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punto18 giugno 2019

Umorismo matematico 2019 [aggiornato]

Io e Gödel

ioegodel

punto16 giugno 2019

Il paradosso toroidale di Herbert Taylor

Un vecchio problema finalmente risolto su BASE Cinque.

La figura rappresenta due forme intrecciate.

Immaginatele come due palloncini di gomma infinitamente elastica. Considerate solo la loro superficie.

Per la precisione sono superfici di tori, uno di genere 1 (un buco) e l'altro di genere 2 (due buchi).

paradosso toroidale

Come si fa per trasformarle l'una nell'altra con una deformazione continua, senza fare né tagli né saldature?

Disegnate le varie fasi.

punto14 giugno 2019

Fare pace con la topologia [aggiornamento]

Carta, matita, gomma, penna, evidenziatore verde.

E' davvero rilassante disegnare trasformazioni topologiche!

t-shirt

La t-shirt, considerata come una superficie, ha 2 dimensioni anche se è immersa nello spazio a 3 dimensioni. La figura mostra che è topologicamente equivalente alla parte centrale di un bi-toro tagliato e a un cerchio con tre buchi.

punto5 giugno 2019

Trasformazioni di un pretzel

Il pretzel o brezel è un tipo di pane formato da un cordoncino di pasta intrecciato come si vede nella figura qui sotto.

E' anche il nome della forma geometrica n. 3, formata da due anelli incatenati collegati fra loro con un cilindro.

Pretzel

Le forme 2 e 3 sono topologicamente equivalenti, ma come si fa a trasformarle l'una nell'altra con una deformazione continua, senza tagliare un anello?

punto30 maggio 2019

Fare pace con la topologia [aggiornamento]

Aggiornato, con la motivata risposta alla domanda fondamentale: quanti buchi ha una t-shirt?

punto28 maggio 2019

Punti di vista - Elezioni Europee 2019 - Italia


Elezioni Europee 2019


Grafici aggiornati ai risultati definitivi, fonte "la Repubblica", 28 maggio 2019.

Non ho i dati sulle schede bianche e/o nulle. Nel 1994 corrisposero al 5% dei votanti e al 3% degli elettori.

punto27 maggio 2019

Il test di Gardner

Cari amici, ultimamente al Forum di B5 si parla di Martin Gardner.

Sono andato a pescare un frammento di pagina ingiallita della rivista LE SCIENZE, edizione italiana di Scientific American del 1973, n.53.

Il titolo della mitica rubrica tenuta da Martin Gardner.

Giochi Matematici

Ho scelto 10+ problemini facilissimi e ve li propongo, in ordine sparso.

punto25 maggio 2019

Fare pace con la topologia

La topologia è una materia affascinante ma dura. E' difficile passare da pensieri intuitivi e apparentemente semplici alla loro rappresentazione matematica.

Per me è stata la materia più difficile all'università, troppi anni fa.

Per esempio, qual è la soluzione di questo problemino ricreativo?

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maglietta

Quanti buchi ha questa maglietta (t-shirt)?

---

A un certo punto, ho deciso di fare pace con la topologia.

Non chiedo molto: niente assiomi, teoremi, formule, mi basta rendere più precise le intuizioni elementari.

Ed ecco che viene in soccorso un illuminante articolo del grande matematico Gino Fano (1871-1952). Meravigliosa lettura che consiglio a tutti.

La citazione precisa è:

Gino Fano, L'analysis situs I. Scientia, Vol. 36 (1924), p. 217–230.

Si può consultare online qui: https://amshistorica.unibo.it/7.

L'articolo è disponibile anche su BASE Cinque in formato PDF.

Gino Fano, L'analysis situs I. Scientia, Vol. 36 (1924), p. 217–230 (PDF)

punto10 maggio 2019

Umorismo matematico 2019 [aggiornato]

Interessanti le vignette di Tom Gauld su Twitter.

Ecco un esempio matematico-scientifico tradotto in italiano.

Tom Gauld

Credit: Tom Gauld, Twitter.

punto3 maggio 2019

33 è la somma di tre cubi di numeri interi [aggiornato]

Cari amici, potreste dire: OK, e a me che me ne frega? Who cares?

Dài, se siete qui vuol dire che un po' ve ne frega.

E' facile trovare tre interi i cui cubi diano come somma 29 o 34.

Per esempio:

29 = 13+13+33 = 1+1+27

34 = (-1)3+23+33 = -1+8+27

34 = 53+(-4)3+(-3)3 = 125-64-27

Ma che dire di 32 e 33?

Per il 32, la dimostrazione è abbastanza facile.

Invece, trovare tre cubi la cui somma sia 33 è molto più difficile, tant'è vero che la questione è stata risolta solo nel 2019 da Andrew Booker.

Vedi: Cracking the problem with 33 di Andrew Booker, University of Bristol, UK.

Nessuno sa ancora se esistono tre cubi di numeri interi la cui somma è 42.

x3+y3+z3 = 42

Questa è una sfida.

punto23 aprile 2019

Carte sopra, carte sotto, di Nobuyuki Yoshigahara

Ecco un esempio di originalità.

Se volete inventare un gioco con le carte per origami, forse la prima cosa che vi viene in mente è di piegarle in qualche modo.

Nobuyuki Yoshigahara (1936-2004), per gli amici Nob, ha invece creato un gioco completamente diverso: un labirinto multistato.

Eccolo.

Nella figura vedete molte carte da origami sparse su un tavolo.

Ogni carta può essere sopra oppure sotto un'altra carta.

Carte Nob

Partite dalla carta con scritto "INIZIO" e trovate un percorso fino alla carta con scritto "FINE". Anzi: trovate il percorso più breve.

Dovete spostarvi da una carta a quella successiva andando alternativamente: sali, scendi, sali, scendi, ...

Stampate questo labirinto e provate a risolverlo.

Se non volete stamparlo, potete scaricare l'immagine e lavorarci con un semplice programma di disegno, tipo "paint" per Windows.

Beh, per saperne di più leggete l'articolo.

punto18 aprile 2019

Un cavallo topologico

cavallo e ponte

Che percorso deve seguire il cavallo per passare dalla riva A alla riva B attraversando il ponte?

Per questo problema mi sono ispirato al MathsJam Annual Gathering 2018, vedi per esempio: Big MathsJam Highlights, 2018, di Colin Beveridge, su The Aperiodical.

punto16 aprile 2019

Ricordo di Grazia Raffa

Cari amici vecchi e nuovi di BASE Cinque, desidero ricordare qui la poetessa Grazia Raffa e inviarle al cielo un ringraziamento per averci mostrato il lato poetico della matematica.

Grazia Raffa

Grazia Raffa (1931-2018)

Ecco alcune sue poesie ispirate a temi e protagonisti della matematica.

Un particolare ringraziamento va a Ivana Niccolai che ha bussato alle porte della nostra memoria segnalandoci la biografia della poetessa pubblicata sul sito di Maecla: http://www.maecla.it/GraziaRaffa/index.htm.

Credit foto: Giorgio Pietrocola

punto14 aprile 2019

I labirinti logici di Robert Abbott

Entra nel labirinto e trova l'uscita. Però...

Labirinto logico

Nel labirinto sono disegnati per terra dei dischi neri e dei dischi bianchi. Nel tuo percorso devi attraversare alternativamente un disco bianco, uno nero, uno bianco uno nero, e così via fino all'uscita.

Le lettere scritte nei dischi servono per descrivere la tua soluzione con una sequenza di lettere.

Non è necessario attraversare tutti i dischi.

Regole.

a) Una volta entrati in un disco, bisogna attraversarlo completamente, ovvero non è ammesso fare dietro-front quando ci si trova su un disco.

b) Si può passare più volte sullo stesso disco (ma non successive perché in tal caso non ci sarebbe il cambio di colore).

punto31 marzo 2019

La scienza coatta

Il giorno dopo l'arrivo di Jinping c'ero anch'io a Roma, per altri motivi.

Stazione di Roma Termini. Davanti a me un'ora di attesa (di cui 50% per ritardo treno) e 5 ore di viaggio.

Quasi quasi mi compro un libro.

Scienza coatta

Ecco la mia recensione.

punto29 marzo 2019

Umorismo matematico 2019

Questa mi è piaciuta.

12 fattoriale

Si trova in molti siti, tra cui: https://www.facebook.com/Ingegneriaedintorni

punto15 marzo 2019

Sulla storia della matematica ricreativa a Lisbona

A partire dal 2009, ogni 2 anni, l'associazione portoghese Ludus organizza, assieme ad altri enti, un colloquium di matematica ricreativa (seminario accademico).

Il 29 gennaio si è concluso a Lisbona il sesto colloquium.

Ecco tre link utili:

Da parte mia ho fatto qualche indagine sull'intervento di Tereza Bártlová, History of recreational mathematics.

Wow, la sua tesi di dottorato è disponibile on-line e si può scaricare in formato PDF qui: https://is.cuni.cz/webapps/zzp/download/140052164

Tereza Bartlova, History and current state of recreational mathematics and its relation to serious mathematics, Charles University in Prague, 2016.

E' bello avere una continuazione dell'opera del mitico David Singmaster che, tra l'altro, era attivamente presente al colloquium.

punto1 marzo 2019

Aritmetica mentale nella scuola di Rachinski (3)

Alcuni esercizi tratti dal libro 1001 sfide di calcolo mentale, di Sergey Aleksandrovich Rachinsky, ristampato nel 2017.

Rachinski 1001 sfide

I testi degli esercizi in russo si possono scaricare da questa pagina, il link si trova verso il fondo dell'articolo:

(http://baby-ved.ru/kopilka/sergey-aleksandrovich-rachinsky/).

punto28 febbraio 2019

Aritmetica mentale nella scuola di Rachinski (2)

Per questa seconda puntata, ho ripreso un vecchio articolo già presente nel sito.

Come si può risolvere questa espressione usando soltanto il calcolo mentale?

quintupla di Rachinski

punto27 febbraio 2019

Aritmetica mentale nella scuola di Rachinski (1)

Cari amici, abbiamo già parlato del quadro che vedete qui sotto.

Belsky-Rachinski

Nicolai Petrovich Bogdanov Belski (1868-1945)
Aritmetica mentale nella scuola di Rachinski (1895)

-

Finalmente sono riuscito a scaricare il libro 1001 sfide di calcolo mentale, di Sergey Aleksandrovich Rachinsky, ristampato nel 2017

(http://baby-ved.ru/kopilka/sergey-aleksandrovich-rachinsky/).

Peccato che è scritto in russo!

Tuttavia, grazie al traduttore di Google, ho chiarito alcuni aspetti per me misteriosi.

Condivido con voi questi appunti, in tre puntate: la prima è dedicata al dipinto, la seconda al problema scritto alla lavagna e la terza al libro.

Chiunque desideri dare un contributo è benvenuto/a!

punto18 febbraio 2019

Umorismo matematico 2019 [aggiornamento]

Il paradosso del generatore di fake news.

Ieri ho letto questa notizia.

OpenAI mette a punto generatore automatico di fake news (false notizie). Ma decide di tenere segreto l'algoritmo per paura di sconvolgimenti mondiali.
L'algoritmo, chiamato GPT2, è un generatore di testi che è stato addestrato con circa 10 milioni di articoli, scelti tra quelli i cui link avevano più di tre voti sulla piattaforma Reddit, una quantità 15 volte maggiore rispetto a quella usata normalmente per le AI di questo tipo.
Il risultato è che, dato un qualunque incipit, l'algoritmo riesce a proseguire scrivendo testi plausibili e senza gli errori che fanno normalmente le macchine.

Nota. OpenAI è un'organizzazione non profit di ricerca sull'intelligenza artificiale, fondata nel 2015 da Elon Musk e Sam Altman.

---

In un esperimento, i ricercatori hanno chiesto a GPT2 di scrivere una notizia a proposito di se stesso.

Ebbene, l'algoritmo ha confermato di essere un generatore di fake news potenzialmente pericoloso.

OK, ora mi viene un dubbio...

punto11 febbraio 2019

Il problema delle quattro R

Ho aggiornato la pagina dei Quattro quattro dove ho trovato un problemino ancora aperto.

Thomas Rayner Dawson, nel 1916, fu (forse) il primo a porre il problema dei quattro quattro in termini più generali.

E' possibile, utilizzando quattro R e le operazioni/funzioni aritmetiche, esprimere i numeri interi da 0 a 10?

R indica un numero intero positivo.

Sono ammesse le quattro operazioni, i radicali, l'elevamento a potenza, il fattoriale, il punto decimale.

Per esempio:

0 = R + R - R - R

1 = R ∶ R + R - R

2 = R ∶ R + R ∶ R

3 = (R + R + R) ∶ R

Ho postato il problema anche al Forum, se avete una soluzione, condividetela!

punto7 febbraio 2019

Umorismo matematico 2019

Cari amici, l'ultima volta che ho dedicato una pagina al Lato comico è stato nel 2013.

I tempi sono cambiati, ed è venuto il momento di creare una nuova pagina sull'umorismo matematico.

umorismo dottore

punto4 febbraio 2019

Atmosfera matematica russa

Tre problemi da un libro di 40 anni fa...

Cari amici, oggi vorrei ricordare il libro di D. O. Shklyarskij, N. N. Chentsov, I. M. Yaglom, Selected problems and Theorems in Elementary Mathematics. Arithmetic and Algebra, MIR Publishers, Moscow, 1976, 1979.

Aritmetica russa

Ecco tre problemi tradotti liberamente. A prima vista sembrano difficili, ma non lo sono.

Problema 47. Dimostra che per ogni intero n

a) n7 - n è divisibile per 7

b) n9 - n NON SEMPRE è divisibile per 9

c) n11 - n è divisibile per 11

Problema 64. Dimostra che ogni numero naturale formato da 3n cifre uguali è divisibile per 3n. (per esempio 222 è divisibile per 3, 777.777.777 è divisibile per 9 e così via).

Problema 107. Su una lavagna sono scritti tutti i numeri interi da 1 a 1.000.000.000 (estremi compresi).

Un folletto sostituisce ogni numero con la somma delle sue cifre.
Per esempio, cancella il numero 8637 e al suo posto scrive 24. I numeri da una cifra rimangono invariati.

Poi sostituisce di nuovo ogni risultato con la somma delle sue cifre e ripete l'operazione fino a quando sulla lavagna sono scritti soltanto numeri da una cifra.

A questo punto, sulla lavagna c'è scritto più volte il numero 1 o il numero 2?

punto29 gennaio 2019

Visitare tutte le celle di una griglia

Dove finisce il gioco e dove comincia la matematica "seria"?

Anche quest'anno ho tenuto un piccolo laboratorio di matematica ricreativa allo stage del DIMA di Genova.

Lo stage (di 4 giorni) è rivolto agli studenti degli ultimi anni delle scuole superiori indecisi sulla scelta universitaria e che stanno valutando la possibilità di iscriversi al corso di studi in Statistica o in Matematica (vedi: Stages al DIMA).

Mi è davvero piaciuto come gli studenti (15) del mio gruppo hanno affrontato e risolto un problema che gli ho proposto. Hanno lavorato bene anche con gli altri problemi, ma questo ha avuto una marcia in più.

Ho già accennato a questo problema alcuni giorni fa. Qui cercherò di riportare le fasi principali della sua risoluzione come è stata costruita dagli studenti.

Ecco il problema, posto soltanto con un disegno, senza parole.

Percorso hamiltoniano

Questo tipo di problema appartiene alla matematica ricreativa da almeno 100 anni ma la fonte principale che mi ha spinto a riprenderlo è l'articolo di James Tanton, Personal stories of discovering mathematics, su Medium, 2018.

punto23 gennaio 2019

La matematica su StackExchange

Lascio un memo: Google+, la rete sociale di Google, chiuderà i servizi gratuiti ad aprile 2019. Peccato.

Ora c'è la fase della migrazione di massa. Spuntano molte alternative e vorrei segnalarne una di qualità per i matematici: StackExchange.

StackExchange è una rete nata nel 2008 in cui si possono porre domande su vari argomenti. Ci sono almeno cinque sezioni e sottosezioni che riguardano la matematica.

Mathematics

Recreational Mathematics (tag)

Elementary Number Theory (tag)

Mathoverflow

Puzzling

punto15 gennaio 2019

Matematica senza parole, in tutte le lingue del mondo

Cari amici,  Math without words (Matematica senza parole) di James Tanton è una collezione di 75 problemi profondamente matematici e nello stesso tempo accessibili a tutte le persone della Terra.

Non importa che lingua parli. Se ti piace la matematica, li capirai al volo, perché non c'è scritta neppure una parola. Sono pura matematica.

Il libro è in vendita ma James Tanton ha lasciato (volutamente) qualche traccia nella rete, dalla quale traggo due esempi, per darvi l'idea.

James Tanton è su Twitter https://twitter.com/jamestanton.

Problema 12

Tanton 2

Problema 22

Tanton 1

James Tanton, Math without words, 2008

punto11 gennaio 2019

After Salvini

Cari amici, ho aggiunto alla galleria degli esperimenti visionari lo stencil di un noto personaggio della politica italiana.

after Salvini

Sedetevi comodamente a un tavolo perché l'esercizio richiede calma e concentrazione.

Potete guardare la figura direttamente sullo schermo oppure stampata su un foglio di carta. La figura deve essere ben ferma.

Fissate per circa 15 secondi la crocetta che si trova al centro del naso. Non muovete gli occhi.

Poi guardate la parete bianca di fronte a voi.

Cosa vedete?

Dovreste vedere un cerchio chiaro.

Battete due o tre volte le palpebre e guardate meglio dentro al cerchio.

Cosa vedete?

Altre immagini si trovano nella pagina: Un signore con la barba.

Nella pagina Jesus! è spiegato come creare queste figure, anche a colori.

Ho pubblicato questo esercizio esclusivamente a scopo scientifico.

Ma non chiedo finanziamenti pubblici.

punto8 gennaio 2019

Numeri semiprimi, felici, fortunati. Cosa sono?

Cari amici, abbiamo visto che un numero semprimo è il prodotto di due soli numeri primi, per esempio 26 è semiprimo perché:

26 = 2 × 13

Numero felice

Cos'è un numero felice (happy number)?

Facciamo la somma dei quadrati delle sue cifre.

Ripetiamo l'operazione con il numero che abbiamo ottenuto.

Se, ripetendo questa operazione, arriviamo a ottenere 1 allora il numero è felice.

Per esempio, 2019 è felice perché:

22 + 02 + 12 + 92 = 86

82 + 62 = 100

12 + 02 + 02 = 1

Invece 20 non è felice perché dà luogo a una sucessione che si ripete illimitatamente.

[20-4-16-37-58-89-145-42]-20-...

La sequenza è formata da 8 numeri perciò ha periodo 8.

I numeri non-felici danno luogo sempre a sequenze di periodo 8? Da indagare.

Per fare indagini, c'è un programmino javascript in La pagina aperta del 153.

Numero fortunato

Qual è la definizione di numero fortunato (lucky number)?

La cosa è un po' più difficile delle due precedenti.

In pratica non c'è una formula per scoprire subito se un numero è fortunato. Bisogna invece costruire la sequenza dei numeri fortunati.

Partiamo dalla sequenza dei numeri interi positivi.

f1

Il numero 1 è fortunato per definizione, lasciamolo stare.

Il primo numero dopo l'1 è il 2 perciò cancelliamo ogni secondo numero della sequenza (si contano due posizioni, si elimina il secondo e si riparte col conteggio e così via).

f1

Rimane la lista dei numeri dispari.

Il primo numero rimasto dopo l'1 è 3. Cancelliamo ogni terzo numero della lista rimasta (si contano tre posizioni, si elimina il terzo e si riparte col conteggio e così via).

f1

Il primo numero rimasto dopo il 3 è 7. Cancelliamo ogni settimo numero della lista rimasta.

f1

Il primo numero rimasto dopo il 7 è 9. Cancelliamo ogni nono numero della lista rimasta.

f1

... e così ì via, illimitatamente...

1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, ...

I numeri che sopravvivono a questa cancellazione di massa illimitata sono quelli fortunati!

Gli altri sono sfortunati.

Questo procedimento assomiglia al crivello di Eratostene ma genera un insieme di numeri diverso da quello dei numeri primi.

punto1 gennaio 2019

Buon 2019: felice e fortunato!

Cari amici, ho consultato l'OEIS a proposito del 2019 e vi comunico con piacere che:

perciò possiamo stare tranquilli: il 2019 sarà un anno felice e forunato per tutti!

Ecco altre due curiosità.

E' un numero semprimo cioè è il prodotto di due soli numeri primi (https://oeis.org/A001358):

2019 = 3 × 673

E' un numero composto tale che ogni concatenazione dei suoi fattori primi è un numero primo (https://oeis.org/A217263)

3673 è primo, 6733 è primo.

BASE Cinque augura un prospero 2019 all'OEIS, inesauribile miniera di preziose informazioni per i matematici di tutto il mondo.

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®)

Appunti precedenti

Il diario di BASE Cinque - 2018

Negli anni 2016 e 2017 BASE Cinque è stato in power-saving mode.

Il diario di BASE Cinque - 2015

Il diario di BASE Cinque - 2014

Il diario di BASE Cinque - 2013

Il diario di BASE Cinque - 2012

Il diario di BASE Cinque - 2011

Il diario di BASE Cinque - 2010

Il diario di BASE Cinque - 2009

Il diario di BASE Cinque - 2008

Il diario di BASE Cinque - 2007

Degli anni 2005 e 2006 non esiste il diario.

Ricreazioni ricevute 2000 - 2004

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