Tradotto dal Gruppo SHIFTE-I	[Vittorio Urcioli ]
Versione 1.0	13 Marzo 2002
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19 Le Leggi del Moto

La gravità non esiste.
E’ la Terra che risucchia.
— (adesivo sul paraurti di un Fisico)

Questo capitolo raccoglie alcuni concetti di fisica di base che vengono utilizzati in vari passaggi di questo libro.

Approfondiremo in modo particolare il Moto Rotatorio, dato che questo è generalmente meno familiare del Moto Rettilineo. In particolare, i Giroscopi si comportano in modo molto diverso rispetto ad oggetti non rotanti. Ed è incredibile quanto l’effetto giroscopico possa essere potente.

19.1 Moto Rettilineo

Prima di tutto, rivediamo le leggi fisiche che governano il moto rettilineo. Anche se i concetti basilari furono espressi da Galileo, parleremo delle Leggi di Newton, visto che fu Newton a codificare il fenomeno e a generalizzarne le applicazioni.

La Prima Legge del Moto dice: "Un corpo in quiete o in moto rettilineo uniforme tende a rimanere in quiete o in moto rettilineo uniforme a meno che una forza esterna non intervenga a modificare tale stato". Anche se questa potrebbe non sembrare una affermazione degna di rilievo, è stata una delle rivoluzioni più profonde della storia della scienza. Prima dei tempi di Galileo, le forze di attrito non venivano considerate nella dinamica dei corpi. L’attrito era visto come "naturale" e "scontato", cioè da non spiegare. La sola cosa che richiedeva spiegazioni era la forza necessaria per vincere l’attrito in un corpo in moto rettilineo uniforme. Galileo e Newton modificarono questo concetto. Da allora lo stato considerato "naturale" divenne quello di assenza di attrito, e si iniziò a considerare e calcolare le forze di attrito esattamente come tutte le altre forze.

La Seconda Legge del Moto dice: "Se un corpo subisce una qualunque variazione di velocità (cioè una accelerazione), la forza richiesta (F) è pari alla massa del corpo (m) moltiplicata moltiplicata per l’accelerazione subita (a)". In simboli diventa:

F = m a (19.1)

Tenendo presente che si definisce Quantità di Moto (o Momemto) di un corpo il prodotto della sua massa per la sua velocità (e supponendo la massa costante), la Seconda Legge del Moto può essere così espressa: la Forza esercitata su di un corpo è pari alla variazione della sua Quantità di Moto (o Momento) nell’unità di tempo. Oppure, analogamente, la variazione di Quantità di Moto (o Momento) di un corpo è pari alla forza moltiplicata per il tempo.

La Terza Legge del Moto dice: "Se una forza viene applicata ad un corpo, il corpo reagisce con una forza uguale e contraria". Anche questo principio può essere espresso in termini di Quantità di Moto: se diamo una certa Quantità di Moto ad un oggetto, dovremo dare una Quantità di Moto pari e opposta a qualcos’altro. ¹
Questo significa che la Quantità di Moto globale dell’universo non cambia. Questo principio — conservazione della Quantità di Moto (o Momento) — è uno dei fondamenti della Fisica, al pari del Principio di Conservazione dell’Energia discusso in capitolo 1.

* La Forza non porta ad uno Spostamento (bensì ad una Accelerazione)

Nonostante la semplicità di queste leggi, esse sono spesso male interpretate. Ad esempio, c’è il diffuso convincimento che un aeroplano in una salita a rateo costante richieda una maggior portanza, mentre una discesa a rateo costante una portanza minore.²
Ricorda, la portanza è una forza e qualunque forza non bilanciata darebbe luogo ad un’accelerazione, non ad un volo stazionario (cioè a rateo costante).

In un volo non accelerato (incluse salite e discese a rateo costante), le forze dirette verso l’alto (principalmente la portanza) devono equilibrare le forze dirette verso il basso (principalmente la forza peso). Se l’aeroplano è soggetto ad una forza verso l’alto non equilibrata, non salirebbe a velocità costante — ma verrebbe accelerato verso l’alto con una velocità verticale crescente.

Naturalmente, nella transizione tra volo livellato a salita a rateo costante, una forza verticale (relativamente debole) non equilibrata deve essere applicata temporaneamente. Una velocità di salita di 500 piedi/min corrisponde ad una componente verticale di velocità di soli 5 nodi, quindi la Quantità di Moto (o Momento) nella direzione verticale è relativamente bassa. L’energia cinetica nella direzione verticale è trascurabile.

Ad ogni modo, una volta che è stata ottenuto un assetto di salita a rateo costante, tutte le forze in gioco sono equilibrate.

19.2 Sistemi di Riferimento rotanti

Supponiamo che Moe sia posto su di una ampia e liscia tavola perfettamente rotante. Moe ha anche dipinto su questa tavola un sistema di riferimento X, Y , in modo da essere in grado di valutare la sua posizione, velocità ed accelerazione relativa al suo sistema di riferimento rotante. Il suo amico Joe osserva i movimenti di Moe e li misura rispetto ad un Sistema di Riferimento non-rotante.

Moe in breve tempo si rende conto che la Prima Legge di Newton non è applicabile in un Sistema di Riferimento rotante. Infatti, una pallina da tennis posta sulla tavola (ovunque eccetto che esattamente sul centro di rotazione), verrà centrifugata verso l’esterno.

Nel Sistema di Riferimento non-rotante di Joe, non esistendo una forza centrifuga, la Legge di Newton è applicabile.

Moe fissa la pallina alla tavola con un elastico.

Joe vede lo stesso elastico e la stessa forza. L’allungamento dell’elastico è un’indice della forza esercitata.

Moe dice che la pallina non è in movimento relativa al suo Sistema di Riferimento. L’elastico equilibra la forza centrifuga.

Joe dice che la Quantità di moto (o Momento) della pallina cambia direzione in continuazione a causa della rotazione. L’elastico genera la forza necessaria.

19.3 Moto in un Sistema di Riferimento rotante

Adesso vedremo cosa succede ad un corpo in movimento relativo in un Sistema di Riferimento rotante.

Supponiamo che Moe fissi ad un’auto con un elastico un'altra pallina da tennis. Moe guida liberamente quest’auto mentre Joe osserva la pallina passare alcuni riferimenti (A, B, ecc) posti sulla tavola rotante.

Moe vede la pallina muoversi dal riferimento A al riferimento B. Naturalmente Moe vede i riferimenti fissi sulla tavola rotante.

Joe conferma che la pallina si è spostata dal riferimento A al riferimento B, ma lui deve tener presente che i riferimenti stessi sono in movimento.

Vediamo ora cosa succede quando Joe analizza il movimento composto, cioè generato dalla sovrapposizione del movimento dei riferimenti (A, B, ecc) e della pallina rispetto ai riferimenti stessi. Analizzando la forza a cui è soggetta la pallina, Joe vedrà quattro contributi:

Il primo contributo è quello che accelera la pallina rispetto al Sistema di Riferimento rotante di Moe. Entrambi gli osservatori concordano sull’intensità della forza necessaria (Seconda Legge di Newton).
Dal punto di vista di Joe, il riferimento A non è semplicemente in movimento, ma la direzione della sua velocità varia continuamente. Variare continuamente questa velocità richiede una forza. Vista da Moe, questa è la forza necessaria per bilanciare la forza centrifuga, come discusso in precedenza.
La velocità del riferimento B è diversa da quella del riferimento A. La pallina, quando viene spostata lungo il percorso da A verso B, è soggetta ad una forza che la porti a variare la sua velocità da quella del riferimento A fino a uguagliare quella del riferimento B.
La velocità della pallina relativa ai riferimenti è anch’essa una velocità la cui direzione varia in continuazione per la rotazione della tavola. Questa variazione di velocità richiede anch’esso una forza.

Dal punto di vista "rotante" di Moe, possiamo dire:

Questo contributo "F=ma"' è assolutamente prevedibile. E’ indipendente dalla posizione, indipendente dalla velocità ed indipendente dalla velocità di rotazione della tavola.
La forza centrifuga dipende dalla posizione, ed è indipendente dalla velocità misurata da Moe relativamente al suo sistema rotante e da qualunque accelerazione generata dall’auto di Moe. La forza centrifuga è proporzionale al quadrato della velocità di rotazione della tavola.
Questo contributo è indipendente dalla posizione. È proporzionale alla velocità misurata da Moe e sempre perpendicolare a questa. E’ anche proporzionale al quadrato della velocità di rotazione della tavola.
Anche questo contributo è indipendente dalla posizione. Ed anche questo contributo è proporzionale alla velocità relativa alla tavola rotante (cioè quella misurata da Moe), perpendicolare ad essa e proporzionale al quadrato della velocità di rotazione della tavola rotante.

I contributo #3 è numericamente uguale al contributo #4. L’effetto finale è perfettamente analogo ed entrambi questi contributi vengono chiamati Effetto di Coriolis.³

L’Effetto di Coriolis può essere descritto come un’accelerazione (proporzionale alla velocità dell’oggetto), ed analogamente può essere descritto come una forza (proporzionale al momento dell’oggetto).

Consideriamo un riferimento posto su di un pianeta in rotazione verso Est come la Terra. Nei paraggi del Polo Nord, l’accelerazione di Coriolis è sempre rivolta verso destra, se si è orientati nel verso del moto. Uno spostamento verso Nord provoca una accelerazione di Coriolis diretta verso Est, e quindi è necessario opporre una forza verso Ovest se si vuole seguire una linea rettilinea verniciata sulla Terra. Analogamente, uno spostamento verso Est provoca una accelerazione di Coriolis verso Sud, ed è quindi necessario opporre una forza diretta verso Nord.

L’effetto di Coriolis si applica solo nel caso di moto sul piano di rotazione. Nel caso di moto parallelo all’asse di rotazione, l’effetto di Coriolis non è applicabile. In tutti i casi, l’accelerazione di Coriolis giace sul piano di rotazione in direzione perpendicolare al moto.

Nei paraggi dell’equatore, bisogna fare attenzione dato che il piano di rotazione non è orizzontale. In questa regione, uno spostamento verso Est provoca una accelerazione di Coriolis rivolta verso l’alto, mentre uno spostamento verso Ovest provoca una accelerazione di Coriolis rivolta verso il basso. In questa regione, spostamenti in direzione Nord/Sud sono paralleli all’asse di rotazione e quindi non provocano alcun effetto di Coriolis.

Per riassumere: l’effetto di Coriolis e le forze centrifughe sono due contributi distinti. L’effetto di Coriolis si applica solo agli oggetti in movimento relativo in un sistemo di riferimento rotante. Le forze centrifughe interessano tutti gli oggetti posti in un sistema rotante, sia che questi siano in quiete o in movimento.

* Intensità dell’Effetto

Supponiamo di essere in un aeroplano in volo rettilineo a 120 nodi di velocità, lungo il percorso più breve tra due punti della superficie terrestre. A causa della rotazione della Terra, l’aereo sarà soggetto ad una accelerazione di Coriolis di intensità pari a circa 0.001G. Questa accelerazione è troppo piccola per essere misurabile o avvertibile.

Supponiamo adesso di trovarci a 60 piedi di distanza da un amico, giocando a pallone all’interno del vano di carico di un aereo Cargo in virata a rateo costante di 3°/sec. Se l’amico ci tirasse la palla a 60 mph, questa sarà soggetta ad una accelerazione di Coriolis maggiore di 0,25 G. Ciò significa che la palla devierà lateralmente di circa 2 piedi — abbastanza per essere apprezzato. In condizioni di volo ordinarie, comunque, non è lanciarsi oggetti a distanze tali da generare effetti di Coriolis apprezzabili.

Il vento, nel suo moto relativo alla Terra, è soggetto ad una accelerazione di Coriolis piccola ma costante. L’effetto risultante è terribilmente importante, come discusso nel paragrafo 20.1.

19.4 Forze Centrifughe con e senza effetto Gravitazionale

19.4.1 Il Campo delle Forze Centrifughe

Un aeroplano in virata, soprattutto se accentuata, si comporta come una centrifuga. Ci sono profonde analogie tra il Campo delle Forze Centrifughe ed il Campo delle Forze Gravitazionali:

Il Campo Gravitazionale è una accelerazione che viene applicata in ogni suo punto. Agisce su tutti i corpi con una forza proporzionale alla loro massa.

Il Campo Centrifugo è anch’esso una accelerazione che viene applicata in ogni suo punto. Anch’esso agisce su tutti i corpi con una forza proporzionale alla loro massa.

Ad essere precisi, né il Campo Gravitazionale né il Campo Centrifugo è un "Campo di Forze". Essi sono in effetti "Campi di Accelerazioni". Naturalmente, ci sono forze in ballo, ma sono forze per unità di massa, cioè accelerazioni.

Il Principio di Equivalenza di Einstein dice che in ogni punto il Campo Gravitazionale è equivalente ad una accelerazione del riferimento.⁴ In un perfettamente libero, sia esso perché in caduta libera o perché orbitante nello spazio, qualunque corpo è senza peso.

Il mio laboratorio non è un riferimento in caduta libera. Le stelle mostrano che è la Terra a spingere sulle sue fondamenta. Prendendo come riferimento le sue pareti, potremmo valutare l’accelerazione di gravità.

Analogamente, l’interno di una centrifuga non è un riferimento inerziale. Anche in questo caso, prendendo come riferimento le sue pareti, potremo apprezzare l’accelerazione gravitazionale.

Secondo la Fisica moderna, sia la Forza di Gravità che le Forze Centrifughe sono una conseguenza del fatto che ci troviamo in un sistema di riferimento soggetto ad accelerazioni.

Per un osservatore a terra che analizza il volo di un aeroplano, può essere conveniente utilizzare un Sistema si Riferimento dove esistano le forze di Gravità, ma non quelle Centrifughe. Analogamente, il pilota ed i passeggeri troverebbero più conveniente usare un Sistema si Riferimento che includa sia le forze di Gravità che quelle Centrifughe.

Il Campo di Forze Centrifughe, al pari del Campo di Forze Gravitazionali, è un artificio che ci permette di valutare esattamente gli effetti dovuti al fatto che ci troviamo ad operare in un Sistemo di Riferimento non inerziale.

19.4.2 La Centrifuga

Per meglio comprendere l’equilibrio delle forze agenti in un aereo in virata e/o derapata, prendiamo in esame la centrifuga mostrata in figura 19.1. Per ora, trascureremo l’effetto della gravità; immaginiamo che questa centrifuga operi in un ambiente senza peso oppure su di una stazione orbitante. Supponiamo di avere un osservatore all’interno della centrifuga, mostrata in rosso, e che questo lasci andare una pallina da tennis verde quando transita per il punto A (il punto più basso della nostra traiettoria). La pallina volerà via libera, mentre l’osservatore proseguirà il suo moto circolare.

Figura 19.1: Oggetto in partenza dalla centrifuga

Caso 1a: Fenomeno osservato da un Riferimento Inerziale (osservatore esterno, non in centrifuga). La pallina da tennis parte con una traiettoria rettilinea, in accordo con la Prima Legge del Moto. La traiettoria rettilinea non è radiale, ma è tangenziale, diretta verso destra.

Caso 1b: Fenomeno osservato da un Riferimento non Inerziale (osservatore posto sulla centrifuga). Nel punto A, la pallina è in quiete. In un primo momento, la pallina prosegue con l’osservatore, poi comincia a deviare gradualmente. L’osservatore vede la pallina accelerare via in direzione radiale. Per lui la pallina, così come qualunque altro oggetto a bordo della centrifuga, è soggetta ad un campo di accelerazioni centrifugo.

Il principio di equivalenza di Einstein dice che i due punti di vista sono ugualmente validi. L’osservatore esterno dice che la centrifuga ed i suoi occupanti sono accelerati via dalla pallina che si muove di moto rettilineo uniforme, mentre l’osservatore sulla centrifuga dice che la pallina viene accelerata via dal campo centrifugo.

Ma attenzione: non è possibile mixare le due versioni dei fatti. Sarebbe infatti completamente errato se l’osservatore esterno dicesse "l’osservatore sulla centrifuga mi ha detto che la pallina ha accelerato verso l’esterno; quindi deve muoversi verso il basso partendo dal punto A"'. Infatti, la pallina, un volta libera, non accelera rispetto all’osservatore esterno. E la sua traiettoria non è verso il basso. La pallina ha infatti deviato verso il basso rispetto all’osservatore sulla centrifuga, ma solo perché l’osservatore è stato accelerato verso l’alto.

Caso 2a: Consideriamo adesso una pallina ancora nella scatola a bordo della centrifuga, osservata da un Riferimento Inerziale (osservatore esterno, non in centrifuga). L’osservatore vede la pallina soggetta ad una forza non equilibrata, che la porta a muoversi lungo una traiettoria non rettilinea rispetto alla Terra.

Caso 2b: Consideriamo adesso una pallina ancora nella scatola a bordo della centrifuga, osservato da un Riferimento non Inerziale (osservatore posto sulla centrifuga). La forza esercitata dalla scatola sulla pallina è tale da equilibrare la forza centrifuga, in modo che la pallina resti in quiete.

Quando si analizza un moto non-stazionario, o quando si calcola il moto della centrifuga stessa, è spesso più semplice valutare tutto dal punto di vista di un osservatore esterno, posto su di un Sistema di Riferimento Inerziale, dove il campo centrifugo non compare. Analogamente, nel caso di un moto rotatorio uniforme, spesso conviene valutare tutto dal punto di vista di un osservatore posto sulla centrifuga; per lui tutti gli oggetti sono soggetti all’accelerazione centrifuga.

19.4.3 Centrifuga e Gravità

Capito il fenomeno base, vediamo cosa succede quando la centrifuga opera nel campo gravitazionale della Terra. Questo è mostrati in figura 19.2. Quando la pallina lascia la centrifuga, essa si muove ancora verso destra, ma adesso viene anche accelerata verso il basso dalla forza di gravità.

Figura 19.2: Oggetto in partenza dalla centrifuga, con gravità

Anche qui, un osservatore posto sulla centrifuga vedrà la pallina accelerare inizialmente in direzione radiale. Questo non è un caso; è perché la sola differenza tra il moto dell’osservatore e quello libero della pallina è dovuto alla forza (centripeta) cui è soggetto l’osservatore.

(Quanto detto vale solo per l’accelerazione iniziale della pallina. Appena essa prende una velocità apprezzabile rispetto all’osservatore, dobbiamo aggiungere alla accelerazione centrifuga l’accelerazione di Coriolis.)

Ricorda, il principio di equivalenza dice che in ogni punto dello spazio, non è possibile distinguere un campo gravitazionale da un Sistema di Riferimento accelerato (non-inerziale). Quindi non ci interessa sapere se la pallina si allontana perché è l’osservatore ad essere accelerato via, o perché è soggetta al campo gravitazionale di un pianeta nei paraggi, o entrambi i casi.

19.5 Effetti Centrifughi in un Aeroplano in virata

Esaminiamo adesso le forze avvertite dal pilota di un aeroplano in virata. Iniziamo con il caso di una virata coordinata, come mostrato in figura 19.3.

Figura 19.3: Aeroplano in virata coordinata

In figure come questa, ogni volta che vengano valutate le cose dal punto di vista del pilota, la figura includerà un rettangolo con un omino (l’osservatore) nell’angolo. E’ importante specificare attentamente il Sistema di Riferimento usato, perché anche semplici domande come "dov’è il basso?" hanno risposte che dipendono dall’osservatore a cui la domanda era stata fatta. In particolare, definiamo N-down la direzione dritta giù verso il centro della Terra. Al contrario, definiamo E-down la direzione in cui una particella partirebbe se lasciata libera. In un aeroplano in virata, le due direzioni non coincidono.

Usando l’orecchio interno, il fondo schiena e/o l’inclinometro, riusciamo a valutare in quale direzione sia E-down. Usando l’orizzonte naturale e/o l’orizzonte artificiale, riusciamo a valutare in quale direzione sia N-down.

In figura 19.3, supponiamo che la massa dell’aereo sia una tonnellata. La gravità esercita una forza di una tonnellata, diretta verso il centro della Terra. L’aereo è in una virata coordinata a 45°, quindi c’è una tonnellata di forza centrifuga, parallela all’orizzonte terrestre. Nel complesso, le ali esercitano una portanza pari a 1,41 tonnellate, orientata come in figura.

Figura 19.4: Inclinometro in una Virata Coordinata

Figura 19.4 mostra la medesima situazione, ed analizza le forze agenti sulla pallina dell’inclinometro. La gravità esercita sulla pallina una forza verticale, mentre la forza centrifuga esercita una forza laterale. La pista che contiene la pallina esercita sulla pallina una forza perpendicolare alle pareti della pista (ammesso che la pallina sia libera di muoversi lungo la pista). La forza esercitata dalla pista bilancia le altre forze quando la pallina è al centro, confermando che l’aereo sta effettuando una virata coordinata.

Analogamente, consideriamo figura 19.5, che mostra cosa succede in una virata derapata (Boat Turn). Le virate derapate sono trattate in sezione 8.10.

Siccome è in virata, l’aereo e qualunque oggetto a bordo sono soggetti alla accelerazione centrifuga (come nel caso degli osservatori in centrifuga).

Figura 19.5: Aeroplano in Virata Derapata (Boat Turn)

Figura 19.6 mostra come la pallina dell’inclinometro reagisce ad una virata derapata (Boat Turn). La gravità continua ad esercitare una forza sulla pallina, diretta verso il basso. La forza centrifuga è diretta lateralmente, esternamente alla curva. La forza esercitata dalla pista sulla pallina è diretta sempre perpendicolarmente alle pareti della pista. Per la pallina, l’unica posizione di equilibrio tra la forza di gravità, la forza centrifuga e la reazione esercitata dalla pista è quella mostrata in figura. La pallina è stata "centrifugata" verso l’esterno della curva. Questa è una indicazione che la direzione E-down non è perpendicolare alle ali, e che sull’aereo stanno agendo alcune forze oltre alla portanza generata dalle ali.

Figura 19.6: Inclinometro in una Virata Derapata (Boat Turn)

Figura 19.7: Aeroplano in Volo Scivolato (ordinary nonturning slip)

Figura 19.8: Inclinometro in Volo Scivolato (ordinary nonturning slip)

Infine, figura 19.7 mostra le forze agenti su di un aeroplano in volo scivolato (ordinary nonturning slip). Il pedale destro è azionato a fondo, l’ala sinistra è stata abbassata in modo che la componente orizzontale della portanza così creata possa bilanciare la forza orizzontale esercitata dal vento trasversale sulla fusoliera. L’aereo non sta virando. Gli osservatori a terra e sull’aereo concordano sul fatto che non esiste un campo centrifugo. Figura 19.8 mostra le forze agenti sulla pallina dell’inclinometro in questa situazione.

19.6 Angoli ed Assi

19.6.1 Assi: Imbardata, Beccheggio, Rollio (yaw, pitch, roll)

La definizione di derapata, imbardata e rollio è mostrata in figura 19.9.

Figura 19.9: Assi di Imbardata, Beccheggio e Rollio

In passato, la letteratura si riferiva all’asse di beccheggio con asse trasversale ed all’asse di rollio con asse longitudinale. Questo può sembrare ragionevole ma, quando si chiama stabilità longitudinale la stabilità al beccheggio e stabilità laterale la stabilità al rollio, le definizioni si invertono e diventano fonte di confusione. Riferimento 22 chiama asse normale l’asse di imbardata, dato che questo è normale (cioè perpendicolare) agli altri assi — ma ciò non è di grande aiuto dato che tutti gli assi sono normali tra di loro. Altri lo stesso asse lo chiamano asse verticale, ma questa definizione porta a cattive interpretazioni, dato che se gli assi di beccheggio o di rollio non sono orizzontali, l’asse di imbardata non sarà verticale.

Ovviamente, la nuova terminologia porta un miglioramento. La situazione è riassunte nella tabella seguente.

Terminologia di questo libro		Vecchia Terminologia

asse di beccheggio		asse trasversale
stabilità sull’asse di beccheggio		stabilità longitudinale
asse di rollio		asse longitudinale
stabilità sull’asse di rollio		stabilità laterale
asse di imbardata		asse verticale
stabilità sull’asse di imbardata		stabilità direzionale

19.6.2 Assetto: Prua, Assetto, Inclinazione (Heading, Pitch, Bank)

Il termine assetto descrive l’orientamento degli assi dell’aereo rispetto alla Terra. L’assetto è definito da tre angoli: l’angolo di prua, l’angolo di assetto e l’angolo di inclinazione.

Per posizionare l’aereo in un determinato assetto, partendo da un aereo in volo livellato (cioè con gli assi X e Y orizzontali) e con la prua rivolta a Nord. Quindi:

Si rota l’aeroplano attorno al suo asse di imbardata di un angolo pari all’angolo di prua specificato. Un angolo positivo corrisponde ad una rotazione in senso orario visto dall’alto, in modo che un angolo di prua di 090° corrisponde ad una prua ad Est, ed un angolo di prua di 180° corrisponde ad una prua ad Sud.
Si rota l’aeroplano attorno al suo asse di beccheggio di un angolo pari all’angolo di assetto specificato. Un angolo positivo corrisponde ad un assetto a muso in su.
Si rota l’aeroplano attorno al suo asse di rollio di un angolo pari all’angolo di inclinazione specificato. Un angolo positivo corrisponde ad una rotazione in senso orario visto da dietro.

Come discusso in seguito (sezione 19.6.4), è importante operare queste rotazioni nell’ordine specificato.

Abbiamo visto come, dato un set di tre angoli, sia possibile definire l’assetto di un aeroplano. Adesso consideriamo il caso inverso: dato l’assetto di un aeroplano, come si determinano i tre angoli che descrivono tale assetto?

Risposta: immaginate semplicemente di riportare l’aeroplano in un assetto di volo livellato e diretto a Nord. Le rotazioni devono essere effettuate nell’ordine inverso a quello specificato in precedenza:

Primo, rotare l’aereo attorno al suo asse di rollio fino a livellare le ali. Questo determina l’angolo di inclinazione.
Secondo, rotare l’aereo attorno al suo asse di beccheggio fino a rendere orizzontale l’asse X. Questo determina l’angolo di assetto. Nota che questa rotazione non avviene attorno l’asse di beccheggio originale, ma attorno al nuovo asse di beccheggio orizzontale in seguito alla rotazione effettuata nel passo precedente.
Terzo, rotare l’aereo attorno al suo asse di imbardata fino a volgere la prua a Nord. Questo determina l’angolo di prua.

19.6.3 Angoli di Assetto: Terminologia

La seguente tabella riassume i nomi e verbi relativi agli angoli ed alle rotazioni attorno ai tre assi.

	asse Z	asse Y	asse X
Rotazione	imbardata	beccheggio	rollio
Angolo	prua	assetto	inclinazione

* Altri Angoli

L’angolo di attacco è l’angolo tra la proiezione sul piano XZ del vento relativo e l’asse X dell’aeroplano (o un altro riferimento opportuno).

L’angolo di scivolata è l’angolo tra la proiezione sul piano XY del vento relativo e l’asse X dell’aeroplano.

Alcuni testi di aerodinamica adottano il termine angolo di scivolata laterale. Ciò potrebbe causare della confusione perché i testi di pilotaggio avanzato fanno distinzione tra scivolata in avanti e scivolata laterale (anche se tra le due non c’è alcuna differenza) come discusso con figura 11.1.

19.6.4 Imbardata ed Assetto (Yaw Does Not Commute with Pitch)

E’ una verità della geometria il fatto che la somma di una serie di rotazioni dipende dall’ordine in cui queste rotazioni sono effettuate.

E’ da dire che in una serie di movimenti non rotatori, l’ordine non conta. Infatti, supponiamo di avere due oggetti che, partendo dallo stesso punto, vengano spostati. Spostiamo il primo oggetto prima di 2m verso Nord e poi 3m verso Ovest. Quindi operiamo sul secondo oggetto gli stessi spostamenti ma in ordine inverso, cioè prima 3m verso Ovest e poi 2m verso Nord. Se non ci sono ostacoli, i due oggetti si troveranno nel medesimo posto. L’ordine con cui ho effettuato questi spostamenti non è influente sul risultato finale.

Gli angoli, invece, non seguono le stesse regole delle distanze. Per esempio, è possibile variare la prua, per esempio di 37°, anche senza virare. Ci sono due modi:

Dopo aver iniziato una salita verticale, usando gli alettoni rotiamo l’aereo di 37° attorno l’asse di rollio, ed infine riportiamo l’aereo in volo livellato.
Dopo aver rotato l’aereo di 90° attorno l’asse di rollio, variamo l’assetto dell’aereo rotando di 37° attorno all’asse di beccheggio (ora verticale), ed infine rotiamo nuovamente l’aereo di 90° per livellare le ali.

Se l’aereo (ed i suoi occupanti) può sopportare elevati carichi, queste manovre sono assolutamente accettabili per operare virate strette ad alta velocità.

Per aerei non-acrobatici, va applicata una definizione più moderata: una rotazione nel piano orizzontale non è una pura imbardata se l’aereo non è in assetto orizzontale (cioè con assetto ed inclinazione nulli). Per esempio, supponiamo di essere in volo livellato durante una virata a sinistra. Ciò significa che l’aereo sta rotando attorno al suo asse di imbardata, che è diretto verso il centro della Terra. Supponiamo adesso di essere in volo livellato, ma con un angolo di assetto non nullo, ma positivo. Ciò significa che l’asse di imbardata non è più verticale. In questo caso, sarebbe possibile effettuare la virata livellando l’assetto abbassando il muso, imbardando dell’angolo richiesto ed infine rialzando il muso all’assetto originario. Ma dato che le rotazioni non sono sommabili, operando solo una imbardata senza livellare prima l’assetto porterebbe alla necessità di livellare le ali con un leggero rollio in senso orario.

Queste considerazioni sono esatte al 100%, ma totalmente irrilevanti durante il normale pilotaggio. ⁵ In particolare, la rotazione attorno all’asse di rollio non porta a modifiche degli angoli di attacco delle due ali. Discutere sul fatto che una variazione di prua sia una pura imbardata oppure una composizione di imbardata e rollio, è come discutere sul bicchiere d’acqua mezzo vuoto o mezzo pieno — in realtà sono la stessa cosa. In questo caso, la realtà è semplice: l’ala interna (sinistra) segue na traiettoria circolare orizzontale, mentre quella esterna (destra) segue anch’essa una traiettoria circolare orizzontale ma leggermente più lunga.

E’ facile capire il perché: la virata richiede una rotazione attorno all’asse verticale. Tale rotazione muove tutto orizzontalmente, e quindi possono cambiare le velocità ma non gli angoli di attacco flusso che investe le due ali.

Supponiamo adesso di effettuare una virata a sinistra durante una salita.

Supponiamo anche che l’asse di imbardata sia perpendicolare alla direzione del volo, l’asse di beccheggio orizzontale e l’asse di rollio parallelo alla direzione di volo, cioè senza scivolata.

Durante la virata in volo livellato, la prua dell’aereo cambia. E’ una rotazione attorno ad un asse perfettamente verticale. Durante una salita, l’asse di imbardata non è più verticale, quindi la virata non è più una semplice imbardata. La virata infatti porta adesso l’ala interna a spostarsi verso dietro ed in basso. Quindi per variare la prua mantenendo l’assetto e l’inclinazione invariati, dovrò combinare una imbardata a sinistra con un rollio verso destra, in senso orario.

Questo rollio è dovuto al fatto che (a parità di condizioni) l’ala esterna volerebbe con un angolo di attacco inferiore durante una virata in salita, e che quindi produrrebbe meno portanza. Di conseguenza è necessario compensare la portanza delle ali tramite gli alettoni.

Si è detto "produrrebbe" e non "produce" perché, bilanciando con gli alettoni, entrambe le ali di fatto producono la stessa portanza. Infatti, a causa del movimento di rollio, l’aria investe le due ali con angoli attacco diversi. Gli alettoni sono quindi utilizzati non per creare una differenza di portanza, ma per evitare che venga creata una differenza di portanza.

Anche se il valore della portanza resta invariato, la sua direzione è mutata, come discusso in sezione 8.8.4; in particolare figura 8.7. Dovremo usare il timone per compensare la tendenza all’imbardata: pedaliera a destra per barra a destra, pedaliera a sinistra per barra a sinistra.

In una virata in salita, l’effetto della differenza di direzione del flusso d’aria che investe le due ali si somma alla differente velocità delle due ali, creando una forte tendenza al rollio della medesima direzione della virata. Nel caso di una virata in discesa, l’effetto della differenza di direzione del flusso d’aria si oppone all’effetto delle velocità. In vite, la differenza delle velocità è un fattore fondamentale, come discusso in sezione 18.6.1, ed in figura 18.6. Anche la sezione 9.7 analizza le virate in salita ed in discesa in termini leggermente diversi, facendo un esempio numerico.

19.6.5 Imbardata ed Inclinazione (Yaw Does Not Commute with Bank)

Come detto nel paragrafo precedente, una rotazione nel piano orizzontale non è una semplice imbardata se l’aereo non è in assetto orizzontale. Nel paragrafo precedente abbiamo valutato le conseguenze nel caso di assetto non orizzontale, ma la stessa logica può essere applicata anche al caso di inclinazione non livellata. Questo caso è in un certo senso più rilevante, dato che normalmente una virata porta ad una variazione di inclinazione, più che di assetto.

Si potrebbe effettuare la virata richiesta portando a zero l’inclinazione, operando una pura imbardata ed infine riportando l’inclinazione al valore di partenza. Questo processo non è equivalente all’operare una pura imbardata mantenendo l’inclinazione costante. Per piccoli angoli di inclinazione, la virata ad inclinazione costante è principalmente una pura imbardata, ma richiederà anche una rotazione attorno all’asse di beccheggio. A causa di questo beccheggio, il vento relativo investe le ali e ed il timone ad angolazioni diverse. Sarà necessario tirare leggermente la barra per compensare. Questa trazione è da sommare alla trazione che sarà necessaria per controllare la velocità durante la virata. I due fenomeni sono nettamente distinti: supponiamo di mantenere un assetto costante durante la virata, in modo da ottenere l’incremento di portanza necessario con un incremento di velocità piuttosto che con un incremento dell’angolo di attacco. Sarà ancora necessario applicare un po’ di trazione alla barra, per la non sovrapponibilità delle rotazioni.

19.7 Coppia e Momento

Come la Prima Legge di Newton dice che per mettere in moto un oggetto bisogna applicare una forza, c’è una legge analoga che dice che per mettere in rotazione un oggetto è necessaria una coppia.

Potreste aver già sentito parlare di "coppia" in relazione alla tendenza a tirare verso destra degli aerei in decollo, e potreste aver sentito la parola "momento" in relazione a problemi di pesi e bilanciamenti. In effetti, "coppia" e "momento" sono due nomi di una stessa cosa. In particolare,

Un momento di rollio è una coppia attorno all’asse di rollio.
Un momento di beccheggio è una coppia attorno all’asse di beccheggio.
Un momento di imbardata è una coppia attorno all’asse di imbardata.

Un esempio: il carburante ed il carico causano un momento di beccheggio che dipende dal loro posizionamento longitudinale. Analogamente, genereranno un momento di rollio se saranno caricati asimmetricamente verso destra o verso sinistra.

Un altro esempio: gli effetti giroscopici possono generare una coppia attorno all’asse di imbardata . Allo stesso modo, essi possono causare una coppia attorno all’asse di beccheggio.

I termini "coppia" e "momento" vengono quindi usati indifferentemente.

La coppia non è una forza. Delle due, il concetto di forza ci è più familiare perché è ciò che riusciamo ad esercitare con una semplice spinta o trazione. La forza si misura in Newton o Libbre (N o lb).

Per applicare una coppia, abbiamo bisogno di una forza e di una leva. La coppia è calcolata dalla seguente formula:

coppia

= forza × braccio di leva (19.2)

Dove per braccio di leva si intende la distanza tra la retta di azione della forza ed il centro di rotazione ⁶.

La coppia si misura in Newton x metro⁸ (Nm), oppure in Libbre x piedi (ftLb). Figura 19.10 mostra una situazione in cui tutte le forze e coppie sono bilanciate. Infatti, sulla destra della barra agiscono tre molle per 30 Libbre complessive. Sulla sinistra, ci sono due molle da 20 Libbre ognuna ed una terza molla da 10 Libbre. La somma delle forze agenti verso destra bilancia la somma delle forze agenti verso sinistra.

Figura 19.10: Forze e Coppia in equilibrio

La verifica del bilanciamento delle coppie richiede un ulteriore calcolo. Scegliamo come cerniera il punto "x". La forza verso destra non genera alcuna coppia, dato che essa agisce sulla cerniera — quindi ha braccio nullo. Le due molle generano una coppia in senso antiorario, mentre la molla singola genera una coppia in senso orario della stessa intensità perché, anche se la forza di questa molla è la metà, essa ha un braccio di leva doppio. Anche le coppie si annullano. Il sistema è in equilibrio.

Figura 19.11: Forze in equilibrio ma Coppie NON in equilibrio

Figura 19.11 mostra una diversa condizione. Le forze sono in equilibrio (20 Libbre a destra, 20 Libbre a sinistra) ma le coppie non sono in equilibrio. Una delle forze dirette verso sinistra ha un braccio di leva doppio, quindi genera una coppia in senso orario. In questo sistema, la barra inizierebbe a ruotare in senso orario. Il sistema non è in equilibrio.

La coppia è un vettore che quindi ha una direzione ed una intensità. Una coppia attorno ad un certo asse è rappresentata da un vettore di coppia posto lungo tale asse. In particolare, la coppia in senso orario in figura 19.11 è rappresentata da un vettore perpendicolare al foglio, in diretto ad allontanarsi dal lettore.

19.8 Momento Angolare

Il concetto di momento angolare è fondamentale per la comprensione degli oggetti rotanti.

Il momento angolare sta al momento come la coppia sta alla forza. Riassumendo le analogie:

Moto rettilineo

Moto angolare

Forza

Coppia (forza x braccio di leva)

Momento

Momento angolare (momento x braccio di leva)

Il momento di un sistema non cambia a meno di applicare una forza.

Il momento angolare di un sistema non cambia a meno di applicare una coppia.

La variazione di momento di un sistema è pari alla forza per il tempo di applicazione della forza stessa.

La variazione di momento angolare di un sistema è pari alla coppia per il tempo di applicazione della coppia stessa.

Per visualizzare il principio di conservazione del momento angolare, in figura 19.12 si è legato un filo ad un sacchetto e lo si fa roteare. Quando si tira l’estremo libero del filo, riducendo il raggio della traiettoria circolare, il sacchetto accelera. Rilasciando il filo, quindi incrementando il raggio della traiettoria circolare, la velocità di rotazione del sacchetto diminuisce.

Figura 19.12: Conservazione del Momento Angolare

In questo esempio, ci sarà un piccolo effetto dovuto alla coppia di attrito che rallenterà il sacchetto indipendentemente dalla lunghezza del filo, ma se l’esperimento viene fatto abbastanza velocemente, questa coppia potrà essere trascurata, ed il momento angolare del sistema potrà essere ritenuto costante. Quindi, se accorciamo il braccio di un fattore N, il momento rettilineo dovrà aumentare dello stesso fattore N, visto che il loro prodotto (cioè il momento angolare) non varia.⁷

Dato che la velocità tangenziale aumenta di un fattore N, e che il braccio diminuisce di un fattore N, la velocità di rotazione (angoli al secondo) aumenta di un fattore N².

L’energia del sistema aumenta anch’essa aumenta di un fattore N². Questa energia viene fornita al sistema nel momento in cui il filo viene tirato, agento contro la sua tensione.

Finora abbiamo analizzato la situazione dal punto di vista di un osservatore esterno, posto su di un Sistema di Riferimento non rotante. Analizzando il sistema da un Sistema di Riferimento anch’esso in rotazione, come il caso di una formica che viaggia sul sacchetto rotante, si giunge alle medesime conclusioni. La formica direbbe che quando il filo viene ritirato, il sacchetto accelera lateralmente a causa della forza di Coriolis, come discusso in sezione 19.3.

Il principio di conservazione del momento angolare si applica anche agli aeroplani. Per esempio, un aereo in una vite piatta, come discusso in sezione 18.6.4. Per uscire dalla vite, è necessario spingere giù il muso dell’aereo. Questo perché così facendo si porta il muso e la coda dell’aereo più vicino all’asse di rotazione. Dato che il momento angolare resta costante, la velocità di rotazione aumenta. Anche se questo potrebbe apparire controproducente, bisogna insistere ad abbassare il muso dell’aereo, perché le resistenze aerodinamiche faranno diminuire il momento angolare e la rotazione rallenterà.

Il momento angolare è un vettore; esso ha quindi un valore ed una direzione. Il vettore momento angolare è diretto secondo l’asse di rotazione ⁸. In particolare, il momento angolare dell’elica di un aereo, in rotazione in verso orario visto da dietro, è diretto in avanti, lungo l’asse di rotazione.

19.9 Giroscopio

19.9.1 Precessione

Una forza applicata ad ogni oggetto comune porterà ad uno spostamento nella direzione della forza. Si è talmente abituati a questo fenomeno che si tende a dimenticare che forza e spostamento non sono esattamente la stessa cosa, e che non sono sempre collegati.

Nel caso del giroscopio, ad esempio, se si applica una coppia attorno ad un asse, esso risponderà con uno spostamento attorno ad un altro asse. Nel corso delle mie lezioni su "See How It Flies", mi porto dietro una ruota di bicicletta con le manopole, come quella mostrata in figura 19.13. Il senso di rotazione indicato corrisponde al comune senso di rotazione dei motori ad elica americani, quando il muso dell’aereo è diretto verso la sinistra del diagramma.

Figura 19.13: Ruota di bicicletta con manopole

Per dimostrare il funzionamento di un giroscopio, mi posiziono dietro "l’elica" (sulla destra in figura) mantenendo la ruota dalla manopola posteriore. La forza di gravità agisce sul baricentro dell’elica, con una coppia di beccheggio che porta il muso a picchiare. Se l’elica fosse un qualunque oggetto non rotante, questo sarebbe il suo effetto sull’equilibro dell’aereo; ma l’effetto giroscopico porta una coppia d’imbardata. Per riuscire a restare dietro l’elica, dovrò virare continuamente sulla mia sinistra.

E’ sorprendente il fatto che l’elica non tenda ad abbassare il muso. Anche applicando una coppia di beccheggio a picchiare, l’elica non permette di abbassare il muso, ma ad imbardare.

Figura 19.14: Precessione Giroscopica

Questo fenomeno, la risposta di un giroscopio ad una coppia su di un asse con uno spostamento secondo un asse diverso, e chiamato precessione giroscopica.

La precessione è spesso avvertibile nel momento in cui un aereo solleva la coda all’inizio della corsa di decollo. Se l’aereo non avesse elementi rotanti, sarebbe possibile sollevare la coda con l’ausilio dei soli piani di coda. Ma dato che il flusso d’aria sui piani di coda non sposta in effetti l’aereo, ma genera una coppia di beccheggio (a picchiare in questo caso). Per l’effetto giroscopico, una applicata lungo l’asse di beccheggio produce un movimento di rotazione attorno all’asse di imbardata. Quindi, nel momento in cui si solleva la coda di un aereo utilizzando i soli piani di coda, si avrà una imbardata a sinistra a causa della precessione.

Per far rotare un giroscopio attorno all’asse di beccheggio, so dovrà applicare una coppia attorno all’asse di imbardata — usando il timone.

Logicamente, un aeroplano ha un bel po’ di massa non rotante che va aggiunta alle considerazioni di sopra. Quindi, al fine di sollevare questa massa, sarà necessario l’utilizzo dei piani di coda. Di conseguenza, il sollevare la coda richiederà l’utilizzo sia dei piani di coda che del timone — i piani di coda per modificare il beccheggio della massa del velivolo, il timone per modificare il beccheggio del giroscopio.

19.9.2 La Coppia precede di 90° la Rotazione

Ora che sappiamo che una coppia di beccheggio genera un’imbardata, potremmo chiederci "in quale direzione?". L’imbardata sarà verso destra oppure verso sinistra? Esiste una semplice regola: l’asse di applicazione della coppia precederà di 90° l’asse della rotazione.⁹ Un esempio di applicazione di questa regola è mostrato in figura 19.15.

Figura 19.15: La Coppia applicata precede di 90° la Rotazione

Spingendo in avanti la barra, la coppia a picchiare che ne risulta sarà diretta come le dita della mano in figura 19.15(a).¹⁰

Rotiamo la mano di 90° nel verso di rotazione dell’elica. Le dita adesso indicato il verso della rotazione di precessione, mostrato in figura 19.15(b). La prua dell’aereo si imbarderà verso sinistra.

Concludendo: una coppia a picchiare genera una imbardata a sinistra.

Un’altra applicazione di questa regola potrebbe convincerci che una imbardata a destra di timone genererà un beccheggio a picchiare.

La Coppia applicata precede di 90° la Rotazione.

A prima vista, il funzionamento del giroscopio potrebbe ricordarci l’effetto di Coriolis (forza in una direzione, spostamento in direzione ad essa perpendicolare) ma sono due fenomeni fisicamente diversi. La legge di Coriolis si applica ad oggetti in movimento rispetto ad un osservatore posto in un Sistema di Riferimento rotante. Al contrario, il principio del giroscopio si applica ad un osservatore in quiete; non ci sono parti interne del giroscopio in movimento relativo.

19.9.3 "Momento Angolare" è il concetto chiave

La precessione, e tutti gli altri effetti giroscopici discussi in questa sezione, sono diretta conseguenza delle leggi del momento angolare discusse nella sezione precedente.

Figura 19.16: Il Momento Angolare è alla base della Precessione

Figura 19.16 è uguale alla figura 19.14, ma con i vettori di coppia e di momento angolare. La coppia di beccheggio è rappresentata da un vettore diretto secondo l’asse di beccheggio — diretto verso sinistra guardando da dietro. Il momento angolare è rappresentato da un vettore diretto come l’asse di rotazione, con il verso ad allontanarsi visto che la rotazione avviene in senso orario se vista da dietro. La variazione di momento angolare è, in accordo con le leggi del moto, pari alla coppia moltiplicata per il tempo di applicazione.

La figura mostra cosa accade nell’unità di tempo (cioè un secondo). Il nuovo momento angolare è dato dalla somma vettoriale del vecchio momento angolare, più la coppia moltiplicata per il tempo. Se la coppia viene applicata per un secondo, il vettore che si somma al vecchio momento angolare è pari al vettore della coppia applicata.

Nei secondi successivi, il vettore coppia avrà una direzione diversa, perché tutto il sistema sarà rotato. Le successive variazioni porteranno il vettore momento angolare a spostarsi circolarmente.

Gli effetti giroscopici si avvertono solo quando si modifica l’orientamento dell’asse di rotazione del giroscopio. E’ possibile portare un giroscopio in direzione nord/sud, est/ovest o alto/basso senza avere alcuna precessione, fino a quando l’orientamento dell’asse di rotazione non varia.

Se avessimo un aereo molto leggero ed un’elica pesante e rotante ad alta velocità, attenzione: i piani di coda controlleranno l’imbardata ed il timone il beccheggio.

Se si vuol variare velocemente l’orientamento di un giroscopio, questo richiederà una coppia maggiore a quella necessaria per una variazione lenta.

19.9.4 Piattaforma Inerziale

Consideriamo adesso cosa succede quando un giroscopio non è soggetto a coppie di rilievo.

Supponiamo di sospendere un giroscopio con una sospensione cardanica. La sospensione cardanica supporterà il suo peso, ma non gli trasmetterà alcuna coppia, anche se l’aereo su cui questa sospensione cardanica è installata dovesse virare. Lo chiameremo un giroscopio libero, dato che è libero di non rotare con l’aereo.

Anche un piccolo giroscopio può avere un enorme momento angolare, se la sua velocità di rotazione è sufficiente. Ogni piccola coppia ad esso applicata (a causa delle immancabili imperfezioni della sospensione cardanica), nel tempo potrà variare il suo momento angolare — ma in un tempo ragionevolmente breve, la variazione sarà trascurabile rispetto al momento angolare totale.

In tale situazione, il giroscopio tenderà a mantenere lo stesso orientamento spaziale. Diremo quindi che il giroscopio è una piattaforma inerziale rispetto alle rotazioni.¹¹ Altri libri dicono che il giroscopio mostra una rigidità spaziale, ma questa è una strana espressione.

19.10 Strumenti Giroscopici

Adesso vedremo i principi di funzionamento dei tre strumenti giroscopici: l’orizzonte artificiale giroscopico (indicatore di assetto), il giroscopio direzionale (indicatore di prua), e l’indicatore di virata giroscopico (indicatore di virata o coordinatore di virata).

19.10.1 Indicatore di Prua (Heading Indicator)

Il giroscopio direzionale è un giroscopio libero. E’ quindi una piattaforma inerziale.

Il giroscopio ruota in un piano verticale, quindi il vettore momento angolare è diretto in una qualunque direzione orizzontale. Un sistema di ingranaggi misura l’orientamento di tale vettore nel piano XY ¹² e lo mostra al pilota. Ila difficoltà è nel misurare l’angolo mentre si supporta il giroscopio minimizzando le coppie accidentali agenti su di esso. Imperfezioni del meccanismo porteranno una precessione del giroscopio. Quindi periodicamente sarà necessario verificare e correggere l’indicatore di prua, tipicamente utilizzando come riferimento una bussola magnetica.

19.10.2 Orizzonte Artificiale

L’orizzonte artificiale (detto anche misuratore d’assetto) è un altro giroscopio libero. L’asse di rotazione del giroscopio è orizzontale, quindi il suo vettore momento angolare è verticale. Un sistema di ingranaggi misura l’angolo tra questo vettore ed i piani YZ (inclinazione) e XZ (assetto), e li mostra al pilota.

E’ interessante paragonare l’orizzonte giroscopico (che ci dice in quale direzione è "basso") con l’inclinometro a sfera o con il filo a piombo (che mostrano una diversa interpretazione della direzione "basso"). La differenza consiste nel fatto che il filo a piombo ci indica la direzione E-down, mentre il giroscopio è progettato per indicarci la direzione N-down, cioè in quale direzione sia in centro della Terra. Ogniqualvolta l’aeroplano è soggetto ad una accelerazione (ad esempio durante la rotazione al decollo o durante una virata), le due indicazioni sono molto diverse. Come mostrato in figura 19.17, in virata il vettore E-down viene centrifugato verso l’esterno, mentre il vettore N-down è sempre dietto verso il centro della Terra.

Figura 19.17: E-Down e N-down in Virata

In prima approssimazione, l’orizzonte giroscopico funziona semplicemente ricordando in quale direzione sia N-down. Comunque, nessun giroscopio può memorizzare in eterno, quindi lo strumento contiene un "meccanismo raddrizzante" che opera in continuazione alcune piccole correzioni. Vorremmo che questo meccanismo riuscisse ad allineare l’asse del giroscopio con N-down — ma il meccanismo non sa in quale direzione sia N-down! Esso sa in quale direzione sia E-down (come lo sa un filo a piombo), ma in accordo con il principio di equivalenza di Einstein , non può sapere quale componente di E-down sia dovuta alla gravità e quale componente all’accelerazione. Il meccanismo raddrizzante infatti devia in continuazione l’asse del giroscopio verso E-down, ma il risultato è una buona approssimazione di N-down, per i seguenti motivi: se mediamo i vettori E-down lungo una virata di 360°, il risultato sarà N-down. In figura possiamo vedere:

a volte E-down è diretto leggermente a nord di N-down,
a volte E-down è diretto leggermente a ovest di N-down,
a volte E-down è diretto leggermente a sud di N-down,
a volte E-down è diretto leggermente a est di N-down.

Se mediamo queste piccole deviazioni sull’arco di un intero giro, esse si cancellano.

* Errori dell’Orizzonte Artificiale

Naturalmente, se si compie una virata non completa, la somma delle deviazioni non è più nulla, e l’indicatore di assetto sarà impreciso per un certo tempo. Un errore analogo avviene durante il decollo, perché la stima che il giroscopio fa del "basso" viene deviata verso dietro dall’accelerazione, e di conseguenza la posizione dell’orizzonte artificiale sarà un po’ sotto l’orizzonte reale per un po’ di tempo. Il tempo di elaborazione dello strumento tipo è di circa cinque minuti. Quando gli strumenti invecchiano, il la loro memoria si abbrevia, a causa del rallentamento del giroscopio, e quindi l’errore aumenta.

19.10.3 Indicatori di Virata

Ci sono due tipi di indicatori di virata giroscopici: (a) il virometro, e (b) il coordinatore di virata, o viro-sbandometro.

In entrambi i casi, il giroscopio non è libero; è un giroscopio differenziale. Ciò significa che il suo asse di rotazione è fissato sull’aereo, senza la sospensione cardanica. Quindi cambia il suo orientamento quando l’aereo si imbarda, cioè rota attorno all’asse Z.¹³ Lo strumento misura la coppia necessaria per questa variazione di orientamento.

A volte il virometro viene montato con il suo asse parallelo all’asse Y, nel qual caso l’imbardata dell’aereo richiederà una coppia attorno all’asse X. Altri modelli hanno l’asse di rotazione nella direzione dell’asse X, nel qual caso un’imbardata richiederà una coppia attorno all’asse Y. In principio, potrebbe essere utilizzata qualunque coppia di assi del piano XY.¹⁴

La coppia necessaria è proporzionale a (a) la velocità di variazione della prua, e (b) il momento angolare del giroscopio. Quindi un accurato virometro deve rotare rigorosamente alla velocità "di progetto", né troppo piano né troppo forte (questo è in contrasto con il giroscopio direzionale e l’orizzonte artificiale giroscopico, dove il giroscopio deve semplicemente girare "abbastanza" velocemente).

Molti giroscopi differenziali usano uno stratagemma. Sono in rotazione sull’asse Y, con la parte alta del giroscopio in rotazione verso il retro. Quindi, la direzione del vettore momento angolare è nella direzione + Y. Una piccola molla permette una piccola precessione del giroscopio attorno all’asse X. In una virata a sinistra, la precessione sposterà leggermente a destra. Ciò significa che durante la virata lo spostamento dell’asse del giroscopio annulla in un qual modo l’inclinazione dell’aereo, lasciando l’asse del giroscopio più allineato con l’asse polare terrestre. Lo scopo è quello di creare uno strumento capace di misurare direttamente le variazioni di prua (rispetto all’asse polare della Terra), piuttosto che la semplice rotazione attorno all’asse Z dell’aereo. Siccome la relazione tra inclinazione e velocità di virata dipende dalla velocità del velivolo, dal fattore di carico, et cetera, questo stratagemma non può raggiungere lo scopo a meno che in alcuni casi particolari.

Il coordinatore di virata è molto simile al virometro. Esso mostra la sagoma di un aereo invece di una lancetta. La differenza principale è il coordinatore di virata è sensibile sia alla velocità di rollio che alla velocità di virata. Per realizzare tale strumento, è sufficiente inclinare un virometro alzandone il muso di 20-30°, e cambiare il quadrante.

Il vantaggio del coordinatore di virata è che ci aiuta ad anticipare le azioni necessarie in virata. Per esempio, se l’aereo ha le ali livellate ma si sta inclinando verso destra, probabilmente inizierà presto a virare verso destra, e quindi potremmo recuperare prontamente l’equilibrio lavorando di alettoni. Lo svantaggio di questo strumento si ha in turbolenza. Le turbolenze spesso portano l’aereo ad inclinarsi continuamente verso destra e verso sinistra. La velocità di rollio può essere rilevante, anche se non si raggiungono mai angoli di inclinazione molto ampi. Le turbolenze hanno un effetto minore sull’asse di imbardata. In tali condizioni, un normale virometro fornisce una indicazione più stabile ed affidabile del coordinatore di virata.

Sfortunatamente il quadro del coordinatore di virata mostra la sagoma di un aereo che si inclina a destra o a sinistra. Questo porta alcuni a credere erroneamente che lo strumento indichi l’angolo di inclinazione, il che è decisamente sbagliato.

1: Questo è comunemente espresso in termini di "azione" e "reazione uguale e contraria", ma il significato di queste parole è variato nel tempo. Oggi si usa il termine Momento.
2: Infinite discussioni vengono fatte sulla piccola riduzione di portanza che avviene in una discesa costante, in cui una parte del peso viene "sostenuta" dalla resistenza aerodinamica dell’aereo. A questo rispondo: (a) è un tecnicismo, basato sui dettagli delle definizioni delle quattro forze (definite in sezione 4.1); (b) la riduzione di portanza è trascurabile in volo normale; (c) la portanza viene ridotta nelle salite così come nelle discese — quindi questa riduzione non è alla base del moto in discesa; (d) considerando la forza totale diretta verso l’alto, non avviene alcuna riduzione.
3: E’ facile trovare spiegazioni dell’effetto di Coriolis che sovra-stimano uno dei due contributi, quindi sbagliate perché doppie del reale. Attenzione.
4: Confrontando le accelerazioni subite da due punti distanti tra loro, sarebbe possibile distinguere le variazioni di accelerazione gravitazionale, centrifuga, e lineare. Ma un aereo è talmente piccolo rispetto alla Terra ed al suo raggio di virata, che la disuniformità misurata è talmente piccola da non poter essere utilizzata in pratica per distinguere un effetto dall’altro.
5: Queste considerazioni possono avere importanza nella progettazione di un aereo o di un simulatore di volo.
6: Normalmente, non importa quale punto dell’aereo venga preso come asse di rotazione, basta che tutte le coppie vengano calcolate rispetto allo stesso punto.
7: Il sacchetto acquista il momento (o quantità di moto) e l’energia necessari attraverso il filo. Esso non può acquistare momento angolare dal filo, dato che ciò richiederebbe un braccio di leva perpendicolare alla forza, ed il filo può solo esercitare una forza ad esso parallela, quindi con braccio – e con coppia – nulli.
8: Per un oggetto in rotazione attorno al suo asse di simmetria, il momento angolare è allineato al suo asse.
9: Per "spostamento" si intende una traslazione o una rotazione dell’aereo, non la rotazione dell’elica.
10: Usando la mano destra, come mostrato, il vettore coppia è diretto come il pollice. Gli ingegneri lo chiamerebbero un momento di beccheggio negativo, dato che il vettore coppia è diretto in verso opposto alla direzione standard dell’asse di beccheggio (da sinistra a destra).
11: Una vera piattaforma inerziale non è soggetta ad alcuna accelerazione, né lineare né angolare.
12: Vedi figura 19.9 per la definizione degli assi X, Y, e Z.
13: Lo strumento non è sensibile a qualunque cambiamento di direzione della sua traiettoria, ma solo alle variazioni di prua.
14: L’orientamento degli assi X, Y, e Z e definito in figura 19.9.

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