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Amministrato da Pietro Vitelli

punto16 settembre 2020 - 260.2020

Matematica rilassante con i sona drawings

Cari amici ho inserito un nuovo sfondo della home page usando alcuni disegni sona su 5 punti.

sona 5 punti

Ho un sacco di domande, per esempio:

  1. Questi 6 disegni sono distinti topologicamente?
  2. Quale potrebbe essere un criterio per distinguere e classificare i disegni sona?
  3. Quanti disegni sona distinti si possono tracciare con n = 5 punti?
  4. Quanti disegni con n = 1, 2, 3, 4, ... punti?
  5. Esiste questa sequenza su OEIS?

indicaDiscussione sul Forum.

punto11 settembre 2020 - 255.2020

Ex Falso sequitur quodlibet

In logica, usando correttamente le regole:

Ecco un esempio scherzoso che mostra come si possa dimostrare una proposizione Falsa partendo da una premessa Falsa.

F --> F

---

Uno studente chiese al famoso logico Bertrand Russell:

- E' vero che partendo da premesse false si può dimostrare qualunque cosa?

Russell rispose: - Certo!

- Sarebbe capace di dimostrare che se 2 + 2 = 5 allora lei è il Papa?
Bertrand Russell ci pensò un po' su poi disse:

---

Ma come si può dimostrare il Vero partendo dal Falso?

F --> V

Per esempio, partendo dall'ipotesi 2 + 2 = 5, dimostrare 1 = 1.   

punto6 settembre 2020 - 250.2020

Linea retta sul dodecaedro

Domanda: Esiste una linea retta disegnata sul dodecaedro regolare che parta da un vertice e arrivi allo stesso vertice senza passare attraverso nessun altro vertice?

Risposta: Sì, anzi ne esistono ben 31 famiglie!

linea retta sul dodecaedro

Domanda: Si può fare la stessa cosa sulla superficie degli altri 4 solidi regolari (tetraedro, cubo, etc)?

Risposta: No.

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Spiegazione semplice del "Sì": A Trajectory from a Vertex to Itself on the Dodecahedron di Jayadev S. Athreya, David Aulicino, 2018. (https://arxiv.org/abs/1802.00811)

Spiegazione semplice del "Ne esistono 31 famiglie", su Quanta Magazine:
Mathematicians Report New Discovery About the Dodecahedron di Erica Klarreich, 2020 (https://www.quantamagazine.org/mathematicians-report-new-discovery-about-the-dodecahedron-20200831/)

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Il professor Howard Masur ha detto:

“It’s one of these things where I can say, without any hesitation, ‘Goodness, oh, I wish I had done that!’”

punto1 settembre 2020 - 245.2020

Buon anno scolastico a tutti!

Cari colleghi, genitori, studenti vi propongo un esercizio augurale per un buon anno scolastico 2020-2021.

E' un esercizio di ricerca e illuminazione, ispirato a La stella nascosta di Samuel Loyd.

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Dov’è la mamma di Piko?
Il gattino Piko si è infilato nella stanza dei giochi. C’è la stella di Sam Loyd, ci sono due cuori, e poi il castello della paura e la corona della regina.
Ma dov’è finito Piko? L’hai trovato? Bene.
Nella stanza c’è anche sua mamma Zelda.
Sei capace di trovarla?

gatto nascosto

punto27 agosto 2020 - 240.2020

Pensiero laterale matematico (2) [aggiornato]

Cari amici, vi propongo due problemi laterali che hanno qualcosa in comune, secondo me.

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6. Attraversare un fiume

Due ragazzi devono attraversare un fiume, ma c'è una sola barca a remi che può trasportare un solo ragazzo alla volta.

La barca non può tornare indietro da sola.

Non ci sono corde o trucchi simili.

Nel fiume vivono pesci carnivori, perciò un ragazzo non può stare in acqua tenendosi alla barca.

Eppure entrambi i ragazzi riescono ad attraversare il fiume usando la barca.

Come si spiega?

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5. Quanti triangoli?

Ho disegnato alcuni triangoli su un foglio di carta.

Per prima cosa ho mostrato il foglio a Mario e gli ho chiesto quanti triangoli c'erano. Mario ha detto 5 e aveva ragione.

Poi ho mostrato il foglio a Sofia e le ho chiesto quanti triangoli c'erano. Sofia ha detto 3 e aveva ragione.

Ripeto che le risposte date date da Mario e Sofia sono entrambe esatte.

Come si spiega? Quanti triangoli ci sono sul foglio?

Puoi illustrare la tua spiegazione con un disegno.

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Cosa hanno in comune questi due problemi?

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(Tratti dal blog di Tanya Kovanova)

punto22 agosto 2020 - 235.2020

Certi problemi, che io chiamo "tigri di carta", sembrano difficili da domare ma basta una piccola astuzia per smascherare la loro semplicità.

Però può capitare che dietro la tigre di carta si nasconda la criniera di un leone in carne ed ossa.

Per esempio...

Numeri quadrati perfetti che contengono solo due cifre distinte

Versione facile.

Immagina un numero di duecento cifre formato da cento "2" e cento "4".

Dimostra che, in qualunque modo siano disposte le cifre, tale numero non sarà mai un quadrato perfetto.

Questo problema si può risolvere a mente con le nozioni matematiche che si imparano in prima media.

Versione difficile.

6661661161 = 816192

Il numero 6661661161 è il più grande numero conosciuto che sia un quadrato, contenga soltanto due cifre distinte e non termini per 0.

Trova un numero più grande che abbia le stesse caratteristiche oppure dimostra che non esiste.

Questo è un problema non ancora risolto.

Vedi la sequenza A018884 - Squares using at most two distinct digits, not ending in 0 su OEIS.

punto17 agosto 2020 - 230.2020

Zero e uno in cerchio

Scrivete quattro 1 e cinque 0 in cerchio, in ordine casuale.

Poi applicate la seguente regola:

  1. Tra due numeri uguali scrivete un 1 e tra due numeri diversi scrivete uno 0.
  2. Poi cancellate i numeri originali.

Potete applicare nuovamente la regola, quante volte volete.

Per esempio nella figura, a sinistra, vedete una possibile distribuzione iniziale di 1 e 0. A destra, invece, ciò che si ottiene applicando la regola una volta.

Cerchio 0 1

Domanda: è possibile ottenere tutti 1 applicando la regola un numero finito di volte?

Suggerimento: è un problema che si può risolvere partendo dal fondo e procedendo a ritroso.

Ho aggiornato la pagina Quando si comincia dal fondo.

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Tratto da: Strategies of problem solving (Draft) di Maria Nogin, 2008.

Questo problema è citato anche nel libro The Mathematics of Various Entertaining Subjects, Volume 3 -  The Magic of Mathematics, a cura di Jennifer Beineke e Jason Rosenhouse, 2019.

punto12 agosto 2020 - 225.2020

Umorismo matematico 19-20 [aggiornato]

20. A lezione da Schrodinger

entanglement

punto7 agosto 2020 - 220.2020

I disegni del popolo Chokwe

Chokwe

  1. Segnate alcuni punti su un foglio (esempio figura A).
  2. Disegnate una linea intrecciata che racchiuda ciascun punto in una regione finita del piano (esempio figura B).
    Ciascuna regione finita deve contenere esattamente un punto.

Provate a risolvere il problema con la struttura di punti mostrata nella figura C.

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Questo è un esempio di etnomatematica, studiato recentemente da David Eppstein e altri nell'articolo New Results in Sona Drawing: Hardness and TSP Separation (https://arxiv.org/abs/2007.15784).

Altri esempi di etnomatematica si trovano nel libro di Claudia Zaslavsky, Multicultural Mathematics, 1993.

punto2 agosto 2020 - 215.2020

Posso dire che 1 è un numero primo?

Breve storia della primalità di 1.

Immaginiamo di chiedere ai grandi matematici della storia:

"Si può dire che 1 è un numero primo?"

Le risposte sarebbero...

punto28 luglio 2020 - 210.2020

Ho aggiornato la pagina Spazio, tempo, velocità con un nuovo problema.

Emma e Greta vanno al parco

Emma e Greta sono sorelle gemelle che hanno la stessa velocità di camminata e la stessa velocità di corsa.

Un giorno fanno un viaggio al parco.

Emma cammina per metà della distanza e corre per l'altra metà.

Greta cammina per metà del tempo e corre per l'altra metà del tempo.

Chi arriva al parco per prima?

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Tratto da AoPS online (https://artofproblemsolving.com/online)

punto23 luglio 2020 - 205.2020

Una sequenza per futuri veterinari

Cari amici, questa è una fedele riproduzione di un quesito tratto da qui.

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sequenza

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  1. Voi come lo risolvereste?
    Siete liberi di inventare anche soluzioni diverse da quelle indicate.
  2. La risposta "ufficiale" (43) mi lascia perplesso. Come si potrebbe correggere il quesito cambiando poche parole?

Ho inserito questo quesito nella pagina: Posso dire che 1 è un numero primo?

punto18 luglio 2020 - 200.2020

Il numero cromatico del piano

Comincio questo appunto col teorema di Adamo, Eva e Bertoldino.

Immaginate di avere un foglio grande come il piano geometrico e 1, 2, 3, 4, ...n colori.

Per esempio, scelti i 2 colori rosso e blu, il piano è 2-colorato quando ogni suo punto è rosso oppure blu.

La colorazione può avvenire in infiniti modi, senza alcuna restrizione sulla distribuzione dei colori.

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Teorema. In qualunque modo sia 2-colorato il piano e qualunque unità di misura si scelga, esistono almeno due punti dello stesso colore che distano fra loro 1 unità.

2-COLORATO

Per dimostrarlo basta lanciare nel piano un triangolo equilatero di lato 1 (fig.1).

Se invece lanciate un grafo di Golomb (fig. 2) potete dimostrare che anche in un piano 3-colorato esistono almeno due punti dello stesso colore che distano fra loro 1 unità.

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punto15 luglio 2020 - 197.2020

Buon compleanno BASE Cinque!

Oggi sono felicemente commosso: BASE Cinque compie 20 anni!

Penso con gratitudine a tutti gli amici che hanno contribuito al sito dapprima con e-mail, poi partecipando al forum su VoyForum e attualmente al forum gestito da Pietro Vitelli. Grazie di cuore a tutti!

Il mio piccolo regalo al sito è un problema del grande maestro Nobuyuki Yoshigahara pubblicato sul suo libro Puzzles 101: A PuzzleMasters Challenge, CRC Press, 2004.

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Una calcolatrice rotta.

compleanno

La mia calcolatrice è rotta: non mostra più sul display i segmenti verticali delle cifre.
Ho digitato un numero da una cifra e il display mostra tre segmenti orizzontali.

compleanno

Quale operazione potresti fare per scoprire il numero che ho digitato?

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Pace e bene a tutti!

punto8 luglio 2020 - 190.2020

Astronave intergalattica

A volte nel Forum partiamo da un problema preciso, lo risolviamo con onore e poi divaghiamo un po'. Il filo del discorso è matematico ma è fatto di associazioni fantasiose e talvolta di bei ricordi.

La discussione "I sei quadrati", per esempio, è partita da un problema sull'area di un triangolo per arrivare all'ellisse, poi a un'astronave intergalattica e infine al concetto urbanistico di città equa.

Come ha detto Pasquale: "Tanto mi piacque questa discussione!"

Bruno ci ha persino donato il disegno dell'astronave.

Astronave Bruno

Quanti aspetti matematici riuscite a trovare nel disegno?

Grazie a  Bruno, Panurgo, Pasquale, Lucignolo e Delfo52 per i loro contributi.

punto3 luglio 2020 - 185.2020

Il problema dei cinque ponti

L'immagine mostra cinque ponti che collegano le rive opposte di un fiume passando attraverso due isole. Ci sono diversi modi per attraversare il fiume usando alcuni ponti.

Ieri c'è stata una tempesta così forte che ciascun ponte ha avuto il 50% di probabilità di crollare. Oggi, Aldo arriva al fiume e deve attraversarlo.

Data la disposizione dei ponti e delle isole, qual è la probabilità che Aldo sia in grado attraversare il fiume?

Cinque ponti

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E' un problema semplice ma interessante perché ci fa riflettere, tra l'altro, sull'importanza della simmetria in matematica.
Se volete commentare o proporre una soluzione, trovate questo problema anche nel Forum.

Tratto da: The five bridges puzzle di Katie Steckles, (https://scilogs.spektrum.de/hlf/the-five-bridges-puzzle/)

punto28 giugno 2020 - 180.2020

Un teorema quasi straordinario in una data quasi perfetta

Il 28/6/496 fu una data perfetta. In quell'anno l'Italia era governata da Teodorico, re degli Ostrogoti.

Il 28/6/8128, sarà la prossima data perfetta. Chissà come sarà il mondo...

Oggi, 28/6/2020 è una data quasi perfetta e vi propongo un teorema quasi straordinario.

Tutto nasce dalla domanda:

È possibile dividere l’insieme dei numeri naturali in due parti in modo che nessuna delle due contenga una terna pitagorica?

E' una domanda che ci fa immergere nell'infinito. Se la risposta fosse "sì", la dimostrazione sarebbe davvero straordinaria.

Ma la risposta è "no" e deriva dal seguente teorema:

Teorema. L'insieme {1, 2, 3, ..., 7824} si può dividere in due parti tali che nessuna delle due contenga una terna pitagorica. Tale divisione è invece impossibile con l'insieme {1, 2, 3, ..., 7825}.

La dimostrazione ha richiesto circa 35.000 ore di calcolo ma siccome è stata realizzata da una "nuvola" di 800 computer che hanno lavorato in parallelo, si è conclusa in soli 2 giorni.

Il "testo" non compresso della dimostrazione occupa circa 200 terabyte.

Vorrei fare un confronto con l'Ulysses di James Joyce. La versione che si trova sul Progetto Gutenberg è formata da 1.481.456 caratteri (spazi compresi). Ogni carattere occupa 1 byte di memoria.

Poiché 1 terabyte = 1012 = 1.000.000.000.000 byte, possiamo concludere che la dimostrazione è lunga circa 135 milioni di volte l'Ulysses di Joyce.

Nessuno di noi può verificarla e neppure scaricarla con il proprio computer personale.

Possiamo accettarla come dimostrazione?

Il racconto di come è stata ottenuta si trova su arXiv.org (https://arxiv.org/abs/1605.00723)

Marijn J. H. Heule, Oliver Kullmann, Victor W. Marek, Solving and Verifying the boolean Pythagorean Triples problem via Cube-and-Conquer.

punto23 giugno 2020 - 175.2020

L'illusione della scala in 3D

Divertitevi con questo classico. Potete anche fare una mini-installazione in grandezza naturale.

Illusione scala

punto18 giugno 2020 - 170.2020

Il problema delle quattro R [aggiornato]

Ho aggiornato questo problema con i contributi di Pietro Vitelli e di Sergio Casiraghi.

Finalmente questo problema è (abbastanza) risolto!

punto13 giugno 2020 - 165.2020

Se A fosse B, cosa sarebbe C? [aggiornato]

Cinque per 6 uguale trentasei

Sappiamo che:
5·6 fa 6²
59·60 fa 82²
858·859 fa 1624².
Quanto fa 100?

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Grazie a Bruno per il problema!

punto8 giugno 2020 - 160.2020

Due problemi aritmetici dal Forum

  1. Esprimere qualsiasi numero, intero e positivo, usando solo tre 2 e segni matematici.
    Vedi: I quattro 4, i cinque 5 e altri esercizi simili
  2. Senza usare segni aritmetici come +, -, x, :, !, ? etc., disporre quattro 3 in modo da ottenere il massimo valore.
    Vedi: Il numero più grande che si può ottenere con...

Per risolvere quest'ultimo problema bisogna chiarire come si calcola un'espressione del tipo:
fig.
Infatti l'operazione di elevamento a potenza non è associativa.
Per convenzione, in assenza di parentesi, si usa l'associatività a destra, cioè:
fig.
Per esempio:
fig.
Maxima, Sage, WolframAlpha seguono questa convenzione.

Invece Maple, Calc, Excel e alcune calcolatrici, in assenza di parentesi, associano a sinistra:
fig.,
per esempio:
fig.

---

Grazie a Pietro e Bruno per i problemi!

punto3 giugno 2020 - 155.2020

Il tangram ovale - compito per le vacanze [aggiornato]

Cari amici, vi propongo un compitino per le vacanze.

Con un cartoncino colorato costruite il tangram ovale che si vede qui sotto. Il taglio lungo la linea tratteggiata arancione è facoltativo (ma utile). Usatelo per costruire le figure più disparate: uccelli e altri animali, persone, astronavi, figure astratte e così via.

Per sapere come si disegna il tangram ovale potete dare un'occhiata sulla pagina Il tangram ovale.

 

tangovale

Se volete, inviatemi una foto di ciascuna vostra costruzione, sarà graditissima!

Buona conclusione dell'anno scolastico e buone vacanze a tutti!

---

Grazie a Dario Uri per le preziose notizie storiche su questo gioco, inviate tramite Facebook.

punto29 maggio 2020 - 150.2020

Due simpatiche risposte al Test di Bertoldino

---

Grazie a Emma Taglier, Federico e Paolo Vecchio e alla loro insegnante Paola Maria Coppo!

Beh, la morale è che bisogna formulare i testi dei problemi con molta cura. Ho apportato qualche correzione al Test.

punto24 maggio 2020 - 145.2020

Il compleanno di Cheryl

Albert e Bernard sono diventati amici di Cheryl, e vogliono conoscere la data del suo compleanno. Cheryl dà loro 10 possibili date:

Poi Cheryl dice separatamente ad Albert solo il mese e a Bernard solo il giorno del proprio compleanno.

Tra i due amici segue questo dialogo:

Dunque, quando è il compleanno di Cheryl?

---

Note.

Questo problema è stato ideato da Joseph B. W. Yeo e proposto nel 2015 alle Olimpiadi di Matematica di Singapore (SASMO), scuola secondaria.

Per un certo periodo è diventato virale nei social tipo FB. E' stato pubblicato persino su la Repubblica e The Guardian!

Potrebbe essere definito un problema di conoscenza e ignoranza, come il famoso problema impossibile di H. Freudenthal (1969) e D. Sprows (1976).

Merita un approfondimento.

Grazie a Lucignolo per aver proposto il problema nel Forum.

punto19 maggio 2020 - 140.2020

Il principio della cassettiera [aggiornato]

Cari amici ho aggiornato la pagina con la risoluzione del problema 24.

E' tratto dal libro Introductory Graph Theory di Gary Chartrand, 1985 (prima edizione del 1977 col titolo Graphs as Mathematical Models).

Gary Theodore Chartrand (n. 1936) ha numero di Erdos 1.

Gary Chartand

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Grazie a Pietro Vitelli e Giobimbo per la soluzione del problema nel Forum.

punto14 maggio 2020 - 135.2020

Il trucco con le carte più semplice del mondo

Preparate un mazzo formato da 20 carte da gioco con i semi di due colori diversi: 10 rosse e 10 nere.

carte

I dorsi delle carte devono essere tutti uguali, indistinguibili l'uno dall'altro.

Chiedete a un amico/a di mescolare le carte e di consegnarvi il mazzo dalla parte del dorso.

A questo punto inizia il trucco. Dovrete usare la vista a raggi X.

Tenendo le carte sempre rivolte dalla parte del dorso, dividetele in due mazzetti da 10 carte posandole sul tavolo una alla volta, a destra oppure a sinistra a vostro piacere.

Terminata la divisione dichiarate: "Le carte rosse del mazzetto di destra sono tante quante le carte nere del mazzetto di sinistra!"

Chiedete all'amico/a di verificare. Sarà proprio così!

Come avete fatto?

Questo trucco può aiutare a risolvere un noto problema sul travaso di latte e caffè. Quale?

punto9 maggio 2020 - 130.2020

Pensiero laterale matematico (2) [aggiornato]

Sui social network, come FB, si trovano molti esercizi come questi. Che ne dite di risolverli?

Attenti a non scivolare sulla buccia di banana!

Equazioni

Visitare tutte le celle di una griglia [aggiornato]

Grazie a Giobimbo per la soluzione di un problema di Dudeney.

Il problema delle quattro R [aggiornato]

Grazie a Pietro Vitelli per le nuove soluzioni.

punto4 maggio 2020 - 125.2020

Umorismo matematico 19-20 [aggiornato]

19. Il test inverso di Turing

Inverso Turing

Credit: CommitStrip

punto29 aprile 2020 - 120.2020

Il problema del collezionista (coupon collector's problem)

  1. Quante volte, in media, si deve lanciare una moneta per ottenere almeno una testa e una croce?
  2. Quante volte, in media, si deve lanciare un dado (a 6 facce) per ottenere tutti i numeri?
  3. Quante figurine, in media, si devono comprare per completare un album di 100 figurine?
    Le figurine si comprano una alla volta. Ogni figurina è chiusa in una busta, di cui non si può vedere il contenuto. Ogni busta contiene una figurina scelta a caso fra le 100 che compongono l'album. Le figurine sono tutte equiprobabili, cioè ogni figurina ha probabilità 1/100 di trovarsi in una busta.

punto24 aprile 2020 - 115.2020

Alcool 70% vol

Alcool 70

La nonna vuole sapere quanti millimetri di acqua deve aggiungere nella bottiglia per ottenere una soluzione con gradazione alcolica 70% vol.

Cioè la soluzione dovrebbe essere formata dal 70% di alcool e dal 30% di acqua, in volume.

Il liquido già presente nella bottiglia è una soluzione alcolica al 96% vol.

La nonna si accontenta di un valore approssimato che non tenga conto delle forze tra le molecole dell'alcool e quelle dell'acqua...

---

Note.

  1. La nonna è astemia, NON beve alcolici, vuole solo fare un disinfettante pagandolo un prezzo ragionevole! In tempi di coronavirus ho visto confezioni da 50 mL vendute al prezzo di 6.90 €: praticamente 138 €/L.
  2. Nel mio libro di Aritmetica delle Medie (1963) c'erano due capitoli dedicati ai problemi di miscuglio e a quelli di alligazione (formazione di leghe metalliche). A quei tempi, in seconda (o forse terza) media, avremmo saputo rispondere alla nonna.
  3. La legislazione italiana definisce il titolo alcolometrico (o gradazione alcolica) come “il numero di parti in volume di alcol puro alla temperatura di 20 °C contenuta in cento parti in volume del prodotto considerato alla stessa temperatura”.
    Per esempio, se una miscela di acqua e alcool ha una gradazione alcolica del 70% significa che l'alcool occupa il 70% del volume della miscela.

punto19 aprile 2020 - 110.2020

Un'altra idea di John Horton Conway che mi piace ricordare.

Il gioco dell'Angelo

Il gioco dell'Angelo - Conway

Questo gioco ideale si svolge su una scacchiera infinita formata da caselle dello stesso colore, con due pedine: l'Angelo contro il Diavolo.

...

Figura tratta da: Berlekamp, Conway, Guy, Winning Ways for Your Mathematical Plays, 2003.

punto14 aprile 2020 - 105.2020

Il quinto problema

La subdola discriminazione dei matematici ebrei russi in Unione Sovietica negli anni '70 e '80. Una storia con lieto fine, a volte.

Anno 1984. Ufficio di iscrizione all'Università statale di Mosca (MGU), Dipartimento di Meccanica e Matematica, (Mekh-Mat). Per essere ammessi al Mekh-Mat bisogna superare un esame scritto e uno orale ottenendo il massimo punteggio, cioè 5 punti.

Il candidato è Edward Vladimirovich Frenkel, 16 anni.

Impiegata: "Buongiorno. Come si chiama?"

Studente: "Eduard Frenkel."

"E vuole fare domanda di iscrizione alla MGU?"

"Sì."

"Quale dipartimento?"

"Mekh-Mat."

"Bene."

L'impiegata abbassò gli occhi e chiese:

"Qual è la sua nazionalità?"

"Russa."

"Davvero? E quali sono le nazionalità dei suoi genitori?"

...

E' una mia libera ricostruzione tratta dal libro: Edward Frenkel, Love and Math: The Heart of Hidden Reality, Basic Books, New York, 2013.

punto13 aprile 2020 - 104.2020

Su BASE Cinque ci sono molte pagine che parlano di John Horton Conway.

Qui mi piace ricordare:

Il teorema cosmologico (javascript)

Il gioco Life (Vita) (javascript)

John Horton Conway ci ha lasciato l'11 aprile 2020 all'età di 82 anni a causa del COVID-19. Si trovava a Princeton (New Jersey).

John Horton Conway

punto9 aprile 2020 - 100.2020

Bilance a due piatti [aggiornamento]

Bilance con scala graduata [aggiornamento]

Ho riorganizzato i problemi di pesata in due pagine: bilance a due piatti o a leva e bilance con scala graduata.

punto4 aprile 2020 - 95.2020

Bilance con scala graduata [aggiornamento]

Ho aggiornato la pagina con un nuovo problema.

1100 grammi di farina

Hai alcuni sacchi di farina da 2 chili e mezzo; una bilancia a due piatti, e un peso da 100 grammi.

Devi fare un sacchetto da 1100 grammi di farina.

Come fai?

Qual è il numero minimo di pesate?

---

Grazie a Delfo52 per aver inviato questo problema al Forum - Ennesimo quiz di pesate. Il problema è tratto dal blog di Maurizio Codogno.

punto30 marzo 2020 - 90.2020

Il problema delle tre brocche

Storia, varianti e soluzioni di un racconto matematico.

Tre brocche

punto25 marzo 2020 - 85.2020

figb5 La Biblioteca di BASE Cinque [nuovo aggiornamento]

In questi giorni mi sono finalmente deciso a ricostruire la storia del problema delle tre brocche.

La difficoltà principale è stata quella di trovare in rete gli Annales Stadenses dell'abate Alberto di Stade (1187-1260), scritti in latino, nei quali si trova la versione più antica di questo problema.

Annales Stadenses

Alla fine li ho trovati ed è stata un bella emozione. Gli Annales Stadenses sono una cronaca universale dalla Creazione del mondo al 1256. La sorpresa è che a un certo punto c'è un dialogo tra due giovani litterati, curiales et curiosi di nome Tirri e Firri i quali si lanciano sfide matematiche. Il dialogo si svolge la vigilia di Natale del 1179, anno in cui morì Santa Ildegarda di Bingen.

dMGH - digitalen Monumenta Germaniae Historica

Contiene gli Annales Stadenses in cui si trova la prima versione del problema delle tre brocche. Link diretto: Annales Stadenses.

punto20 marzo 2020 - 80.2020

figb5 La Biblioteca di BASE Cinque [aggiornato]

Ho aggiunto due nuovi link e aggiornato la pagina.

BHL - Biodiversity Heritage Library

Si propone di fornire l'accesso gratuito alla conoscenza collettiva mondiale sulla biodiversità: libri, riviste, immagini.

Ci sono anche molti documenti di matematica in italiano, come le "Memorie di matematica e di fisica della Società italiana delle Scienze".

Rare Book Society of India

E' uno spazio virtuale per collezionisti di libri rari e appassionati di storia per leggere, discutere, riscoprire e scaricare gratuitamente libri perduti.

Vi si trova A synopsis of elementary results in pure and applied mathematics, di George Shoobridge Carr, London, 1880, uno dei testi più amati da Ramanujan.

punto13 marzo 2020 - 73.2020

La prima Giornata Internazionale della Matematica

Cari amici, il 14 marzo 2020 è la prima Giornata Internazionale della Matematica e anche un Pi-day.

Ecco il mio problemino per festeggiare.

---

Nella figura vedete le prime 250 cifre di pi greco (senza la virgola decimale).

piday2020

In rosso sono evidenziate le prime volte in cui compaiono coppie di cifre uguali.

Per esempio, la coppia 33 compare per la prima volta alla posizione 25-26 mentre la coppia 22 compare alla posizione 136-137.

a) In quale posizione compaiono per la prima volta le coppie 00 e 77?

b) E le terne 000 e 777?

punto10 marzo 2020 - 70.2020

Indovinello algoritmico

Domanda 1a.

Considerate i numeri da 1 a 6. Riuscite a disporli nelle seguenti caselle rispettando i segni di ordinamento scritti fra di loro?

figura

Domanda 1b.

Che ne dite di sistemare i numeri da 1 a 9 nelle seguenti caselle?

figura

Domanda 2.

Generalizziamo.

Dato un elenco di n numeri (tutti distinti tra di loro) e una serie di n caselle con segni di ordinamento inseriti fra loro, inventate un algoritmo che metta i numeri nelle caselle rispettando i segni.
Limitiamoci a carta e penna.

---

Grazie a Bruno per aver inviato questo problema al Forum - Indovinello algoritmico.

punto5 marzo 2020 - 65.2020

Il problema dei lucchetti ovvero amore in Kleptopia [aggiornato]

Aldo e Beatrice si sono innamorati (via Internet) e Aldo desidera inviarle un anello molto prezioso.

Sfortunatamente vivono nel Paese di Kleptopia dove qualsiasi cosa inviata per posta sarà rubata a meno che non sia racchiusa in una scatola con un lucchetto. Aldo e Beatrice hanno ciascuno un lucchetto con la relativa chiave, ma nessuno dei due ha la chiave del lucchetto posseduto dall'altro.

a) Come può fare Aldo per inviare l'anello a Beatrice in modo che non sia rubato?

b) Come può l'astuta kleptomaniaca Eva rubare l'anello?

c) Come funziona lo scambio di chiavi Diffie-Hellman?

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Si trova nell'articolo di Peter Winkler, Seven Puzzles You Think You Must Not Have Heard Correctly, 2006. L'autrice del problema è Caroline Calderbank, figlia dei matematici Ingrid Daubechies e Rob Calderbank.

punto29 febbraio 2020 - 60.2020

Umorismo matematico 19-20 [aggiornato]

18. Raccolta di battute

E molte altre...

Tratte dal blog di Tanya Khovanova.

punto24 febbraio 2020 - 55.2020

L'isola dei camaleonti

In un'isola vivono 2 camaleonti blu, 5 gialli e 3 verdi.

Se due camaleonti di due colori diversi si incontrano, cambiano entrambi colore e diventano del terzo colore.

Per esempio, se si incontrano un camaleonte verde e uno giallo diventano entrambi blu.

a) Descrivete la più breve sequenza di incontri in cui tutti i camaleonti diventano verdi.

b) Dimostrate che i camaleonti dell'isola, in queste circostanze, non potranno mai diventare tutti gialli.

camaleonti

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Questo problema è apparso per la prima volta (?) nel 1984, nell'International Mathematics Tournament of the Towns, Russia (con i numeri 13, 15, 17), ideato da V. G. Ilichev.

Si trova anche nel libro di Terence Tao, Solving Mathematical Problems. A Personal Perspective, Oxford University press, 2006.

Ci sono altre varianti con i numeri (20, 18, 16) e (12, 15, 18).

punto19 febbraio 2020 - 50.2020

Una sequenza di Nob Yoshigahara

I numeri nei cerchi bianchi sono scritti seguendo una certa regola.

a) Scoprite la regola e scrivete il valore di x.

b) Meditate sulla psico-logica con cui è stato scritto questo gioco e scrivete i valori di y e z.

c) Potete pure scrivere un programma per trovare i numeri y e z.

Sequenza

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E' l'espansione di un problema di Nobuyuki Yoshigahara pubblicato sul suo libro Puzzles 101: A PuzzleMasters Challenge, CRC Press, 2004 .

punto14 febbraio 2020 - 45.2020

Le radici quadrate di un numero complesso: la via semplice

Quali sono le radici quadrate di 5+12i?

punto9 febbraio 2020 - 40.2020

Linguaggio BASIC

In questi giorni ho scoperto che suor Mary Kenneth Keller B.V.M. (1913-1985) negli anni '60 collaborò con John Kemeny e Thomas Kurtz alla creazione del linguaggio BASIC.

Mary Keller

Suor Mary Kenneth Keller (fonte: Catholic Archives)

Il BASIC è sempre stato il mio linguaggio preferito per fare indagini in matematica.

D'ora in avanti lo sarà ancora di più!

Attualmente uso il Decimal Basic di Shiraishi Kazuo. E' un progetto libero e open source.

punto2 febbraio 2020 - 33.2020

Una data curiosa [dal Forum]

Ronfo ci segnala dal Forum che oggi, 02022020, è una data palindroma, cioè ha lo stesso valore letta da sinistra oppure da destra, anche con la notazione inglese (mmggaaaa)

Inoltre è il 33-esimo giorno dell'anno e mancano 333 giorni al termine dell'anno stesso.

Delfo52 aggiunge che 02022020, se scritto nella notazione a 7 segmenti, è un numero metazetico cioè rimane lo stesso se la scritta viene ruotata di 180°.

2 febbraio 2020

Quanti sono i numeri metazetici composti da n cifre scritte con la notazione a 7 segmenti?

punto29 gennaio 2020

Umorismo matematico 19-20 [aggiornato]

16. La tavola pitagorica dei sentimenti.

Compresi quelli dei prof. di matematica nell'esercizio delle loro funzioni.

Tavola sentimenti

Inventate una frase di matematica per ogni faccina.

Se la frase non è di matematica, va bene lo stesso.

punto24 gennaio 2020

La pagina aperta del 153 [aggiornato]

In questi giorni, leggendo il Discorso sulla preghiera di Nilo Asceta (440 d.C.), ho incontrato di nuovo il numero 153. L'autore spiega che il suo Discorso è diviso in 153 capitoli in ricordo della pesca miracolosa di 153 grossi pesci di cui si parla nel Vangelo di Giovanni, 21, 11.

Poi aggiunge alcune spiegazioni matematiche sul significato simbolico di questo numero. Ma non cita la nota proprietà che riguarda la somma dei cubi delle sue cifre.

Chi ha scoperto per primo questa proprietà?

Sembra che sia stato un certo Phil Kohn di Yokneam, Israele.

Ecco la citazione originale di T. H. O'Beirne, sulla rivista New Scientist del 1961.

Phil Kohn

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Tratto da: T. H. O'Beirne, Christmas puzzles, New Scientist n. 266, 21 dicembre 1961.

Il mistero rimane, anche perché non sono riuscito a trovare altre notizie né su O'Bernie né su Phil Kohn.

So solo che T. H. O'Beirne scrisse il libro Puzzles and Paradoxes, 1965, Oxford University Press, nel quale raccolse alcuni suoi articoli pubblicati su New Scientist dal gennaio 1961 al febbraio 1962.

Qualunque aiuto è benvenuto!

punto19 gennaio 2020

Umorismo matematico 19-20 [aggiornato]

15. Il principe immaginario di Hans Christian Kronecker

C'era una volta un ℝeale chiamato "principe Harry" che voleva cambiare segno e andare a vivere sotto una radice quadrata...

Principe immaginario

punto14 gennaio 2020

Terence Tao ha quasi-dimostrato la Congettura di Collatz

Il problema di Collatz lo può capire anche un bambino che sappia calcolare il triplo e la metà di un numero.

Tuttavia nessun matematico, negli ultimi 90 anni, è ancora riuscito a dimostrare che alla fine si raggiunge sempre il numero 1.

La congettura di Collatz

ovvero il problema 3x+1

Scegli un numero intero x e applica la seguente operazione, che si chiama funzione C:

  • 1) Se x è pari, dividilo per 2.
  • 2) Se x è dispari, moltiplicalo per 3 e aggiungi 1.

Il risultato è un nuovo numero, C(x).

Ripeti l’operazione sul nuovo numero, ottenendo C(C(x)) e così via.

Qualunque sia il numero x di partenza, continuando a ripetere l’operazione, arriverai sempre a ottenere il numero 1 dopo un numero finito di passi.

Se continui, finirai intrappolato in un ciclo senza fine: 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...

Il mitico Terence Tao ha dimostrato nel settembre 2019 che:

"ALMOST ALL ORBITS OF THE COLLATZ MAP ATTAIN ALMOST BOUNDED VALUES"

Si potrebbe tradurre così:

"Quasi tutte le traiettorie del grafo di Collatz raggiungono valori quasi limitati."

E' interessante capire cosa intendono i matematici quando parlano di "quasi tutti" gli elementi di un insieme infinito.

E anche cos'è una quasi-dimostrazione.

Per chi vuole approfondire, c'è l'articolo di Tao su ArXiv:

https://arxiv.org/abs/1909.03562

punto7 gennaio 2020

L'area del corpo umano

Ieri stavo esplorando un sentiero di confine tra la Geometria solida e quella piana quando improvvisamente un Troll è uscito da un albero e mi ha chiesto:

"Conosci una formula per calcolare l'area della tua pelle?"

Ho fatto un po' di ricerca e ho scoperto che esistono diverse formule empiriche per stimare l'area del corpo umano. E che c'è un modo molto carino per trovarle.

La formula di R. D. Mosteller è quella più semplice:

Formula di Mosteller

dove h è la statura è espressa in metri e il p è peso corporeo in chilogrammi.

Il risultato ci dà la superficie della pelle in metri quadrati.

Una spiegazione interessante si trova in questo articolo:

Lee, Joo Young & Choi, Jeong-Wha & Kim, Ho. (2008). Determination of Body Surface Area and Formulas to Estimate Body Surface Area Using the Alginate Method. Journal of physiological anthropology. 27. 71-82. 10.2114/jpa2.27.71.

P.S. Gli alginati si usano anche in cosmetica.

punto1 gennaio 2020

Buon 2020!

Auguro a tutti pace, bene e un percorso con le difficoltà della vita putroppo inevitabili ma che siano tutte superabili.

Utile il riepilogo finale, prima di passare all'anno successivo.

Un po' come in questo labirinto che vi propongo di risolvere mentalmente.

Buon 2020

Mi dicono che il 2020 è un numero autobiografico.

Perché è formato da 2 "zeri", 0 "uno", 2 "due" e 0 "tre".

Ma la definizione ufficiale di numero che è la biografia di se stesso (autobiographical number) mi lascia un po' perplesso: infatti, prima di definire il concetto di auto-biografia si dovrebbe definire cos'è la biografia di un numero.

Appunti precedenti

Il diario di BASE Cinque - 2019

Il diario di BASE Cinque - 2018

Negli anni 2016 e 2017 BASE Cinque è stato in power-saving mode.

Il diario di BASE Cinque - 2015

Il diario di BASE Cinque - 2014

Il diario di BASE Cinque - 2013

Il diario di BASE Cinque - 2012

Il diario di BASE Cinque - 2011

Il diario di BASE Cinque - 2010

Il diario di BASE Cinque - 2009

Il diario di BASE Cinque - 2008

Il diario di BASE Cinque - 2007

Degli anni 2005 e 2006 non esiste il diario.

Ricreazioni ricevute 2000 - 2004

Il sito BASE Cinque è nato il 15 luglio 2000.

BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa (2000-2020)

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