[BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]
Il diario di BASE Cinque - 2021
29 dicembre 2021
[A58] Fiore augurale di fine anno (dal Forum)
Il venturo... è al centro.
La soluzione è moltiplicativa, ma anche additiva.
La trovate da qualche parte in questa discussione del Forum:
26 dicembre 2021
[A57] Quiz dei fiori (dal Forum)
Quiz di fine anno...
In ciascuno dei seguenti fiori, quale numero scrivereste al posto di x?
Ne abbiamo parlato sul Forum, e in conclusione questi tre quiz si risolvono con lo stesso metodo.
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Allora, il metodo è questo:
Differenza tra blu e gialli nel primo fiore =
=
Differenza tra blu e gialli nel secondo fiore.
Nota: la differenza si intende in valore assoluto.
Quindi:
- Primo quiz:
differenza primo fiore = 76
differenza secondo fiore = 76 con x = 6 - Secondo quiz:
differenza primo fiore = 13
differenza secondo fiore = 13 con x = 2 - Terzo quiz:
differenza primo fiore = 5
differenza secondo fiore = 5 con x = 0
25 dicembre 2021
[A56] Buon Natale! (dal Forum)
Care amiche e cari amici, un altro bellissimo augurio di buon Natale, pieno di energia positiva da Bruno Berselli per tutti!
Grazie Bruno!
20 dicembre 2021
[A55] Buon Natale!
Care amiche e cari amici, dovunque voi siate,
vi auguro di cuore buon Natale in compagnia
e tante cose buone per il nuovo anno.
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Dal Notturno vi propongo una scelta di irresistibili di Natale.
Attenzione: sono files MIDI, per ascoltarli bisogna attivare il lettore midi del computer o del dispositivo che usate.
Stillenacht 1 (classica) - Stillenacht 2 (classica) - Stillenacht 3 (fantasia piano) - Stillenacht 4 (pastorale) - Stillenacht 5 (jazz) - Stillenacht 6 (piano jazz) - Jingle Bells 1 (jazz) - Jingle Bells 2 (violini) - Jingle Bells 3 (banjo) - Jingle Bells 4 (stride piano) - Alleluia (gospel orchestra) - Adeste fideles (orchestra) - Ave Maria (orchestra) - Bianco Natale 1 (stride piano) - Bianco Natale 2 (orchestra) - Bianco Natale 3 (swing) - Bianco Natale 4 (orchestra) - Bianco Natale 5 (piano) - Gloria (orchestra) - Greensleeves (percussioni) - Happy Christmas (John Lennon) - Happy Christmas2 (John Lennon) - Oh Tannenbaum (originale) - Oh Tannenbaum (piano jazz) - Tu scendi dalle stelle (classica) - We shall overcome (piano) - Oh happy day (orchestra, Edwin Hawkins) - When the saints go marching in (banjo) - Jingle bell rock (orchestra).
13 dicembre 2021
[A54] Il lato comico
Aggiornata la pagina del lato comico della Matematica.
28. La stufa
In Liguria, quando fa freddo ci riuniamo vicino alla stufa.
Se fa più freddo, ci mettiamo più vicino alla stufa.
Se fa freddissimo ci mettiamo vicinissimo alla stufa.
Ma quando il freddo diventa davvero insopportabile, allora l'accendiamo!
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Cosa c'è di matematico in questa barzelletta?
Avete pensato che la stufa fosse accesa fin dall'inizio? Ipotesi azzardata, con i Liguri. Da qui nasce l'effetto umoristico.
In matematica, un errore in cui cadono i principianti, ma talvolta anche gli esperti, è quello di aggiungere involontariamente condizioni quando si risolve un problema.
6 dicembre 2021
[A53] Il lato comico
Aggiornata la pagina del lato comico della Matematica con una striscia di Bruno Berselli.
27. La divisione
Grazie Bruno!
29 novembre 2021
[A52] Le basi della logica epistemica - 1
La logica epistemica è un'estensione della logica proposizionale classica con l'aggiunta dell'operatore K (know).
Quindi gli operatori della logica epistemica sono:
¬ , non (negazione)
∧ , e (congiunzione)
∨ , o (alternativa inclusiva)
→ , implicazione
Ka(B), a sa B (dove a è il soggetto e B una proposizione)
Esempi:
- Aldo sa che la mela è matura = KAldo(la mela è matura) = Ka(M)
- Giulia sa che mangerà il cioccolato e il panettone = Kg(C ∧ P)
- Schrodinger non sa se il gatto è vivo o morto = ¬ Ks(V ∨ M)
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Ok, ma quali sono gli assiomi della logica epistemica?
22 novembre 2021
[A51] Cinque Logici al bar Jaakko
Un altro classico problema epistemico facile.
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Cinque logici entrano in un bar.
La barista chiede: "Volete tutti una birra?"
Primo logico: "Non lo so."
Secondo logico: "Non lo so."
Terzo logico: "Non lo so."
Quarto logico: "Non lo so."
Quinto logico: "No."
La barista: "Ora so quante birre devo preparare."
E voi lo sapete? Quante? Perché?
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Testi come questo evocano storie che vanno oltre la situazione narrata.
- Perché la barista ha fatto una domanda così poco efficiente? O invece è efficiente?
- Quei logici erano frequentatori abituali di quel bar?
- I logici bevono birre?
- Ciascun logico ha risposto propriamente alla domanda. Cioè, la risposta "Non lo so" NON significa "Non so se io voglio birra" ma significa "Non so se tutti vogliamo birra".
- Perché il quinto logico ha risposto per ultimo?
- Cosa sarebbe successo se il quinto logico avesse risposto per primo? O per terzo?
- E' possibile una situazione in cui tutti rispondano "Non lo so"?
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P. S. Avete riconosciuto i logici nella figura?
15 novembre 2021
[A50] Il lato comico
Aggiornata la pagina del lato comico della Matematica con alcune battute umoristiche.
26. Il tesoro
8 novembre 2021
[A49] Un altro problema logico-epistemico
Joel David Hamkins li chiama epistemic logic puzzles perché la parola epistemico indica una presa di posizione conoscitiva da parte del soggetto. Per esempio: "Lo so" oppure "Non lo so".
Di solito i problemi epistemici sono molto complicati, perciò ne propongo qui uno abbastanza semplice, per dare l'idea (anche a me stesso).
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Dov'è il premio? (facile)
Carlo e Sofia partecipano a un gioco matematico.
Un premio è nascosto in una delle seguenti scatole. Ogni scatola è identificabile in base a due caratteristiche: forma e colore.
Vince chi indovina per primo in quale scatola si trova il premio.
- A Sofia viene rivelata solo la forma della scatola contenente il premio.
- A Carlo viene rivelato solo il colore della scatola.
- Sofia sa che Carlo conosce il colore, Carlo sa che Sofia conosce la forma.
- Sofia e Carlo ragionano in modo perfettamente logico.
Il presentatore chiede: "Qualcuno di voi sa dov'è il premio?"
Sofia e Carlo rispondono: "Non lo so."
Subito dopo, però, Sofia e Carlo dicono contemporaneamente: "Ora so dov'è il premio!"
Come si spiega?
Tu lo sai ora dov'è il premio?
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Note.
Indimenticabile la proposizione epistemica di Dante Alighieri:
Cred’io ch’ei credette ch’io credesse...
Inferno, canto XIII
Articolo interessante: Hans van Ditmarsch, Wiebe van der Hoek, Barteld P. Kooi, Dynamic Epistemic Logic and Knowledge Puzzles, 2007.
1 novembre 2021
[A48] Dov'é il premio?
Ecco un altro problema della serie: Non lo so, ora lo so. Ovvero problemi in cui la conoscenza nasce proprio dall'ignoranza.
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Carlo e Sofia partecipano a un gioco matematico.
Un premio è nascosto in una delle seguenti scatole.
Vince chi indovina per primo in quale scatola si trova il premio.
- A Sofia viene rivelata solo la forma della scatola contenente il premio.
- A Carlo viene rivelato solo il colore della scatola.
- Sofia sa che Carlo conosce il colore, Carlo sa che Sofia conosce la forma.
- Sofia e Carlo ragionano in modo perfettamente logico.
Il presentatore chiede: "Qualcuno di voi sa dov'è il premio?"
Sofia e Carlo rispondono "No."
Dopo un po', il presentatore chiede nuovamente: "Qualcuno di voi ora sa dov'è il premio?"
Sofia e Carlo rispondono "No."
Subito dopo, però, Sofia e Carlo dicono contemporaneamente: "Ora so dov'è il premio!"
Tu lo sai ora dov'è il premio?
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Recentemente, alcuni di questi problemi sono stati proposti da Joel David Hamkins. (Still don’t know, an epistemic logic puzzle)
25 ottobre 2021
[A47] E' lecito porre problemi matematici in modo ingannevole?
Sì.
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Nota. Volevo fare un post breve. L'argomento è da approfondire.
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Aggiornata la pagina: Una sfida geometrica dal Primo Ministro russo Mikhail Mishustin
18 ottobre 2021
[A46] Dividere un triangolo in 5 triangoli congruenti
Nelle figure vedete un triangolo diviso in 3, 4, 6 triangoli congruenti.
Chi sa proporre un esempio di triangolo diviso in 5 triangoli congruenti?
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Ispirato da un post di Kiran Bacche su Twitter.
11 ottobre 2021
[A45] La semplicità per il matematico
La matematica usa parole semplici per esprimere idee complicate.
Per esempio l'idea di "curva chiusa semplice" è molto complicata.
Tutta colpa di Camille Jordan.
Questa è una curva chiusa semplice.
Questa che segue, invece, è una linea chiusa non-semplice.
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In questo periodo sto riflettendo su matematica e immaginazione e ho trovato queste figure nel libro Matematica e immaginazione, di Edward Kasner e James Newman, Bompiani, 1948. La prima edizione è Mathematics and the Imagination, del 1940.
4 ottobre 2021
[A44] Una sfida geometrica dal Primo Ministro russo Mikhail Mishustin
Il primo ministro della Federazione Russa, Mikhail Mishustin, in occasione dell'inizio dell'anno scolastico 2021-2022, ha incontrato gli studenti del Liceo scientifico-tecnologico intitolato a P. L. Kapitsa. Il Liceo si trova a Dolgoprudny, vicino a Mosca.
C'è un bell'aneddodo su quella visita, ma qui riporto subito il problema matematico che Mishustin ha proposto agli studenti.
Data una circonferenza di diametro AB e un punto P su di essa, disegnate la perpendicolare da P al diametro AB usando soltanto una riga non graduata (e una matita, naturalmente).
La soluzione è un'avventura matematica.
27 settembre 2021
[A43] Un altro problema di area con gli stecchini
Questo problema ha diverse soluzioni interessanti ma ce n'è una che non viene in mente subito.
Muovi alcuni stecchini per ridurre a metà l’area del triangolo rettangolo. Vietato spostare gli stecchini dell'ipotenusa!
Trova almeno due soluzioni diverse.
20 settembre 2021
[A42] Un problema di area con gli stecchini
Per questo problema serve un pizzico di pensiero laterale.
Dodici stecchini formano un quadrato di area 9. Sapresti disporre gli stessi stecchini in modo da formare una figura di area 3?
P.S. La soluzione non è questa. L'area deve essere una superficie unica.
13 settembre 2021
[A41] Una prima risposta sulle piramidi numeriche di addizione
Osserviamo la piramide da 10 mattoni (base = 4 mattoni).
I numeri nei mattoni sono legati dalle relazioni scritte nella figura.
Siccome le incognite/variabili sono tante quante i mattoni della base allora sono necessarie altrettanti mattoni noti ma... l'insieme di tali mattoni noti deve contenere almeno una volta ogni incognita.
Nei seguenti esempi, i mattoni azzurri contengono numeri.
Le piramidi 1, 2, 3, hanno soluzione unica mentre le piramidi 4, 5, 6 non hanno soluzione unica.
6 settembre 2021
[A40] Domande sulle piramidi numeriche di addizione
Consideriamo questa piramide dell'addizione nei numeri naturali.
- Ha una soluzione unica? Si, No, Perché?
- Quanti numeri si devono scrivere come minimo in una piramide numerica affinché essa abbia una soluzione unica?
- Dove si devono scrivere?
30 agosto 2021
[A39] Piramidi numeriche - Addizione (1)
Cari amici, anche un gioco così semplice come la piramide dei numeri può offrici illuminazioni matematiche interessanti.
Ecco per esempio tre piramidi a tre diversi livelli di difficoltà.
Il livello più interessante è il 2.
Ah, dimenticavo, la regola per costruire le piramidi di addizioni numeriche è questa:
Regola: in ogni mattone che si poggia su altri due è scritta la somma dei numeri dei due mattoni su cui esso è posato.
Bisogna specificare quali tipi di numeri si possono scrivere nei mattoni. Di solito sono numeri naturali, ma possono essere anche interi, razionali oppure reali.
23 agosto 2021
[A38] Tre punti allineati
Giocando con il metro, mi è venuta questa forma.
Ha una proprietà curiosa difficile da notare a prima vista...
Facendo l'opportuna modellizzazione matematica, sapreste dimostrare in almeno due modi diversi che i tre punti segnati coi bollini rossi sono allineati?
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PS. La figura ha anche un'altra proprietà interessante... quale?
Dite la vostra.
16 agosto 2021
[A37] Il paradosso nasale di Pinocchio
Il naso di Pinocchio segue queste regole che si deducono da Carlo Collodi, Le avventure di Pinocchio, Capitolo 29.
- Quando Pinocchio dice una bugia, il suo naso si allunga.
- Quando Pinocchio nega la bugia e dice la verità, il suo naso si accorcia fino a diventare normale.
Queste due regole possono portare a un paradosso.
Versione 1.
Se Pinocchio dice: – Sto dicendo una bugia – , cosa succede al suo naso?
Versione 2.
Se Pinocchio dice: – Il mio naso sta crescendo – , cosa succede al suo naso?
Versione 3.
Se Pinocchio dice: – Il mio naso si allungherà subito – , cosa succederà al suo naso?
9 agosto 2021
[A36] Trovare "VIVA BASE CINQUE" in pi-greco
Grazie a Pasquale per per questo problema posto al Forum.
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Se attribuiamo ad alcune lettere dell'alfabeto i valori appresso indicati, il problema consiste nel cercare fra i decimali del pigreco la sequenza delle 14 cifre con cui è possibile comporre la frase "VIVABASECINQUE", o almeno un suo anagramma.
Q = 0
B = 1
N = 2
S = 3
A = 4
E = 5
C = 6
V = 7
I = 8
U = 9
Indicare dunque la sequenza e la posizione da cui inizia.
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Un altro problema:
Costruire e implementare un algoritmo per cercare una data sequenza di cifre o una sua permutazione in pi greco.
2 agosto 2021
[A35] Aree sul geopiano
Come si può calcolare l'area dei poligoni colorati usando la formula di Pick?
Ma la domanda di fondo è un'altra: è vero che l'area dell'intersezione di due poligoni nel geopiano è sempre un numero razionale?
26 luglio 2021
[A34] Umorismo 2019-21
Smaltire la terra di scavo
Gli abitanti di Chelm si organizzarono per costruire la Sinagoga.
Quando cominciarono a scavare le fondamenta, Yossi domandò:
"Dove metteremo tutta la terra che stiamo estraendo dalla fossa?"
"Scaveremo un'altra fossa e gliela metteremo dentro.", rispose uno degli ingegneri.
"E la terra della seconda fossa dove la metteremo?", insistette Yossi.
"Non ti preoccupare.", lo tranquillizzò l'ingegnere.
"Scaveremo una fossa più grande delle altre e ci metteremo la terra di tutte le altre fosse."
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Tratto dal libro di Marc-Alain Ouaknin, E Dio rise. La Bibbia dell'umorismo ebraico da Abramo a Woody, pubblicato da Libreria Pienogiorno, 2021.
Tutti quei segnalibri indicano storielle umoristiche che hanno un collegamento con la matematica, le scienze o la logica.
Per esempio, a pag. 274 c'è una soluzione non-standard del paradosso del coccodrillo.
Un bel libro che fa pensare ridendo.
19 luglio 2021
[A33] Quadrato bi-pan-digitale
Si può scrivere un quadrato perfetto, nell'usuale base decimale, utilizzando tutte le cifre da 0 a 9 esattamente due volte?
Una domanda intrigante posta da Fani Green al Gruppo di Matematica su FB.
Sembra che ci siano circa 180.000 di questi quadrati ma dalle risposte sono emersi alcuni casi curiosi, per esempio:
- 8888888889² = 79012345680987654321
La base contiene solo due cifre distinte e il quadrato termina con le cifre da 9 a 1 in ordine decrescente (Giovanni Agapito); - 7777227777² = 60485271895340361729
La base è un numero palindromo che contiene solo due cifre distinte; - e poi, c'è anche un risultato QUASI giusto: troppo bello per essere
vero...
1111111111² = 1234567900987654321 (manca un 8)
Sapreste trovare altri risultati curiosi, magari scrivendo un programma per cercarli col computer?
12 luglio 2021
[A32] Come disegnare un albero di Fibonacci (a 7 livelli)
e risolvere un classico problema di combinatoria.
- Disegna la linea del terreno e altre 7 linee orizzontali che rappresentano i 7 livelli dell'albero.
Traccia anche un asse verticale di simmetria.
Segna 1 punto al primo livello, 1 punto al secondo, 2 al terzo e poi 3, 5, 8, 13 ai livelli successivi. - Disegna il ramo iniziale (tronco) e indicalo con (1).
- D'ora in avanti, indica con: 1 = ramo nuovo, 0 = ramo vecchio.
- Disegna i rami successivi con queste regole:
a) se un ramo è nuovo (1) si prolunga fino al livello successivo e diventa vecchio (0)
b) se un ramo è vecchio (0) genera un ramo nuovo (1) e si prolunga fino al livello successivo rimanendo vecchio (0)
L'albero di Fibonacci ci permette di trovare tutte le stringhe binarie di n cifre {0,1} tali che non ci siano mai due "1" consecutivi.
9 luglio 2021
[A31] Umorismo 2019-21
La minestra di Fibonacci
5 luglio 2021
[A30] La sequenza di Fibonacci e il calcolo combinatorio
Ci sono certe osservazioni, che quando le leggi per la prima volta ti sorprendono, ti sembrano incredibili.
Poi fai qualche prova e ti accorgi che sono invece plausibili.
A questo punto non puoi più resistere: devi dimostrarle.
Ecco un esempio.
Considera un linguaggio formale L le cui parole sono stringhe binarie di lunghezza n che non contengono due o più 1 di seguito.
Per esempio:
- 000, 100101, sono parole valide di L, rispettivamente di lunghezza 3 e 6 caratteri;
- invece 110, e 010111 non sono parole valide perché contengono due o più 1 di seguito.
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a) Ci sono 3 parole di lunghezza 2: 00, 10, 01
b) Ci sono 5 parole di lunghezza 3: 000, 100, 010, 001, 101
c) Ci sono 8 parole di lunghezza 4. Quali sono?
d) Quante e quali sono le parole lunghezza 5?
e) Ok. Dimostra che, per ogni n naturale, il numero P(n)
delle parole di L di lunghezza n è un numero di Fibonacci.
28 giugno 2021
[A29] Il problema della collana di perline colorate
Sequenze periodiche di perline colorate
Immaginate una sequenza di perline bianche (B) e nere (N) illimitata in entrambi i versi.
Quante sequenze distinte esistono nelle quali ogni tratto di 6 perline consecutive contiene esattamente 3 perline bianche e 3 nere?
Ecco due soluzioni abbastanza semplici, ma quante e quali altre se ne possono trovare?
Sapreste costruire una formula generale per calcolare il numero delle sequenze in cui 2n perline consecutive ne contengono sempre n bianche ed n nere?
Tratto da un'idea di James Tanton su Twitter.
21 giugno 2021
[A28] Foto di gruppo e altri problemi combinatori di Shakuntala Devi
I miei amici Asha, Neesha, Vijay, Parveen e Seema e io stessa (Shakuntala) abbiamo deciso di farci una foto di gruppo nello studio.
Abbiamo deciso di sederci in fila uno accanto all'altro.
In quante disposizioni diverse avremmo potuto sederci?
Più tardi siamo andati al ristorante. Il cameriere ci ha condotto a un tavolo rotondo.
In quanti modi diversi avremmo potuto sederci attorno al tavolo?
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Nota.
Ho fatto una breve ricerca per individuare il genere dei nomi delle persone: Vijay è maschile, gli altri sono femminili.
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Tratto da: Shakuntala Devi, More Puzzles to Puzzle You, 1985, 2000.
14 giugno 2021
[A27] La macchia d'inchiostro e altri problemi geometrici di Shakuntala Devi
La macchia d'inchiostro
La mamma ha spinto una grande tavola rotonda in un angolo della stanza. La tavola tocca entrambe le pareti che formano un angolo retto.
Proprio sul bordo della tavola c'è una macchia d'inchiostro che dista esattamente 20 cm da una parete e 22,5 cm dall'altra parete.
Qual è il diametro della tavola?
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Tratto da: Shakuntala Devi, Puzzles to Puzzle You, 2005.
7 giugno 2021
[A26] Il coprifuoco e altri problemi numerici di Shakuntala Devi
Il coprifuoco
In molti Stati dell'India la legge proibisce di vendere bevande alcoliche dopo una certa ora.
Tuttavia, in alcuni Stati la legge permette di consumare anche dopo l'ora stabilita le bevande alcoliche acquistate prima del coprifuoco.
In un bar, due uomini acquistano, prima del coprifuoco, una quantità di birra sufficiente per i loro bisogni. Uno dei due compra 5 bottiglie e l'altro 3 bottiglie.
Ma, poco dopo l'inizio del coprifuoco, arriva un loro vecchio amico che gli chiede condividere con lui le 8 bottiglie di birra. I due accettano e dividono la birra in tre parti uguali.
Dopo la bevuta in compagnia, il vecchio amico offre 8 Rupìe in pagamento per la birra che ha ricevuto e dice ai due amici di dividersi il denaro in parti proporzionali alle quantità di birra che ciascuno gli ha offerto.
Qual è la divisione equa del denaro?
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Tratto da Shakuntala Devi, Puzzles to puzzle you, 2005.
E' il problema n. 100 e si intitola The Curfew.
La fonte di questo problema-narrazione è Fibonacci (1200).
In molti l'hanno ripreso, tra cui Malba Tahan, Giuseppe Peano e Shakuntala
Devi.
Vedi I tre viandanti e le pagnotte.
31 maggio 2021
[A25] Le reti dei bambini Kuba
Ecco una sequenza di figure sempre più grandi.
Prova a disegnare ciascuna figura seguendo queste regole:
- non devi mai staccare la penna dal foglio;
- non devi passare su un segmento più di una volta;
- puoi incrociare le linee;
- segna il punto di partenza e quello d'arrivo.
Esplorazioni:
a) Quali sono i punti di partenza buoni? Quali i punti di arrivo?
c) C'è una regola per trovarli subito senza fare tentativi?
d) Continua la sequenza disegnando figure più grandi.
e) Trova un metodo facile da ricordare per tracciare velocemente queste figure, in modo da meravigliare chi ti sta osservando.
I bambini del popolo Kuba (Congo) sono abilissimi a tracciare questi disegni sulla sabbia usando un dito invece della penna.
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Questa attività è tratta dal libro Claudia Zaslavsky, Multicultural Mathematics. Interdisciplinary Cooperative-Learning Activities, 1987,1993, pag. 115.
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Vedi anche: Senza staccare la penna dal foglio.
24 maggio 2021
[A24] Il problema 3388
Usando i numeri 3, 3, 8, 8, alcune fra le quattro operazioni aritmetiche +, -, ×, : e le parentesi, sei capace di ottenere 24?
Nelle figure vedi come Giulia e Roberto hanno ottenuto due numeri vicini a 24.
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Precisazioni:
a) devi usare due volte 3 e due volte 8;
b) puoi scegliere fra le quattro operazioni quelle che ti servono;
c) puoi usare le parentesi;
d) NON puoi usare trucchi del tipo unire i numeri (es. 8 e 3 per ottenere 83) né inserire la virgola decimale né usare radici, fattoriali e così via.
Aggiornata la pagina I quattro 4, i cinque 5 e altri esercizi simili.
18 maggio 2021
[A23] La sequenza di Charles de Bovelles
Quando vado alla dilettantesca ricerca delle fonti, ogni tanto mi capita di trovare sorprese incredibili.
Per esempio, Charles de Bovelles, nel 1509 scrisse un mini trattato sulla generazione dei numeri perfetti e ne calcolò i primi 20.
Non ci posso credere!
Due di questi sono erroneamente attribuiti a Cataldi, 1588 e uno a Euler, 1772.
Il 20° numero perfetto è stato calcolato nel 1961 da Hurwitz ed è formato da 2663 cifre!
Ecco qui sotto una lista parziale.
Ok, ce ne sono molti sbagliati, ma ciò NON è dovuto a banali errori di calcolo, bensì sul fatto che de Bovelles considera come primi alcuni numeri che in realtà sono composti.
La sua formula per il calcolo dei numeri perfetti è invece esatta e anticipa i cosiddetti numeri primi di Mersenne un secolo prima di Mersenne.
Interessante. Da approfondire.
Nel frattempo, chi sa scoprire la regola della sequenza di de Bovelles?
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Nota.
La pagina è tratta dal volume: Caroli Bouilli Samarobrini, Liber de intellectu. Liber de sensu. Liber de nichilo. Ars oppositorum. Liber de generatione. Liber de sapiente. Liber de duodecim numeris. Epistole complures. Insuper mathematicum opus quadripartitum. De numeris perfectis. De mathematicis rosis. De geometricis corporibus. De Geometricis supplementis, disponibile liberamente su Google Books.
12 maggio 2021
[A22] Giornata Internazionale delle Donne nella Matematica
Per la Giornata Internazionale delle Donne nella Matematica (12 maggio), mando un caloroso ringraziamento a tutte le maestre e le professoresse di Matematica del mondo.
Personalmente devo a loro la mia formazione matematica nella Scuola Media e nel Liceo, e oggi l'83% degli insegnanti sono donne.
In più vorrei ringraziare in modo speciale sette donne matematiche che mi hanno dato e mi danno grandi ispirazioni nella mia attività di professore di matematica. Spero che sia così anche per voi.
Cari amici, per cominciare ho preparato i loro ritratti-stencil e vi lancio una piccola sfida: le riconoscete?
A presto per le risposte... nel frattempo possiamo dire che la comunità dei matematici è multilinguistica, multietnica, multireligiosa, etc.
7 maggio 2021
[A21] La grata impossibile di Escher
La grata disegnata da M. C. Escher nel Belvedere è impossibile da assemblare secondo il modello A di incroci.
Ma è possibile usando il modello B?
30 aprile 2021
[A20] Matematica delle grate
Credevo di essere fuori ma questa fotografia mi ha rivelato che sono anche dentro.
Siamo liberi o prigionieri, in questo mondo?
Comunque, in qualunque posto ci troviamo, nulla può impedirci di fare matematica.
Il puzzle è: come diavolo ha fatto il fabbro ad assemblare questa grata?
Riuscite a risolverlo mentalmente?
Per matematizzare la situazione si può usare una matrice di 1 e 0, come illustrato qui sotto.
Il passo successivo è quello di fotografare altre grate come questa per cercare se hanno elementi comuni, vari livelli di complessità e scoprire criteri per distinguere le grate costruibili da quelle impossibili.
23 aprile 2021
[A19] Un'intuizione aritmetica dantesca tra Euclide e Hilbert
Tu credi che a me tuo pensier mei
da quel ch’è primo, cosi come raia
da l’un, se si conosce, il cinque e’l sei;
Paradiso, XV, 55-57
Dante immagina che nel Paradiso le anime leggano nel suo pensiero tramite Dio e fa un paragone con la generazione dei numeri naturali a partire dall'unità.
Tu credi che il tuo pensiero si trasmetta (mei) a me tramite Colui che è Primo, così come dalla conoscenza dell'unità deriva (raia = raggiare) quella del cinque e del sei (quindi di tutti gli altri numeri).
L'intuizione di Dante sta in quelle tre parole: "se si conosce".
Solo se conosci l'unità puoi conoscere gli altri numeri che da essa sono generati.
Ma... cos'è l'unità, cos'è il numero 1?
E come si fa a conoscere l'unità?
16 aprile 2021
[A18] Sbikowski, chi era costui?
Taanti anni fa, quando insegnavo in una scuola superiore, notai un esercizio nel libro di testo che chiedeva di dimostrare un certo criterio di divisibilità per 7. Una nota riportava che quel criterio era dovuto a un tale Sbikowski.
Un bell'esercizio davvero: risolto e dimenticato.
Ma il nome Sbikowski mi si fissò indelebilmente nella memoria. Negli anni successivi, ogni tanto mi tornava in mente questo Sbikowski, cercavo notizie ma non trovavo niente. Neppure sui più potenti motori di ricerca.
Quando nel 2019 si diffuse la notizia che Chika Ofili aveva inventato un nuovo criterio di divisibilità per 7, mi ricordai di Sbikowski e provai a cercarlo con Google: nessun risultato utile.
A un certo punto, digitando nervosamente sulla tastiera, sbagliai un tasto e scrissi Zbikowski divisibility by 7 e ta-dah, 34.000 risultati!
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Tratto da:
Bulletin de l'Academie imperiale des sciences de St. Petersbourg,1861- 1862, pag. 151.
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P.S. C'è l'usanza di scrivere solo l'iniziale del nome degli autori, anche nella bibliografia, quindi rimane la domanda: qual è il nome di A. Zbikowski? Forse è Antoni?
9 aprile 2021
[A17] La salita alla montagna della Matematica secondo Terence Tao
Cari amici, vi segnalo questo interessante articolo dal blog di Terence Tao: There’s more to mathematics than rigour and proofs.
Riporto qui sotto un riassuntino.
L'educazione matematica si può dividere in tre fasi:
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1. La fase "pre-rigorosa", in cui la matematica si impara in modo informale e intuitivo, sulla base di esempi, nozioni sfocate e gesti delle mani.
Es. Un asintoto è una retta a cui una curva si avvicina indefinitamente senza mai toccarla.
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2. La fase "rigorosa", in cui si capisce che per fare matematica correttamente è necessario lavorare e pensare in modo molto più preciso e formale.
Es. Calcola:
col metodo ε, N.
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3. La fase “post-rigorosa”, in cui si ritorna alla propria intuizione pre-rigorosa, ma questa volta solidamente sostenuta dalla competenza teorica.
Es. Calcola mentalmente:
usando gli ordini di infinitesimi.
Terence Tao spiega anche che i matematici possono commettere errori a diversi livelli in tutte tre le fasi.
L'articolo There’s more to mathematics than rigour and proofs si trova nel Blog di Terence Tao (https://terrytao.wordpress.com/).
2 aprile 2021
[A16] Un problema in rime
Nell'anniversario dantesco ci dilettiamo con problemi poetici.
Mese agli inizi,
vorrei sapere
cosa ne è
se sommi da uno
fin che ce n'è
tutti gli inversi
delle potenze di tre.
di Sergio Casiraghi.
In linguaggio matematico simbolico si scrive così:
Provate a esprimerlo in prosa matematica.
26 marzo 2021
[A15] Dai labirinti logici di Robert Abbott
Aggiornata la pagina dei Labirinti logici con la soluzione di questo problema.
Direzioni obbligate
Entra nel labirinto e trova l'uscita. Però...
- Ad ogni intersezione devi seguire una delle frecce rosse disegnate nel labirinto.
- E' vietata la svolta a U (dietrofront).
25 marzo 2021
Dantedì
[A14] Il centro della Commedia (un problema di probabilità)
Cari amici, nel giorno di Dantedì vi propongo un problema di probabilità sulla Commedia Dantesca.
OK, avete notato le simmetrie al centro del Purgatorio?
Forse Dante ci ha voluto segnalare quei due canti?
Oppure queste simmetrie sono del tutto casuali?
Ed ecco allora il problema matematico.
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Supposto che il numero dei versi di ogni canto della Commedia sia casuale:
a) Qual è la probabilità di trovare 7 numeri disposti simmetricamente rispetto a un numero centrale posto in un punto determinato?
b) Qual è la probabilità di trovare due di queste simmetrie?
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Il problema è solo abbozzato, si deve precisare meglio.
Per esempio, ci si può limitare alla cantica del Purgatorio e supporre che i numeri di versi non siano equiprobabili ma abbiano una distribuzione normale simile a quella della Commedia.
19 marzo 2021
[A13] Esercizio di lettura di Paolo Dagomari
...tra il giorno del pi-greco e il Dante dì.
E' gl'è un tondo che 'l diamjtro suo è 12 braccia, vo' xapere che gira intorno.
Noj abIamo detto che e' 'gl'è per lo mezzo, 12 braccia; senpre dej tenere questa reghola sechondo il geometra che dicie che ttu multjprichi senpre per 3 e 1/7 e chotanto gira intorno intorno.
E però multprichiamo 12 via 3 e 1/7, che fa 37 e 5/7, e 37 braccia 5/7 di braccio girerà di fuorj, cioè intorno intorno.
Se vogliamo capire meglio la matematica nella Commedia, dobbiamo immergerci nei testi di matematica dell'epoca di Dante.
A cominciare da quelli di Paolo Dagomari che fu maestro di Jacopo Alighieri, figlio di Dante.
Il testo delle "Regoluzze" è stato una delle fonti del TLIO, Tesoro della Lingua Italiana delle Origini, curato dal CNR e in continuo aggiornamento.
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Questo problema è tratto dal
14 marzo 2021
[A12] Pi greco da bambino
Paolo Dagomari insegnò la Matematica a Jacopo Alighieri, figlio di Dante.
Nel 1339 scrisse un libro intitolato “Trattato d'abbaco, d'astronomia e di segreti naturali e medicinali”.
Il Trattato si conclude con un elenco di 52 regole di aritmetica che egli stesso chiamò “Regholuzze del maestro Pagolo astrolago”.
Ve ne propongo tre, sempre attuali e interessanti. Quella che metto in evidenza qui è la regoluzza per calcolare la lunghezza di una circonferenza conoscendo il suo diametro.
“Se moltiplichi il diametro di un cerchio per 22 e dividi per 7, avrai la lunghezza della sua circonferenza.”
circonferenza = diametro×22/7
Il numero π (pi greco) è approssimato a 22/7.
π ≈ 22/7 ≈ 3,14...
12 marzo 2021
[A11] Vendere, comprare, rivendere, ... la stessa cosa.
Un uomo vendette un cavallo per 90 $, lo ricomprò per 80 $ e lo rivendette per 100 $.
Quanto guadagnò da queste operazioni di compravendita?
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S. E. Clark, Mental nuts, 1876.
Ma, chi è S. E. Clark? Non ho trovato notizie nella rete.
5 marzo 2021
[A10] Comprare con soldi falsi.
Un ragazzo comprò un paio di scarpe da 4 $ e consegnò una banconota da 10 $ per il pagamento.
Il venditore si fece cambiare la banconota da un vicino e diede al ragazzo il resto di 6 $.
Il ragazzo lasciò la città con le scarpe e i 6 $ di resto.
Dopo poco tempo, il vicino restituì la banconota al venditore dicendo che era falsa e il venditore dovette dargliene una buona in cambio.
Quanto perse il venditore?
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S. E. Clark, Mental nuts, 1876.
Ma, chi è S. E. Clark? Non ho trovato notizie nella rete.
28 febbraio 2021
[A9] Vendere, comprare, rivendere, ... la stessa cosa. E magari con soldi rubati.
Questo problema ogni tanto ritorna nei social, ciascuno dice la propria opinione e nessuno dà la soluzione definitiva.
Ecco una versione, pervasa di preconcetti, tratta da un noto social (Facebook).
"Una donna entra in un negozio e ruba 100 € dalla cassa senza che il titolare lo noti.
Dopo cinque minuti ritorna, compra una borsa da 70 €, paga con i 100 € rubati e il titolare le dà il resto di 30 €.
Quanto ha perso il titolare?"
Un problema simile, comparve per la prima volta nel 1876 in un libro di S. E. Clark del 1876 intitolato Mental nuts, Noccioline mentali.
22 febbraio 2021
[A8] Breve storia di un problema capzioso di Vladimir Arnold
L’ipotenusa di un triangolo rettangolo (nel testo di un esame standard di una scuola americana) è di 10 pollici, l’altezza ad essa relativa è di 6 pollici. Trovare l’area del triangolo.
Area di ABC = ?
Gli studenti americani, per dieci anni, credettero di aver risolto questo problema senza difficoltà. Poi arrivarono alcuni studenti russi da Mosca e nessuno di essi fu in grado di risolverlo (rispondendo 30 pollici quadrati) come avevano fatto i loro compagni americani.
Perché?
Ma infine arrivarono gli studenti italiani che riuscirono a risolverlo!
Come?
15 febbraio 2021
[A7] Tre millimetri al giorno
Scott Carey è un uomo normale, che fa una vita normale: è alto un metro e ottanta ha una moglie, una figlia, un'auto, un gatto, un lavoro.
Ma un pomeriggio, durante una gita in barca, è investito da una spuma di insetticida impregnata di radiazioni.
A partire da quella data il suo corpo diventa sempre più piccolo. Per la precisione, la sua statura diminuisce di 3 mm al giorno.
Dopo aver capito che nessuna cura medica può guarirlo, Scott si pone ogni sera la domanda fondamentale della sua vita: cosa c'è al di sotto dello zero?
Ed ecco tre domandine di matematica, più facili.
- Se Scott all'inizio era alto 1,80 m e la sua statura diminuisce di 3 mm al giorno, dopo quanti giorni arriva a zero?
- Se invece la sua statura diminuisce del 3% ogni giorno, dopo quanti giorni arriva a zero?
- Se invece la sua statura ogni giorno diventa la radice cubica di quello che era il giorno precedente, dopo quanti giorni arriva a zero?
8 febbraio 2021
[A6] Il calibro aureo 2
Il calibro aureo (parte seconda)
Perché funziona il calibro aureo e come realizzarne uno digitale da usare sullo schermo del computer.
"Il Monte Fuji riflesso nel Lago Kawaguchi,
visto dal Passo Misaka nella Provincia di Kai",
di Katsushika Hokusai
1 febbraio 2021
[A5] Il calibro aureo 1
Il calibro aureo (parte prima)
Come costruire un calibro aureo con aste di legno e come usarlo.
25 gennaio 2021
[A4] Divisione della pizza
Matematica ed equità: quando le condizioni impediscono l'uguaglianza, la matematica ti aiuta a trovare il massimo dell'equità.
Ho acquistato una pizza circolare e la voglio dividere in pezzi (non necessariamente uguali) con 3 tagli rettilinei da bordo a bordo,
- senza spostare i pezzi fra un taglio e un altro,
- ottenendo il maggior numero possibile di pezzi,
- massimizzando la superficie S del pezzo più piccolo.
18 gennaio 2021
[A3] Piramide di mattoni
Questa piramide di mattoni funziona così:
- Alla base ci sono N mattoni. In ciascun mattone è scritto un numero.
- Nei mattoni alla base sono scritti i numeri da 1 a N in un certo ordine.
- In ogni mattone dei piani superiori è scritta la somma dei due numeri che si trovano nei due mattoni su cu è poggiato.
Disegna una piramide la cui base è formata da 5 mattoni.
In quale ordine si devono disporre i numeri da 1 a 5 alla base per
ottenere il risultato più grande possibile nel mattone in cima alla
piramide?
E se la base della piramide fosse formata da 2021 mattoni?
11 gennaio 2021
[A2] Considerazioni aritmetiche sul numero 2021
Il numero 2021 è la giustapposizione di due numeri consecutivi (20 e 21), è la somma di due numeri consecutivi ed è anche il prodotto di due numeri primi consecutivi (43, 47).
2021 = "20" & "21"
2021 = 1010 + 1011
2021 = 43 · 47
Quale sarà il prossimo anno con questa caratteristica?
4 gennaio 2021
[A1] Buon anno!
Cari amici, auguro buon anno a tutti voi con questo bellissimo disegno di Bruno Berselli!
Sole, luna, pace, operosità e musica!
