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Amministrato da Pietro Vitelli

punto 14 giugno 2021

[A27] La macchia d'inchiostro e altri problemi geometrici di Shakuntala Devi

La macchia d'inchiostro

La mamma ha spinto una grande tavola rotonda in un angolo della stanza. La tavola tocca entrambe le pareti che formano un angolo retto.

Proprio sul bordo della tavola c'è una macchia d'inchiostro che dista esattamente 20 cm da una parete e 22,5 cm dall'altra parete.

Qual è il diametro della tavola?

Tavolo rotondo

Tratto da: Shakuntala Devi, Puzzles to Puzzle You, 2005.

punto 7 giugno 2021

[A26] Il coprifuoco e altri problemi numerici di Shakuntala Devi

Il coprifuoco

In molti Stati dell'India la legge proibisce di vendere bevande alcoliche dopo una certa ora.

Tuttavia, in alcuni Stati la legge permette di consumare anche dopo l'ora stabilita le bevande acquistate prima del coprifuoco.

In un bar, due uomini acquistano, prima del coprifuoco, una quantità di birra sufficiente per i loro bisogni. Uno dei due compra 5 bottiglie e l'altro 3 bottiglie.

Ma, poco dopo l'inizio del coprifuoco, arriva un loro vecchio amico che gli chiede condividere con lui le 8 bottiglie di birra. I due accettano e dividono la birra in tre parti uguali.

Dopo la bevuta in compagnia, il vecchio amico offre 8 Rupìe in pagamento per la birra che ha ricevuto e dice ai due amici di dividersi il denaro in parti proporzionali alle quantità di birra che ciascuno gli ha offerto.

Qual è la divisione equa del denaro?

Tre indiani

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Tratto da Shakuntala Devi, Puzzles to puzzle you, 2005.

E' il problema n. 100 e si intitola The Curfew.

La fonte di questo problema-narrazione è Fibonacci (1200).
In molti l'hanno ripreso, tra cui Malba Tahan, Giuseppe Peano e Shakuntala Devi.

Vedi I tre viandanti e le pagnotte.

punto 31 maggio 2021

[A25] Le reti dei bambini Kuba

Ecco una sequenza di figure sempre più grandi.

kuba_network

Prova a disegnare ciascuna figura seguendo queste regole:

non devi mai staccare la penna dal foglio;
non devi passare su un segmento più di una volta;
puoi incrociare le linee;
segna il punto di partenza e quello d'arrivo.

Esplorazioni:

a) Quali sono i punti di partenza buoni? Quali i punti di arrivo?

c) C'è una regola per trovarli subito senza fare tentativi?

d) Continua la sequenza disegnando figure più grandi.

e) Trova un metodo facile da ricordare per tracciare velocemente queste figure, in modo da meravigliare chi ti sta osservando.

I bambini del popolo Kuba (Congo) sono abilissimi a tracciare questi disegni sulla sabbia usando un dito invece della penna.

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Questa attività è tratta dal libro Claudia Zaslavsky, Multicultural Mathematics. Interdisciplinary Cooperative-Learning Activities, 1987,1993, pag. 115.

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Vedi anche: Senza staccare la penna dal foglio.

punto 24 maggio 2021

[A24] Il problema 3388

Usando i numeri 3, 3, 8, 8, alcune fra le quattro operazioni aritmetiche +, -, ×, : e le parentesi, sei capace di ottenere 24?

Nelle figure vedi come Giulia e Roberto hanno ottenuto due numeri vicini a 24.

Problema 3388

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Precisazioni:

a) devi usare due volte 3 e due volte 8;

b) puoi scegliere fra le quattro operazioni quelle che ti servono;

c) puoi usare le parentesi;

d) NON puoi usare trucchi del tipo unire i numeri (es. 8 e 3 per ottenere 83) né inserire la virgola decimale né usare radici, fattoriali e così via.

Aggiornata la pagina I quattro 4, i cinque 5 e altri esercizi simili.

punto 18 maggio 2021

[A23] La sequenza di Charles de Bovelles

Quando vado alla dilettantesca ricerca delle fonti, ogni tanto mi capita di trovare sorprese incredibili.

Per esempio, Charles de Bovelles, nel 1509 scrisse un mini trattato sulla generazione dei numeri perfetti e ne calcolò i primi 20.

Non ci posso credere!

Due di questi sono erroneamente attribuiti a Cataldi, 1588 e uno a Euler, 1772.

Il 20° numero perfetto è stato calcolato nel 1961 da Hurwitz ed è formato da 2663 cifre!

Ecco qui sotto una lista parziale.

Numeri perfetti Bovelles

Ok, ce ne sono molti sbagliati, ma ciò NON è dovuto a banali errori di calcolo, bensì sul fatto che de Bovelles considera come primi alcuni numeri che in realtà sono composti.

La sua formula per il calcolo dei numeri perfetti è invece esatta e anticipa i cosiddetti numeri primi di Mersenne un secolo prima di Mersenne.

Interessante. Da approfondire.

Nel frattempo, chi sa scoprire la regola della sequenza di de Bovelles?

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Nota.

La pagina è tratta dal volume: Caroli Bouilli Samarobrini, Liber de intellectu. Liber de sensu. Liber de nichilo. Ars oppositorum. Liber de generatione. Liber de sapiente. Liber de duodecim numeris. Epistole complures. Insuper mathematicum opus quadripartitum. De numeris perfectis. De mathematicis rosis. De geometricis corporibus. De Geometricis supplementis, disponibile liberamente su Google Books.

punto 12 maggio 2021

[A22] Giornata Internazionale delle Donne nella Matematica

Per la Giornata Internazionale delle Donne nella Matematica (12 maggio), mando un caloroso ringraziamento a tutte le maestre e le professoresse di Matematica del mondo.

Personalmente devo a loro la mia formazione matematica nella Scuola Media e nel Liceo, e oggi l'83% degli insegnanti sono donne.

In più vorrei ringraziare in modo speciale sette donne matematiche che mi hanno dato e mi danno grandi ispirazioni nella mia attività di professore di matematica. Spero che sia così anche per voi.

Cari amici, per cominciare ho preparato i loro ritratti-stencil e vi lancio una piccola sfida: le riconoscete?

A presto per le risposte... nel frattempo possiamo dire che la comunità dei matematici è multilinguistica, multietnica, multireligiosa, etc.

Donne Matematiche

punto 7 maggio 2021

[A21] La grata impossibile di Escher

La grata disegnata da M. C. Escher nel Belvedere è impossibile da assemblare secondo il modello A di incroci.

Ma è possibile usando il modello B?

grate_escher

punto 30 aprile 2021

[A20] Matematica delle grate

Credevo di essere fuori ma questa fotografia mi ha rivelato che sono anche dentro.

Siamo liberi o prigionieri, in questo mondo?

Comunque, in qualunque posto ci troviamo, nulla può impedirci di fare matematica.

Il puzzle è: come diavolo ha fatto il fabbro ad assemblare questa grata?

Riuscite a risolverlo mentalmente?

Grata 1

Per matematizzare la situazione si può usare una matrice di 1 e 0, come illustrato qui sotto.

Grata 2

Il passo successivo è quello di fotografare altre grate come questa per cercare se hanno elementi comuni, vari livelli di complessità e scoprire criteri per distinguere le grate costruibili da quelle impossibili.

punto 23 aprile 2021

[A19] Un'intuizione aritmetica dantesca tra Euclide e Hilbert

Tu credi che a me tuo pensier mei
da quel ch’è primo, cosi come raia
da l’un, se si conosce, il cinque e’l sei;

Paradiso, XV, 55-57

Dante immagina che nel Paradiso le anime leggano nel suo pensiero tramite Dio e fa un paragone con la generazione dei numeri naturali a partire dall'unità.

Tu credi che il tuo pensiero si trasmetta (mei) a me tramite Colui che è Primo, così come dalla conoscenza dell'unità deriva (raia = raggiare) quella del cinque e del sei (quindi di tutti gli altri numeri).

L'intuizione di Dante sta in quelle tre parole: "se si conosce".

Solo se conosci l'unità puoi conoscere gli altri numeri che da essa sono generati.

Ma... cos'è l'unità, cos'è il numero 1?

E come si fa a conoscere l'unità?

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Continua...

punto 16 aprile 2021

[A18] Sbikowski, chi era costui?

Taanti anni fa, quando insegnavo in una scuola superiore, notai un esercizio nel libro di testo che chiedeva di dimostrare un certo criterio di divisibilità per 7. Una nota riportava che quel criterio era dovuto a un tale Sbikowski.

Un bell'esercizio davvero: risolto e dimenticato.

Ma il nome Sbikowski mi si fissò indelebilmente nella memoria. Negli anni successivi, ogni tanto mi tornava in mente questo Sbikowski, cercavo notizie ma non trovavo niente. Neppure sui più potenti motori di ricerca.

Quando nel 2019 si diffuse la notizia che Chika Ofili aveva inventato un nuovo criterio di divisibilità per 7, mi ricordai di Sbikowski e provai a cercarlo con Google: nessun risultato utile.

A un certo punto, digitando nervosamente sulla tastiera, sbagliai un tasto e scrissi Zbikowski divisibility by 7 e ta-dah, 34.000 risultati!

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Zbikowski criterio di divisibilità per 7

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Tratto da:

Bulletin de l'Academie imperiale des sciences de St. Petersbourg,1861- 1862, pag. 151.

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P.S. C'è l'usanza di scrivere solo l'iniziale del nome degli autori, anche nella bibliografia, quindi rimane la domanda: qual è il nome di A. Zbikowski? Forse è Antoni?

punto 9 aprile 2021

[A17] La salita alla montagna della Matematica secondo Terence Tao

Cari amici, vi segnalo questo interessante articolo dal blog di Terence Tao: There’s more to mathematics than rigour and proofs.

Riporto qui sotto un riassuntino.

L'educazione matematica si può dividere in tre fasi:

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1. La fase "pre-rigorosa", in cui la matematica si impara in modo informale e intuitivo, sulla base di esempi, nozioni sfocate e gesti delle mani.

Es. Un asintoto è una retta a cui una curva si avvicina indefinitamente senza mai toccarla.

---

2. La fase "rigorosa", in cui si capisce che per fare matematica correttamente è necessario lavorare e pensare in modo molto più preciso e formale.

Es. Calcola:

Tao_fasi_2

col metodo ε, N.

---

3. La fase “post-rigorosa”, in cui si ritorna alla propria intuizione pre-rigorosa, ma questa volta solidamente sostenuta dalla competenza teorica.

Es. Calcola mentalmente:

Tao fasi 2

usando gli ordini di infinitesimi.

Terence Tao spiega anche che i matematici possono commettere errori a diversi livelli in tutte tre le fasi.

L'articolo There’s more to mathematics than rigour and proofs si trova nel Blog di Terence Tao (https://terrytao.wordpress.com/).

punto 2 aprile 2021

[A16] Un problema in rime

Nell'anniversario dantesco ci dilettiamo con problemi poetici.

Mese agli inizi,
vorrei sapere
cosa ne è
se sommi da uno
fin che ce n'è
tutti gli inversi
delle potenze di tre.

di Sergio Casiraghi.

In linguaggio matematico simbolico si scrive così:

somma inversi potenze di 3

Provate a esprimerlo in prosa matematica.

punto 26 marzo 2021

[A15] Dai labirinti logici di Robert Abbott

Aggiornata la pagina dei Labirinti logici con la soluzione di questo problema.

Direzioni obbligate

Entra nel labirinto e trova l'uscita. Però...

Ad ogni intersezione devi seguire una delle frecce rosse disegnate nel labirinto.
E' vietata la svolta a U (dietrofront).

labirinto logico

punto 25 marzo 2021 Dantedì

[A14] Il centro della Commedia (un problema di probabilità)

Cari amici, nel giorno di Dantedì vi propongo un problema di probabilità sulla Commedia Dantesca.

Dante tabella

OK, avete notato le simmetrie al centro del Purgatorio?

Forse Dante ci ha voluto segnalare quei due canti?

Oppure queste simmetrie sono del tutto casuali?

Ed ecco allora il problema matematico.

---

Supposto che il numero dei versi di ogni canto della Commedia sia casuale:

a) Qual è la probabilità di trovare 7 numeri disposti simmetricamente rispetto a un numero centrale posto in un punto determinato?

b) Qual è la probabilità di trovare due di queste simmetrie?

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Il problema è solo abbozzato, si deve precisare meglio.

Per esempio, ci si può limitare alla cantica del Purgatorio e supporre che i numeri di versi non siano equiprobabili ma abbiano una distribuzione normale simile a quella della Commedia.

punto 19 marzo 2021

[A13] Esercizio di lettura di Paolo Dagomari

...tra il giorno del pi-greco e il Dante dì.

E' gl'è un tondo che 'l diamjtro suo è 12 braccia, vo' xapere che gira intorno.

Noj abIamo detto che e' 'gl'è per lo mezzo, 12 braccia; senpre dej tenere questa reghola sechondo il geometra che dicie che ttu multjprichi senpre per 3 e 1/7 e chotanto gira intorno intorno.
E però multprichiamo 12 via 3 e 1/7, che fa 37 e 5/7, e 37 braccia 5/7 di braccio girerà di fuorj, cioè intorno intorno.

Se vogliamo capire meglio la matematica nella Commedia, dobbiamo immergerci nei testi di matematica dell'epoca di Dante.

A cominciare da quelli di Paolo Dagomari che fu maestro di Jacopo Alighieri, figlio di Dante.

Il testo delle "Regoluzze" è stato una delle fonti del TLIO, Tesoro della Lingua Italiana delle Origini, curato dal CNR e in continuo aggiornamento.

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Questo problema è tratto dal

punto 14 marzo 2021

[A12] Pi greco da bambino

Paolo Dagomari insegnò la Matematica a Jacopo Alighieri, figlio di Dante.

Nel 1339 scrisse un libro intitolato “Trattato d'abbaco, d'astronomia e di segreti naturali e medicinali”.

Il Trattato si conclude con un elenco di 52 regole di aritmetica che egli stesso chiamò “Regholuzze del maestro Pagolo astrolago”.

Ve ne propongo tre, sempre attuali e interessanti. Quella che metto in evidenza qui è la regoluzza per calcolare la lunghezza di una circonferenza conoscendo il suo diametro.

“Se moltiplichi il diametro di un cerchio per 22 e dividi per 7, avrai la lunghezza della sua circonferenza.”

circonferenza = diametro×22/7

Il numero π (pi greco) è approssimato a 22/7.

π ≈ 22/7 ≈ 3,14...

Regoluzze di Paolo Dagomari

punto 12 marzo 2021

[A11] Vendere, comprare, rivendere, ... la stessa cosa.

Un uomo vendette un cavallo per 90 $, lo ricomprò per 80 $ e lo rivendette per 100 $.

Quanto guadagnò da queste operazioni di compravendita?

Clark, Mental Nuts

---

S. E. Clark, Mental nuts, 1876.

Ma, chi è S. E. Clark? Non ho trovato notizie nella rete.

punto 5 marzo 2021

[A10] Comprare con soldi falsi.

Un ragazzo comprò un paio di scarpe da 4 $ e consegnò una banconota da 10 $ per il pagamento.

Il venditore si fece cambiare la banconota da un vicino e diede al ragazzo il resto di 6 $.

Il ragazzo lasciò la città con le scarpe e i 6 $ di resto.

Dopo poco tempo, il vicino restituì la banconota al venditore dicendo che era falsa e il venditore dovette dargliene una buona in cambio.

Quanto perse il venditore?

Clark, Mental Nuts

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S. E. Clark, Mental nuts, 1876.

Ma, chi è S. E. Clark? Non ho trovato notizie nella rete.

punto 28 febbraio 2021

[A9] Vendere, comprare, rivendere, ... la stessa cosa. E magari con soldi rubati.

Questo problema ogni tanto ritorna nei social, ciascuno dice la propria opinione e nessuno dà la soluzione definitiva.

Ecco una versione, pervasa di preconcetti, tratta da un noto social (Facebook).

"Una donna entra in un negozio e ruba 100 € dalla cassa senza che il titolare lo noti.
Dopo cinque minuti ritorna, compra una borsa da 70 €, paga con i 100 € rubati e il titolare le dà il resto di 30 €.
Quanto ha perso il titolare?"

Un problema simile, comparve per la prima volta nel 1876 in un libro di S. E. Clark del 1876 intitolato Mental nuts, Noccioline mentali.

punto 22 febbraio 2021

[A8] Breve storia di un problema capzioso di Vladimir Arnold

L’ipotenusa di un triangolo rettangolo (nel testo di un esame standard di una scuola americana) è di 10 pollici, l’altezza ad essa relativa è di 6 pollici. Trovare l’area del triangolo.

Problema 6 Arnold

Area di ABC = ?

Gli studenti americani, per dieci anni, credettero di aver risolto questo problema senza difficoltà. Poi arrivarono alcuni studenti russi da Mosca e nessuno di essi fu in grado di risolverlo (rispondendo 30 pollici quadrati) come avevano fatto i loro compagni americani.

Perché?

Ma infine arrivarono gli studenti italiani che riuscirono a risolverlo!

Come?

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punto 15 febbraio 2021

[A7] Tre millimetri al giorno

Tre millimetri al giorno

Scott Carey è un uomo normale, che fa una vita normale: è alto un metro e ottanta ha una moglie, una figlia, un'auto, un gatto, un lavoro.

Ma un pomeriggio, durante una gita in barca, è investito da una spuma di insetticida impregnata di radiazioni.

A partire da quella data il suo corpo diventa sempre più piccolo. Per la precisione, la sua statura diminuisce di 3 mm al giorno.

Dopo aver capito che nessuna cura medica può guarirlo, Scott si pone ogni sera la domanda fondamentale della sua vita: cosa c'è al di sotto dello zero?

Ed ecco tre domandine di matematica, più facili.

Se Scott all'inizio era alto 1,80 m e la sua statura diminuisce di 3 mm al giorno, dopo quanti giorni arriva a zero?
Se invece la sua statura diminuisce del 3% ogni giorno, dopo quanti giorni arriva a zero?
Se invece la sua statura ogni giorno diventa la radice cubica di quello che era il giorno precedente, dopo quanti giorni arriva a zero?

punto 8 febbraio 2021

[A6] Il calibro aureo 2

Il calibro aureo (parte seconda)

Perché funziona il calibro aureo e come realizzarne uno digitale da usare sullo schermo del computer.

Hokusai monte Fuji

"Il Monte Fuji riflesso nel Lago Kawaguchi,

visto dal Passo Misaka nella Provincia di Kai",

di Katsushika Hokusai

punto 1 febbraio 2021

[A5] Il calibro aureo 1

Il calibro aureo (parte prima)

Come costruire un calibro aureo con aste di legno e come usarlo.

Calibro aureo viso

punto 25 gennaio 2021

[A4] Divisione della pizza

Matematica ed equità: quando le condizioni impediscono l'uguaglianza, la matematica ti aiuta a trovare il massimo dell'equità.

Ho acquistato una pizza circolare e la voglio dividere in pezzi (non necessariamente uguali) con 3 tagli rettilinei da bordo a bordo,

senza spostare i pezzi fra un taglio e un altro,
ottenendo il maggior numero possibile di pezzi,
massimizzando la superficie S del pezzo più piccolo.

Taglio pizza

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punto 18 gennaio 2021

[A3] Piramide di mattoni

Questa piramide di mattoni funziona così:

Alla base ci sono N mattoni. In ciascun mattone è scritto un numero.
Nei mattoni alla base sono scritti i numeri da 1 a N in un certo ordine.
In ogni mattone dei piani superiori è scritta la somma dei due numeri che si trovano nei due mattoni su cu è poggiato.

Disegna una piramide la cui base è formata da 5 mattoni.
In quale ordine si devono disporre i numeri da 1 a 5 alla base per ottenere il risultato più grande possibile nel mattone in cima alla piramide?

E se la base della piramide fosse formata da 2021 mattoni?

Piramide di mattoni

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punto 11 gennaio 2021

[A2] Considerazioni aritmetiche sul numero 2021

Il numero 2021 è la giustapposizione di due numeri consecutivi (20 e 21), è la somma di due numeri consecutivi ed è anche il prodotto di due numeri primi consecutivi (43, 47).

2021 = "20" & "21"

2021 = 1010 + 1011

2021 = 43 · 47

Quale sarà il prossimo anno con questa caratteristica?

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punto 4 gennaio 2021