sono le radici quadrate di 5+12i?
9 febbraio 2020 -
40.2020
Linguaggio BASIC
In questi giorni ho scoperto che suor Mary Kenneth Keller B.V.M. (1913-1985) negli anni '60 collaborò con John Kemeny e Thomas Kurtz alla creazione del linguaggio BASIC.
Suor Mary Kenneth Keller (fonte: Catholic Archives)
Il BASIC è sempre stato il mio linguaggio preferito per fare indagini in matematica.
D'ora in avanti lo sarà ancora di più!
Attualmente uso il Decimal Basic di Shiraishi Kazuo. E' un progetto libero e open source.
2 febbraio 2020 -
33.2020
Una data curiosa [dal Forum]
Ronfo ci segnala dal Forum che oggi, 02022020, è una data palindroma, cioè ha lo stesso valore letta da sinistra oppure da destra, anche con la notazione inglese (mmggaaaa)
Inoltre è il 33-esimo giorno dell'anno e mancano 333 giorni al termine dell'anno stesso.
Delfo52 aggiunge che 02022020, se scritto nella notazione a 7 segmenti, è un numero metazetico cioè rimane lo stesso se la scritta viene ruotata di 180°.
Quanti sono i numeri metazetici composti da n cifre scritte con la notazione a 7 segmenti?
29 gennaio 2020
Umorismo matematico 19-20 [aggiornato]
16. La tavola pitagorica dei sentimenti.
Compresi quelli dei prof. di matematica nell'esercizio delle loro funzioni.
Inventate una frase di matematica per ogni faccina.
Se la frase non è di matematica, va bene lo stesso.
24 gennaio 2020
La pagina aperta del 153 [aggiornato]
In questi giorni, leggendo il Discorso sulla preghiera di Nilo Asceta (440 d.C.), ho incontrato di nuovo il numero 153. L'autore spiega che il suo Discorso è diviso in 153 capitoli in ricordo della pesca miracolosa di 153 grossi pesci di cui si parla nel Vangelo di Giovanni, 21, 11.
Poi aggiunge alcune spiegazioni matematiche sul significato simbolico di questo numero. Ma non cita la nota proprietà che riguarda la somma dei cubi delle sue cifre.
Chi ha scoperto per primo questa proprietà?
Sembra che sia stato un certo Phil Kohn di Yokneam, Israele.
Ecco la citazione originale di T. H. O'Beirne, sulla rivista New Scientist del 1961.
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Tratto da: T. H. O'Beirne, Christmas puzzles, New Scientist n. 266, 21 dicembre 1961.
Il mistero rimane, anche perché non sono riuscito a trovare altre notizie né su O'Bernie né su Phil Kohn.
So solo che T. H. O'Beirne scrisse il libro Puzzles and Paradoxes, 1965, Oxford University Press, nel quale raccolse alcuni suoi articoli pubblicati su New Scientist dal gennaio 1961 al febbraio 1962.
Qualunque aiuto è benvenuto!
19 gennaio 2020
Umorismo matematico 19-20 [aggiornato]
15. Il principe immaginario di Hans Christian Kronecker
C'era una volta un ℝeale chiamato "principe Harry" che voleva cambiare segno e andare a vivere sotto una radice quadrata...
14 gennaio 2020
Terence Tao ha quasi-dimostrato la Congettura di Collatz
Il problema di Collatz lo può capire anche un bambino che sappia calcolare il triplo e la metà di un numero.
Tuttavia nessun matematico, negli ultimi 90 anni, è ancora riuscito a dimostrare che alla fine si raggiunge sempre il numero 1.
La congettura di Collatz ovvero il problema 3x+1 Scegli un numero intero x e applica la seguente operazione, che si chiama funzione C:
Il risultato è un nuovo numero, C(x). Ripeti l’operazione sul nuovo numero, ottenendo C(C(x)) e così via. Qualunque sia il numero x di partenza, continuando a ripetere l’operazione, arriverai sempre a ottenere il numero 1 dopo un numero finito di passi. Se continui, finirai intrappolato in un ciclo senza fine: 4, 2, 1, 4, 2, 1, ... |
Il mitico Terence Tao ha dimostrato nel settembre 2019 che:
"ALMOST ALL ORBITS OF THE COLLATZ MAP ATTAIN ALMOST BOUNDED VALUES"
Si potrebbe tradurre così:
"Quasi tutte le traiettorie del grafo di Collatz raggiungono valori quasi limitati."
E' interessante capire cosa intendono i matematici quando parlano di "quasi tutti" gli elementi di un insieme infinito.
E anche cos'è una quasi-dimostrazione.
Per chi vuole approfondire, c'è l'articolo di Tao su ArXiv:
https://arxiv.org/abs/1909.03562
7 gennaio 2020
L'area del corpo umano
Ieri stavo esplorando un sentiero di confine tra la Geometria solida e quella piana quando improvvisamente un Troll è uscito da un albero e mi ha chiesto:
"Conosci una formula per calcolare l'area della tua pelle?"
Ho fatto un po' di ricerca e ho scoperto che esistono diverse formule empiriche per stimare l'area del corpo umano. E che c'è un modo molto carino per trovarle.
La formula di R. D. Mosteller è quella più semplice:
dove h è la statura è espressa in metri e il p è peso corporeo in chilogrammi.
Il risultato ci dà la superficie della pelle in metri quadrati.
Una spiegazione interessante si trova in questo articolo:
Lee, Joo Young & Choi, Jeong-Wha & Kim, Ho. (2008). Determination of Body Surface Area and Formulas to Estimate Body Surface Area Using the Alginate Method. Journal of physiological anthropology. 27. 71-82. 10.2114/jpa2.27.71.
P.S. Gli alginati si usano anche in cosmetica.
1 gennaio 2020
Buon 2020!
Auguro a tutti pace, bene e un percorso con le difficoltà della vita putroppo inevitabili ma che siano tutte superabili.
Utile il riepilogo finale, prima di passare all'anno successivo.
Un po' come in questo labirinto che vi propongo di risolvere mentalmente.
Mi dicono che il 2020 è un numero autobiografico.
Perché è formato da 2 "zeri", 0 "uno", 2 "due" e 0 "tre".
Ma la definizione ufficiale di numero che è la biografia di se stesso (autobiographical number) mi lascia un po' perplesso: infatti, prima di definire il concetto di auto-biografia si dovrebbe definire cos'è la biografia di un numero.
Appunti precedenti
Il diario di BASE Cinque - 2019
Il diario di BASE Cinque - 2018
Negli anni 2016 e 2017 BASE Cinque è stato in power-saving mode.
Il diario di BASE Cinque - 2015
Il diario di BASE Cinque - 2014
Il diario di BASE Cinque - 2013
Il diario di BASE Cinque - 2012
Il diario di BASE Cinque - 2011
Il diario di BASE Cinque - 2010
Il diario di BASE Cinque - 2009
Il diario di BASE Cinque - 2008
Il diario di BASE Cinque - 2007
Degli anni 2005 e 2006 non esiste il diario.
Ricreazioni ricevute 2000 - 2004
Il sito BASE Cinque è nato il 15 luglio 2000.
BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa (2000-2020)
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